翻折问题参考答案

1、翻折问题解答题（共1小题）1. （ 2014?西城区一模）阅读下列材料：问题：在平面直角坐标系 xOy中，一张矩形纸片 OBCD按图1所示放置.已知OB=10 ,BC=6， 将这张纸片折叠，使点 O落在边CD上，记作点A，折痕与边OD （含端点）交于点 E,与 边OB （含端点）或其延长线交于点 F,求点A的坐标.小明在解决这个问题时发现：要求点A的坐标，只要求出线段AD的长即可，连接 OA，设折痕EF所在直线对应的函数表达式为：y=kx+n （k v 0, n%）,于是有E （0, n）, F （,k0）,所以在Rt EOF中，得到tan/ OFE= - k，在Rt AOD中，利用等角的三角

2、函数值相 等，就可以求出线段 DA的长（如图1）请回答：（1）如图1，若点E的坐标为（0，4），直接写出点 A的坐标；（2） 在图2中，已知点O落在边CD上的点A处，请画出折痕所在的直线EF （要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写做法）；参考小明的做法，解决以下问题：（3）将矩形沿直线 y= - -x+n折叠，求点A的坐标；（4） 将矩形沿直线y=kx+n折叠，点F在边OB上（含端点），直接写出k的取值范围.考点：一次函数综合题.分析：（1）如图1，在Rt EOF中，得到tan/ OFE= - k，在Rt AOD中，利用等角的三角函数值相等，就可以求出线段DA的长；（2）作OA的中垂线即可；（3

3、） 如图，设直线 y=-吉x+n，则E点的坐标为（0，n），F点的坐标为（2n，0），OE=n，OF=2n，由 AEF OEF 可知 OE=AE=n，AF=OF=2n，由/ EAF=90。可知/ 1+ / 3=90从而求得/ 1 = / 2,得出 DEAGAF所以詈愕，由FG=CB=6FA GF解得DA=3，从而求得A点的坐标.（4） 根据图象和矩形的边长可直接得出k的取值范围，解答：解：（1）如图1若点E的坐标为（0，4），直接写出点A的坐标为（3，6）；（2）如图所示:(3) 如图，过点F作FG丄DC于Gt EF解析式为y= - x+n ,E点的坐标为(0, n),/ OE=n F点的坐标

4、为(2n , 0), OF=2n/ AEF与厶OEF全等， OE=AE=n ， AF=OF=2n/ 点 A 在 DC 上，且/ EAF=90 / 1 + / 3=90 又/ / 3+ / 2=90 / 1 = / 2在厶DEA与厶GAF中，fZl=Z2ADE 二厶GF DEAGAF (AA )AE_DAFA=GFFG=CB=6n_DA6 DA=3 A点的坐标为（3, 6）.(4) - 1 g-丄.3矩形沿直线y=kx+n折叠，点F在边0B上，(1)当E点和D点重合时，k的值为 -1，( 2)当F点和B点重合时，k的值为-2;点评：这是一道有关折叠的问题，主要考查一次函数、四边形、相似形等知识，

5、试题中贯穿 了方程思想和数形结合的思想，请注意体会.2. （ 2015?杭州模拟）将弧 BC沿弦BC折叠，交直径 AB于点D,若AD=8 , DB=10，则BC的长是（）A . 6.7B. 16C. 2 巧D. 4.口考点：翻折变换（折叠问题）.分析：如图，作辅助线；首先运用圆周角定理的推论，证明AC=DC，此为解决该题的关键性结论；其次证明 DE=4，进而得到BE=14 ;证明 ABC为直角三角形，运用射影定 理求出BC,即可解决问题.解答：解：如图，连接 CD、AC ,过点C作CE丄AB于点E; W， / CAB= / DCB+ / DBC ,/ / ADC= / DCB+ / DBC ,

6、 / CAB= / ADC , AC=DC ;/ CE丄 AD , AE=DE=4 , BE=4+10=14 ;/ AB为半圆的直径， / ACB=90 由射影定理得：BC 2=AB ?BE , BC=6 . 故选A.点评：该题主要考查了翻折变换的性质、圆周角定理及其推论、等腰三角形的性质、勾股定 理等几何知识点及其应用问题；解题的方法是作辅助线；解题的关键是灵活运用翻折 变换的性质等几何知识点来分析、判断、解答.3. （ 2015?杭州模拟）如图，将正方形对折后展开（图 是连续两次对折后再展开），再按 图示方法折叠，能得到一个直角三角形，且它的一个锐角等于30这样的图形有（）考点：翻折变换（

7、折叠问题）分析：如图，首先运用翻折变换的性质、平行线的性质证明/ FBE= / EBG （设为a）,此为解题的关键性结论；再次证明/ ABD= / FBE= a,求出 沪30如图，首先运用翻折变换的性质证明/ MAB=60 求出/ BAC=60 进而得到/ ACB= , 30即可解决问题.解答:解：如图，由题意得：AD / CF, AC=BC DF=BF , EF为直角 BDE斜边上的中线， EF=BF, / FBE=/ FEB ； 而 EF / BC, / FEB= / EBG , / FBE= / EBG （设为 a）； 由题意得：/ ABD= / FBE= a,而/ ABG=90 二 3

8、a=90 0=30 如图，由题意得： AN=AB=2AM , / AMB=90 / ABM=30 / MAB=60 i由题意得：/ NAC= / BAC=60 2 / ACB=90 - 60 30 综上所述，有一个锐角为 30。的直角三角形有两个,主要考查了翻折变换的性质、直角三角形的性质等几何知识点及其应用问题；牢固掌握翻折变换的性质、直角三角形的性质等几何知识点是解题的 基础和关键.4. （ 2015?沂源县校级模拟）如图，对折矩形纸片ABCD，使BC与AD重合，折痕为EF,把纸片展平；再一次折叠纸片，使BC与EF重合，折痕为GH，把纸片展平；再一次折叠纸片，使点A落在GH上的点N处，并使

9、折痕经过点 B,折痕BM交GH于点I .若AB=4cm , 则GI的长为（）C mD.1 Icm5考点：翻折变换（折叠问题）.分析：如图，首先由翻折变换的性质证明BN=BA=4 , MN=MA （设为入）；由勾股定理求得BQiS;在直角 MNP中，由勾股定理列出关于入的方程，求出X;运用 BGI BAM，列出关于 GI的比例式，即可解决问题.解答：解：如图，分别过点 M、N作MP丄GH、NQ丄BC于点P、Q ;贝U MP=AG=3 , NQ=BG=1 , GN=BQ , GP=MA ;由题意得：BN=BA=4 , MN=MA （设为X）,由勾股定理得：BQ= -, PN= 一 - X;由勾股定

10、理得:入J/（届-入）2,解得：X ;5 |由题意得：GI / AM , BGI BAM ,里型丄 GI=g :45故选D.JIVJA-4-UFGQC点评：该题主要考查了翻折变换的性质、矩形的性质、勾股定理等知识点及其应用问题；解 题的关键是作辅助线，构造直角三角形，灵活运用翻折变换的性质、勾股定理等知识 点来分析、判断、解答.7. （ 2014?路南区三模）如图，AB是半圆O的直径，且 AB=8 ,点C为半圆上的一点，将此半圆沿BC所在的直线折叠，若圆弧 BC恰好过圆心O,则下列说法： / ABC=30 弧AC的长与弧OC的长相等; 弦BC的长为4 -; 阴影部分的面积是 其中正确的个数是（

11、A9A . 1考点：翻折变换（折叠问题）；弧长的计算；扇形面积的计算.专题：计算题.分析：过点0作0D丄BC于E,交半圆0于D点，连接CD，如图，根据垂径定理由 0D丄BC 得BE=CE，再根据折叠的性质得到ED=EO，则OEOB，则可根据含30度的直角2三角形三边的关系得 / OBC=30 即/ ABC=30 利用互余和等腰三角形的性质得/ BOD= / COD=60 则可判断 OCD为等边三角形，所以 / ODC=60 然后根据弧长计算可计算出弧OC的长 J n,弧AC的长 j n,即弧AC的长与弧OCg帀的长相等；在Rt OBC中，根据含30度的直角三角形三边的关系得BE=. 1OE=2

12、.;，则有BC=4 :;由于OC=OB，则弓形OC的面积=弓形OB的面积，然后根据扇形的 面积公式和S阴影部分=S扇形OAC计算得到 正确.解答：解：过点O作OD丄BC于E,交半圆O于D点，连接CD，如图，/ OD 丄 BC , BE=CE ,半圆O沿BC所在的直线折叠，圆弧 BC恰好过圆心O, ED=EO, OEOB, / OBC=30 即/ ABC=30 所以正确； / BOD= / COD=60 , OCD为等边三角形， / ODC=60 弧 OC 的长=，/ / AOC=60 弧AC的长=180弧AC的长与弧OC的长相等，所以 正确；在 Rt OBC 中，OE=2, / OBE=30

13、BE= -；OE=2, BC=2BE=4 .二,所以 正确；/ OC=OB ,弓形OC的面积=弓形OB的面积，兀梓 g S阴影部分=S扇形OAC=二n,所以 正确.故选D.点评：本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状 和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等.也考查了弧长公式和扇形的面积公式.二解答题(共1小题)9. ( 2014?绵阳)如图1，矩形ABCD中，AB=4 , AD=3，把矩形沿直线 AC折叠，使点B 落在点E处，AE交CD于点F,连接DE .(1) 求证： DEC EDA ;(2 )求DF的值；(3)如图2,若P为线段EC上一动点，过点 P作

14、厶AEC的内接矩形，使其定点 Q落在线 段AE上，定点M、N落在线段AC上，当线段PE的长为何值时，矩形PQMN的面积最大？考点：四边形综合题.专题：压轴题.分析：(1)由矩形和翻折的性质可知AD=CE , DC=EA ,根据SSS”可求得 DEC也 EDA ;(2) 根据勾股定理即可求得.(3) 由矩形PQMN的性质得PQ/ CA，所以 -Hi,从而求得PQ,由PN / EG, 得出丄=J,求得pn，然后根据矩形的面积公式求得解析式，即可求得.|CE EG解答：(1)证明：由矩形和翻折的性质可知：AD=CE , DC=EA ,在厶ADE与厶CED中，AD=CEDE=EDDC=EA DEC EDA ( SSS);(2)解：如图1,/ / ACD= / BAC , / BAC= / CAE , / ACD= / CAE , AF=CF ,设 DF=x，贝U AF=CF=4 - x,在 Rt ADF 中，AD 2+df2=AF2,2 2即 3 +x = (4 - x) 解得：x=工，8即 DF=t8(3)解：如图2,由矩形PQMN的性质得PQ/ CA. CECA又 CE=3,人0寸壮2+耳严=5设 PE=x ( Ovx v