高考中几类导数问题研究

1、高考中几类导数问题研究 【摘 要】高考数学对导数知识考查的热点题型主要是以下几个方面：一是函数图像的切线问题.二是利用导数研究函数的单调性与极值等性质.三是利用导数研究函数的图像以及利用图像研究函数的性质.四是利用导数解决实际应用问题.下面通过近两年的部分高考数学试题对前三方面予以说明。 【关键词】导数 切线 单调性 极值 由于函数在数学中具有举足轻重的地位，它仍必将是高考的一个热点，而且对能力的考查还将高于课程标准.（1）对函数的概念、基本性质及图象的考查主要以小题的形式出现.（2）函数与不等式、数列、向量、解析几何等知识的综合问题会以解答题形式出现，属于理解、灵活运用层次，难度较大。（3）

2、通过函数应用题考查建立函数模型及解读信息的能力，将是高考命题的热点之一。新课程新增内容中与函数有关的内容，函数连续与极限、导数是考查的重点，所以比重将进一步加大。 一：问题的提出（考什么） 第一问 4分6分 一般考查以下几个问题 （1）求函数解析值（高考中占分值4分） （2）求切线方程（高考中占分值4分） （3）判断函数的单调性（高考中占分值6分） （4）求函数的极值、最值（高考中占分值6分） 第二问 6分8分一般考查以下几个问题 （1）洛必达法则 （2）高阶导数 （3）恒成立导数问题 （4）根分布问题 （5）证明不等式 二：问题的解决 第一类 过一点（a，b）向曲线做切线，它的原理就是利用了

3、导数的几何意义。 【步骤】1、先判断此点是否为切点，把（a，b）带入方程b=f（a）。 2、若（a，b）为切点，则切线方程为y-b=f（a）（x-a）且b=f（a）。 3、如果（a，b）不是切点，假设切点为（t，f（t） ，则切线方程为y-f（t）=f（t）（a-t），由于过（a，b）点，即b-f（t）=f（t）（a-t），即把t解出。 例题：（09年哈三中四模填空）过 点，向曲线y=x3做切线，则切线方程为 解：设切点为（t，f（t），则切线方程为y-f（t）=f（t）（x-t），y-t3=3t2（x-t）过点 ，代入后1-t3=3t2（1-t），整理后为2t3-3t2+1=0，分解后（t-

4、1）2（2t+1）=0，则 t=1或t=-，即f（t）=3t2，则f（t）=3或，所以切线方程为两条y-1=3（x-1），y-1=（x-1）。 第二类 判断f（x）的单调性或f（x）的单调区间问题。（高考分值为6分），一般出现在理科高考第一问，它利用的原理是“极值存在定理”。在给定区间上（局部性质），若导数f（x）0f（x）为曾函数、若f（x）f（x）为减函数、f（x）=0根叫驻点，最后结论就是极值点一定是驻点，但驻点不一定是极值点。 步骤 1、求函数f（x）的定义域（理科注意） 2、求f（x） 3、f（x）=0的根 4、列表 5、结论（注意：不能用并集） 难点：含参数讨论参数分点的确定，确定

5、参数分点的技巧（下平点） 例题：（06年全国一卷）已知f（x）=e，（1）若a0，讨论f（x）的单调性。（2）对任意x（0，1），恒有f（x）1求a的取值范围。 解：（）f（x）的定义域为（-，1）（1，+）.对f（x）求导数得 f（x）=e（-） （i）当a=2时，f（x）=e，f（x）在（-，0），（0，1）和（1，+）均大于0，所以f（x）在（-，1），（1，+）为增函数。 （ii）当00，f（x）在（-，1），（1，+）为增函数。 （iii）当a2时，0 令f（x）=0，解得x1=-，x2=- 当x变化时，f（x）和f（x）的变化情况如下表： f（x）在（-，-），（，1），（1，+）

6、为增函数， f（x）在（-，）为减函数。 （）（i）当0f（0）=1。 （ii）当a2时，取x0=（0，1），则由（）知f（x） （iii）当a0时，对任意x（0，1），恒有 1，且e-ax1，得f（x）=e-ax1。 综上当且仅当a（-，2时，对任意 x（0，1） 恒有f（x）1 第三类：恒成立问题（历年高考必出） 问法变型 1.题目中有“恒有”、“总有”、“都有”、“任意”. 2.与定义域有关说法 如：f（x）=f（x）=lg在（-，-1）内有意义，求a的范围 3.与最值有关 如：ymax=f（x）恒成立4. x（，）时f（x）总在g（x）上方，即f（x）g（x）在（，）上恒成立 5.已知

7、f（x）在（，）上单调性，求参数范围 方法1分离常量法 方法2数形结合法 方法3利用不等式 方法4最值转化法 例题：常规的分离常数问题（08年文科2卷） 设ar，函数f（x）=ax3-3x2。 （）若x=2是函数y=f（x）的极值点，求a 的值； （）若函数g（x）=f（x）+f（x），x0，2，在x=0处取得最大值，求a的取值范围。 解： （）f（x）=3ax2-6x=3x（ax-2）。 因为x=2是函数y=f（x）的极值点，所以 ，f（2）=0，即6（2a-2）=0 ，因此a=1。 经验证，当a=1 时，x=2是函数y=f（x）的极值点。 （）由题设，g（x）=ax3-3x2+3ax2 -

8、6x=ax2（x+3）-3x（x+2）。 当g（x）在区间0，2上的最大值为g（0）时， g（0）g（2），即020a-24。 故得a。 反之，当a时，对任意x0，2，g（x）x2（x+3）-3x（x+2） =（2x2+x-10） =（2x+5）（x-2） 0， 而g（0）=0，故g（x）在区间0，2上的最大值为g（0）。 综上，a 的取值范围为（-，）。 总之，导数作为一种工具，在解决数学问题时使用非常方便，尤其是可以利用导数来解决函数的单调性，极值，最值以及切线问题。在导数的应用过程中，要加强对基础知识的理解，重视数学转化与化归思想的应用，达到优化解题思维，简化解题过程的目的，更在于使学生掌握一种科学的语言和工具，进一步加深对函数的深刻理解和直观认识。事实上，本文中引用的多数例题皆可转化为求函数的最值问题，所以在教学过程中，教师既要重视导数的基本应用，又要培养学生具有数