正余弦定理练习题含答案

1、高一数学正弦定理综合练习题1. 在厶 ABC中，/ A= 45,/ B= 60, a= 2，则 b 等于（）D. 2 62. 在 ABC中，已知 a= 8, B= 60, C= 75，贝U b 等于（）A. 4 2 B . 4 3 C . 4 63. 在 ABO中，角 A B、C的对边分别为 a、b、c, A= 60, a = 43, b= 4f2，则角 B 为（）A. 45或135B . 135C . 45D .以上答案都不对4. 在 ABC中, a : b : c = 1 : 5 : 6,贝 V si nA： sin B ： sin C 等于（）A. 1 : 5 ：6B. 6 : 5 :

2、1 C . 6 ： 1 ： 5 D .不确定解析：选 A.由正弦定理知 si nA： sin B : si n C= a : b : c= 1 : 5 : 6.5. 在 ABC中,a, b, c 分别是角 A,B,C所对的边，若A= 105,B= 45,b=2，则c =（）A. 1C. 2亠亠卄cos Ab“6. 在 ABC中，若=一，则厶 ABC是（）cos B aA.等腰三角形 B .等边三角形 C .直角三角形 D .等腰三角形或直角三角形7.或二2已知 ABC中, AB=3, AC= 1, / B= 30，则 ABQ的面积为（）或，3b、c.若 c=寸2, b=、：.：6, B= 12

3、0,贝U a 等于（） ABC勺内角A、B、C的对边分别为a、C.39.在厶ABC中，角AB、C所对的边分别为a、b、c,若 a= 1, c=3, C=，则 A=10.在 ABC中,已知a= 4_3_3, b= 4, A= 30,贝V sin B= 311.在 ABC中，已知/ A= 30,/ B= 120, b= 12,则 a+ c =12 .在 ABC中, a= 2bcosC 则厶 ABC的形状为 .13.在厶 ABC中, A= 60, a =6 .3, b= 12 ,& ABC= 18 3,则a+ b+ c sin A+ sin B+ sin C=14.已知 ABC中,/ A： / B：

4、/ C= 1 : 2 : 3,a= 1 则a2b+c= sin A 2sin B+ sin C115.在 ABC中 ,已知 a= 32 , cosC= 3 , Saabc= 4 3 ,贝U b=316. 在 ABC中 , b= 4蚯,C= 30 , c= 2,则此三角形有 组解.17. 如图所示，货轮在海上以40 km/h的速度沿着方位角（指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平转角）为140的方向航行，为了确定船位，船在B点观测灯塔 A的方位角为110,航行半小时后船到达C点，观测灯塔 A的方位角是65,则货轮到达 C点时，与灯塔 A的距离是多少？C C 1a18.在 ABC中 ,a、b、c

5、分别为角A、B、C 的对边，若 a = 2 3 ,si n?cos? = 4 ,sinBsinC= cos；,求A B 及 b、c.19. （2009年高考四川卷）在厶ABC中，A、B为锐角，角 A B C所对应的边分别为 a、b、c,且cos 2 A =3，sin B=.（1）求 A+ B 的值；（2）若 a- b= 2- 1,求 a, b, c 的值.51020. A ABC中, ab = 60 3, sin B= sin C, ABC的面积为 15 3,求边 b 的长.高一数学余弦定理综合练习题1.在厶ABC中,1如果 BC= 6, AB= 4, cosB=-，那么 AC等于(32.3.

6、4.5.A. 6在厶ABC中,在厶ABC中,A. 60在厶ABC中,在厶ABC中,B. 2 6C. 3 6a = 2, b= 3 1, C= 30，贝U c 等于(D. 2a2= b2 + c2+ 3bc,则/ A等于(B . 45C . 120/ A、/ B、/ C的对边分别为a、b、或5n6.46.1502 2 2c，若 ( a + c b )tan 或牛a、b、c分别是A、B C的对边，贝U acos B+ bcosA等于（A. a B . bc D .以上均不对B= _ 3ac,则/ B的值为（）6.如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为A .锐角三角形 B

7、.直角三角形 C .钝角三角形 D .由增加的长度决定7. 已知锐角三角形 ABC中, |AB = 4, |AC =， ABC的面积为.3,则XB- AC勺值为（）A . 2 B . 2 C . 4 D . 4& 在厶 ABC中, b=i/3, c= 3, B= 30，贝V a 为（）B . 2 3或 2 3 D . 29. 已知 ABC勺三个内角满足 2B= A+ C,且AB= 1, BC= 4,则边BC上的中线 AD的长为.10 . ABC中, sin A： sin B： sin C= （ 3 1） ：（ 3+ 1） :10,求最大角的度数.11.已知a、b、c是厶ABC勺三边，$是厶AB

8、C勺面积，若a= 4, b= 5, S=级/3,则边c的值为12 .在厶 ABC中, sin A: sin B: sin C= 2 : 3 : 4,贝V cos A : cos B : cos C=113 .在厶 ABC中, a= 3 2 ,cos C= 3, Smbc= 4 3，则 b=.14 .已知 ABC勺三边长分别为 AB= 7, BC= 5, AC= 6,则ABBC勺值为.2 . 2 2a + b c15 .已知 ABC勺三边长分别是 a、b、c,且面积S=，则角C=.416 . （2011年广州调研）三角形的三边为连续的自然数，且最大角为钝角，则最小角的余弦值为17 .在厶 ABC

9、中, BC= a, AC= b, a, b 是方程 x2 2 3x+ 2= 0 的两根，且 2cos（ A+ B） = 1，求 AB的长.118. 已知 ABC的周长为 2+ 1,且sin A+ sin B= 2sin C.（1）求边AB的长；（2）若厶ABC勺面积为-sinC,求角C的度数.n19. 在 ABC中, BC= 5, AC= 3, sin C- 2sin A（1）求 AB的值；（2）求 sin（2 A-）的值.20. 在 ABC中，已知（a+ b+ c）（ a+ b-c） = 3ab,且 2cos Asin B= sin C,确定 ABC的形状.正弦定理综合练习题答案1. 在 A

10、BC中, / A= 45, / B= 60 , a= 2,则 b 等于（）D. 2 6a basin B 厂解析：选A.应用正弦定理得：=,求得b= 6.sin A sin Bsin A2. 在 ABC中 ,已知 a= 8 , B= 60 , C= 75,贝U b 等于（）A. 4 2 B . 4 3 C . 4 6asin B（-解析：选=45,由正弦定理得 b= 4 6.sin A 3. 在 ABO中 ,角 A B、C的对边分别为 a、b、c , A= 60 , a = 4 3 , b= 4 .2 ,则角 B 为（）A. 45或135 B . 135C . 45D .以上答案都不对解析：选

11、C.由正弦定理 而厂sn电得：sinB= = 2,又v ab，二BAC/ C有两解，即/ C= 60 或 1201 ., 再由Sab= 2AB- Ain A可求面积.& ABC勺内角A、B、C的对边分别为a、b、c.若 c= 2, b= 6, B= 120,贝U a 等于（）B. 2解析：选D.由正弦定理得sin120 1 sin C=又tC为锐角，贝U C= 30,. A= 30, ABC为等腰三角形,a= c= 2.9.在 ABC中，角 A B、C所对的边分别为a、b、c,若a= 1, c= .3, C=-，贝U A=3解析：由正弦定理得:asin A sin C所以 sinA= a： c

12、nn又 t a c , A C= , A=36答案:10. 在 ABC中，已知 a =b= 4, A= 30，贝U sin B=解析：由正弦定理得a bsin A sin BsinB=bsin Aa4X 24,3答案:11. 在 ABC中，已知/ A= 30,/ B= 120, b= 12,则 a+ c =解析：C= 180 120 30= 30,. a= c,asin AsiB得,12X sin30sin120=4 3,a + c= & ?3.答案：8 .312. 在 ABC中, a= 2bcosC,则厶 ABC勺形状为 解析：由正弦定理，得a= 2R- sin A, b= 2R- sin

13、B,代入式子a= 2bcos C,得2Rsin A= 2 2 R sin B cosC,所以 sin A= 2sin B cos C即 sin B cos C+ cos B sin C= 2sin B cos C,化简，整理，得sin( B- C = 0./ 0 Bv 180, 0v C 180, 180 B C 180, B C= 0, B= C.答案：等腰三角形a + b+ c13. 在厶 ABC中,A= 60,a= 6 3,b= 12, &abc= 183,则 sjn a+ sinB+sinC=,c =解析：由正弦定理得a+ b+ csin A+ sin B+ sin Casin A6

14、31= 12，又 abc= 2bcsinA,x 12X sin60 x c = 18 ,3 ,c = 6.答案：126a 2b+ c14已知 ABC中，/ A： / B：/ C= 1 : 2 : 3, a= 1,则=sin A 2sin B+ sin C 解析：由/ A： / B：/ C= 1 : 2 ：3 得，/ A= 30,/ B= 60,/ C= 90,a12 R=2,sin A sin30又T a= 2Rsin A, b= 2Rsin B, c= 2Rsin C,a 2b+ c2R sin A 2sinB+sin Csin A 2sin B+ sin C=sin A 2sin B+ s

15、in C =2R= 2.答案：2115. 在 ABC中，已知 a= 3 2, cosC= 3, Saabc= 4 3，贝V b=.3解析：依题意，sin C=&, & ab= gabs in C= 4 3,解得b= 2 3.答案：2 316. 在 ABC中, b= 逑,C= 30, c= 2,则此三角形有 组解.1解析：T bsin C= 4 3 x j= 2 3且 c = 2, cbsin C, 此三角形无解.答案：017. 如图所示，货轮在海上以40 km/h的速度沿着方位角(指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平转角)为140的方向航行，为了确定船位，船在B点观测灯塔 A的方位角为110

16、,航行半小时后船到达C点，观测灯塔 A的方位角是65,则货轮到达 C点时，与灯塔 A的距离是多少？1解：在 ABC中, BC= 40 x = 20,/ ABC= 140 110= 30,/ ACB= (180 140 ) + 65= 105,所以/ A= 180 (30 + 105 ) = 45,由正弦定理得BC- sin / ABCsin AAC=20sin30 sin 45=10 2(km).即货轮到达C点时，与灯塔 A的距离是10 2 km.18.在 ABC中,C C 12aa、b、c 分别为角AB、C的对边，若 a = 2 3,sin2COS2 = 4,sinBsinC=cos 2，求

17、A B 及 b、c.C C 11解：由 sin cos= 4,得 sin C=空,又 C (0 ,n )，所以 C= -6或 C= 5.2a由 sinBsin C= cos 可，得sin Bsin C= |1 cos( B+ C),即 2sin Bsin C= 1 cos( B+ C),即 2sin Bsin C+ cos( B+ C) = 1，变形得cos Bcos C+ sin BsinC= 1,即 cos( B- C = 1,所以B= C=（舍去）,6A=n (B+ C)=年由正弦疋理sin sin C1sin B 厂 2 b= c= a = 2*：、3 x = 2.sin A V 迥2

18、,2 nn故 A= , B= , b= c= 2.a、b、c,且 cos 2 A19. （2009年高考四川卷）在厶ABC中, A、B为锐角，角 A、B C所对应的边分别为3， sin B=丄.(1)求 A+ B 的值；(2)若 a b= 2 1,求 a, b, c 的值. 510解：（1） A、B为锐角，sin B=,23 10cos B= ,1 sin 4 右A=, cos A=,55又 cos 2A= 1 2sin 2A= 5，二 sin5/. cos( A+ B) = cos Aos B sin 卞in B=空乂 3屮0近W5 % io 5 x io - 2 .n又 0VA+ Bn，.

19、A+ B=石由知，O， sin C=三2由正弦定理：a = b = c 得 sin A sin B sin C5a= 10b= 2c，即卩 a= 2b, c= 5b.a b= ；2 1 , J2b b = ：2 1 , b = 1.- a= 2, c =5.20.A ABC中, ab = 60 3, sin B= sin C, ABC的面积为 15 3,求边 b 的长. 解：由 S= absin C得,15 3 = *x 60 3xsin C,1 sin C= ，/ C= 30 或 150.又 sin B= sin C,故/ B=Z C当/ C= 30 时，/ B= 30, / A= 120又

20、ab= 60学：3 ,=, b= 2 15.v sin A sin BN当/ C= 150 时，/ B= 150 （舍去）.故边b的长为2 . 15.余弦定理综合练习题答案11.在 ABC中，如果 BC= 6, AB= 4, cosB= 3,那么 AC等于()3A. 6B. 2 6C. 3 6D. 4 6解析：选A.由余弦定理，得AC=PAB+ BC 2AB BGCosB=4 + 6 2X 4X 6X 3= 6.2 .在 ABC中, a= 2, b= 3 1, C= 30，贝U c 等于(D. 2解析：选B.由余弦定理，得 c2= a2 + b2 2abcosC=22+ (3 1)2 2X 2

21、X( 3 1)cos30 =2, c =寸 2.3 .在 ABC中, a2= b2 + c2 + 3bc,则/ A等于()A. 60B. 45C. 120D. 150解析：选/ A=.2 2 2b + c a2bc3bc2bc/0 a+ m c + m b+ m 2.22.2 . 2 2 2 2又（a+ m + （b+ m = a + b + 2（a+ b） nu2mc + 2cnum=（c+ m ,三角形各角均为锐角，即新三角形为锐角三角形.7已知锐角三角形 ABC中, |AB = 4, |Aq =， ABC的面积为.3，则AB ACC勺值为（）A. 2B. 2C. 4D. 4解析：选 AB

22、C=3=1|AB -| AC -sin A1 A=-x4X 1X sin 代2 sin A=y，又 ABC为锐角三角形,1 cos A= , AB. Act4x 1x 2=2.B. 2 ,;3或 2 ：3D. 2解析：选C.在厶ABC中，由余弦定理得 b2 = a2 + c2-2accosB,即卩3= a2+ 9 3_：3a,a2 3 :3a + 6= 0,解得 a= ：3或 2 39. 已知 ABC的三个内角满足 2B= A+ C,且AB= 1, BC= 4,则边BC上的中线 AD的长为j ,n解析：B= A+ C, A+ B+ C=n,. B=.3在厶ABD中,AD=aB + bD 2AB

23、 BDCos B = yj 1 + 4 2X 1X 2X 2 =3.答案：310. A ABC中, si nA： sin B： sin C= ( ：3 1) ：( 3 +1) :10,求最大角的度数.解： sin A： sin B： sin C= (：3 1) ：( 3+ 1) :10, a : b： c= ( .3 1) ：(,;3 +1) :10.设 a = ( .;3 1)k, b= ( ：3 + 1)k, c = 10k(k0), c边最长，即角C最大.由余弦定理，得cosC=a2+ b2- c22ab=12,又 C (0 , 180 ) , C= 120.11. 已知a、b、c是厶A

24、BC的三边，S是厶ABC的面积，若a= 4, b= 5, S= 5 .3 则边c的值为1y/31 cos C= 2,解析：S= 2absin C, sin C=, C= 60 或 120.2 2.2又t c = a + b 2abcosC, c2= 21 或 61,. c = 21 或，61.答案：,21 或 6112. 在 ABC中, sin A： sin B : sin C= 2 : 3 : 4,贝V cos A： cos B: cos C=解析：由正弦定理 a : b : c= sin A： sin B: sin C= 2 : 3 : 4,设 a = 2k( k 0)，贝U b= 3k,

25、 c = 4k,2 2 2 2 2 2_ a+ c b2k+4k3k11cos B2ac2X2k X4k167 1同理可得：cos A= , cos C=丁,8 4/ cos A : cos B: cos C= 14 ： 11 : ( 4).答案：14 ： 11 ： ( 4)113. 在 ABC中, a= 3梓,cos C= 3, &ab= 3，贝U b=解析：cos1C= 3，二 sinC=又 Saabc= qabsin C= 43, 即2 b-32 =2abcosC,. sin C= cos Q tan C= 1 , C= 45答案：4516 . （2011年广州调研）三角形的三边为连续的

26、自然数，且最大角为钝角，则最小角的余弦值为32 = 4 3, b= 2 3.答案：2 314 .已知 ABC的三边长分别为 AB= 7, BC= 5, AC= 6BC的值为解析：在厶ABC中,cos B=AW+ bC- AC2AB BC49+ 25 362X 7X51935, XB- BC= | Ab ! BCC cos( n E)19=7X5X( 35)=19.答案：1915.已知 ABC的三边长分别是a、b、且面积S=a2+ b2- c24,则角C=解析:1absin C= S=a2+ b2-c24a2+ b2- c22abab2解析：设三边长为 k 1, k, k+1(k2, k N),

27、2 2 2k +k 1k+ 1 v 0则？ 2 v kv 4,k+ k 1 k+1 k = 3,故三边长分别为2,3,4 ,最小角的余弦值为32+ 42 222X 3X4由余弦定理得cos C=aC + bC- aB2AC BC答案：817. 在 ABC中, BC= a, AC= b, a, b 是方程 x 2 ：3x+ 2= 0 的两根，且 2cos( A+ B) = 1，求 AB的长.解：t A+ B+ C=n 且 2cos( A+ B) = 1,1口1 cos( n- 9 = 2,即 cos- 2.又/ a, b是方程x 2 2=a + b + ab= (a+ b) ab=(2 .3)2 2= 10 , AB= . 10.18. 已知 ABC的周长