七年级下册数学整式的乘除与因式分解知识点习题

1、整式的乘除与因式分解1、 单项式的概念：由数与字母的乘积构成的代数式叫做单项式。单独的一个数或一个字母也是单项式。单项 式的数字因数叫做单项式的系数，字母指数和叫单项式的次数。-2a2bc的 系数为，次数为，单独的一个非零数的次数是 。2、多项式：几个单项式的和叫做多项式。多项式中每个单项式叫多项式的项，次数最高项的次数叫多项式的 次数。2，各项a - 2ab x 1，项有，二次项为 ，一次项为 ，常数项为 _次数分别为 ，系数分别为 ，叫 _次_项式。3、 整式：单项式和多项式统称整式。注意：凡分母含有字母代数式都不是整式。也不是单项式和多项式。4、多项式按字母的升（降）幕排列：322小3x

2、 -2xy xy-2y -1按x的升幕排列： 按y的升幕排列：按x的降幕排列： 按y的降幕排列：5、 同底数幕的乘法法则：am|n =am（ m,n都是正整数） 同底数幕相乘，底数不变，指数相加。注意底数可以是多项式或单项式。例 1若 2心=64，则 a=;若 273“ =（-3）8，则 n=.例 2若 52x 1 =125，则（x - 2）2009 x 的值为。例 3 .设 4x=8y-1,且 9y=27x-1,则 x-y 等于。6、 幕的乘方法则：（am）n =amn （ m,n都是正整数） 幕的乘方，底数不变，指数相乘。如：（-35）2 =310幕的乘方法则可以逆用：即 amn =（am

3、）n =（an）m 女口：46 =（42）3 =（43）27、 积的乘方法则：（ab）n二anbn（ n是正整数）积的乘方，等于各因数乘方的积。（- 2x y z）=8、 同底数幕的除法法则：am an二am* （ a = O,m, n都是正整数，且 m n）同底数幕相除，底数不变，指数相减。如：（ab）4 （ab） = （ab）3 = a3b39、零指数和负指数；a0 =1，即任何不等于零的数的零次方等于1。1a国 -（a = 0, p是正整数），即一个不等于零的数的 - p次方等于这个数的 p次方的倒数。a_31 3如：2飞）10、单项式的乘法法则：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字

4、母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。注意：积的系数等于各因式系数的积，先确定符号，再计算绝对值。 相同字母相乘，运用同底数幕的乘法法则。 只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式 单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用。 单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式。女口： _2x2y3z3xy 二11、单项式乘以多项式，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，即 m(a b c)二 ma mb mc( m, a,b, c都是单项式)注意：积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同。 运算时要注意积的符号，多项式的每一项都包括它

5、前面的符号。 在混合运算时，要注意运算顺序，结果有同类项的要合并同类项。女口： 2x(2x _3y) _3y(x y)=12、 多项式与多项式相乘的法则 ：多项式与多项式相乘，先用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所的的积相加。女口： (3a2b)(a -3b)=13、 单项式的除法法则：单项式相除，把系数、同底数幕分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有 的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。女口： 7a2b4m“ 49a2b =14、 多项式除以单项式的法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，在把所的的 商相加。即：(am bm cm) m = am

6、m bm m cm 亠 m = a b c11 1例 1. ( ab) (2a + b) (3a2+ b2)；例 2. (a- b) (a+ b) 2-( a2 2ab+ b2) 2ab.6312例 3已知 x2 + x 1= 0，求 x3+ 2x2 + 3 的值.2 215、平方差公式：(a b)(a-b)二a -b注意平方差公式展开只有两项如：(x y _ z)(x _ y z)=2 2 216、 完全平方公式：(a二b)二a -2ab b2 2 2 2 2 2a b = (a b) -2ab = (a b) -2ab (ab) = (a b) -4ab2 2 2 2 2 2(-a -b)

7、2 二-(a b) =(a b)2(-a b)2 二-(a -b)2 二(a -b)2完全平方公式的口诀：首平方，尾平方，加上首尾乘积的2倍。2 2 2 2探17、三项式的完全平方公式：(a b c) = a b c - 2ab - 2ac - 2bc例1利用平方差公式计算：2 20072007 -2002006例2.广场内有一块边长为 2a米的正方形草坪，经统一规划后，南北方向要缩短3米，东西方向要加长 3米,则改造后的长方形草坪的面积是多少？例3. (1) X -丄=2,求X2 丄的值。XX(2) (x y)2 =16, (X- y)2 = 4，求 xy 的值。18、因式分解：常用方法：提

8、公因式法、公式法、配方法、十字相乘法A.提公因式法：式子中有公因式时，先提公因式。例1.把2ax -10ay - 5by -bx分解因式.分析：把多项式的四项按前两项与后两项分成两组，并使两组的项按 x的降幕排列，然后从两组分别提出公因式2a与-b，这时另一个因式正好都是 x -5y，这样可以继续提取公因式.解：2ax -10ay 5by - bx =说明：用分组分解法，一定要想想分组后能否继续完成因式分解，由此合理选择分组的方法本题也可以将 一、四项为一组，二、三项为一组，同学不妨一试.2 2 2 2例2.把ab(c -d ) -(a -b )cd分解因式.分析：按照原先分组方式，无公因式可

9、提，需要把括号打开后重新分组，然后再分解因式.解：ab(c -d ) -(a -b )cd =说明：由例2、例1可以看出，分组时运用了加法结合律，而为了合理分组，先运用了加法交换律，分组后， 为了提公因式，又运用了分配律由此可以看出运算律在因式分解中所起的作用。B. 公式法：根据平方差和完全平方公式分解因式9x2 -25y22C. 配方法：分解因式x ，6x-16说明：这种设法配成有完全平方式的方法叫做配方法，配方后将二次三项式化为两个平方式，然后用平方差 公式分解.当然，本题还有其它方法，请大家试验.D.十字相乘法:2(1). x +(p+q)x+pq型的因式分解这类式子在许多问题中经常出现

10、，其特点是：(1)二次项系数是1 ； (2)常数项是两个数之积；(3) 次项系数是常数项的两个因数之和.2 2x (p q)x pq = x px qx pq 二 x(x p) q(x p) = (x p)(x q) 因此， x (p q)x pq = (x p)(x q)运用这个公式，可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式.例1把下列各式因式分解：2 2(1) x -7x 6(2) x 13x 36说明：此例可以看出，常数项为正数时，应分解为两个同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同. 例2把下列各式因式分解：2 2(1) x 5x-24(2) x -2x-15说明：此例可以看出，

11、常数项为负数时，应分解为两个异号的因数，其中绝对值较大的因数与一次项系数的符号 相同.例3把下列各式因式分解：2 2 2 2 2(1) x xy 6y(2) (x x) -8(x x) 122 2 2 2分析：(1)把x xy -6y看成x的二次三项式，这时常数项是-6y，次项系数是y，把-6y分解成3y与-2y的积，而3y(-2y) =y，正好是一次项系数.2 2(2)由换元思想，只要把xx整体看作一个字母 a，可不必写出，只当作分解二次三项式 a - 8a 12 .(2)一般二次三项式 ax2 bx c型的因式分解大家知道， (a1xc1)(a2x c2) = a2x2(a1c2a2cjx

12、 c1c2 .反过来，就得到：a1a2x2 (a1c2 a2c1)x c1c2= (a1x c1)(a2x c2)我们发现，二次项系数 a分解成a1a2，常数项c分解成gq，把a1, a2,ci ,c2写成31 c1，这里按斜线交叉相*2 (22 2乘，再相加，就得到 a1c2 92C1，如果它正好等于 ax bx c的一次项系数b，那么ax bx c就可以分解成 (a1x c1)(a2x c2)，其中 ai ,c1位于上一行， a2,c2位于下一行.十字相乘法这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做例4把下列各式因式分解:2 12x -5x-22 2 5x 6xy

13、- 8y说明：用十字相乘法分解二次三项式很重要当二次项系数不是1时较困难，具体分解时，为提高速度，可先对有关常数分解，交叉相乘后，若原常数为负数，用减法”凑”看是否符合一次项系数，否则用加法”凑”先”凑”绝对值，然后调整，添加正、负号.提高练习1 51 (2x2 4x 10xy) *()= x 1 y.2 22. 若 x + y= 8, x2y2= 4,贝V x2 + y2=3. 代数式4x2+ 3mx+ 9是完全平方式，则m= _亠x2013(24.20141.5.32 2 25. 若 a+2+b 2b+1=0，贝U ab+ab =6. ( a+ 1) (a+ 1) (a2+ 1) =。7. 一个正方形的边长增加 4cm，面积就增加56cm2，原来正方形的边长为3401622& (3+1) (3 +1)42008 /、(3