厦门大学第十二届(2015)景润杯数学竞赛试卷答案(理工类)评分标准

1、厦门大学第十二届(2015)景润杯数学竞赛试卷答案(理工类)评分标准 导读：就爱阅读网友为您分享以下“厦门大学第十二届(2015)景润杯数学竞赛试卷答案(理工类)评分标准”的资讯，希望对您有所帮助，感谢您对92to 的支持!4ab3c4abc32同理 ?ydxdydz?. .2分 ,?zdxdydz?1515?2 所求的转动惯量为I?2?ddxdydz? ?4abc(1?2)a2?(1?2)b2?(1?2)c2 1分 15 （2）设考虑目标函数(1?2)a2?(1?2)b2?(1?2)c2在约束条件?2?2?2?1下的条件极值. 设拉格朗日函数为 L(?,?,?,?)?(1?2)a2?(1?2

2、)b2?(1?2)c2?(?2?2?2?1) .1分 ?L?2?(?a2)?0，?2?L?2?(?b)?0,令?. 求得极值点为 Q1(?1,0,0,a2)，Q2(0,?1,0,b2)，Q3(0,0,?1,c2). 2?L?2?(?c)?0, 222?1. .3分 通过比较可知，当(?,?,?)?(0,0,?1)时，即绕旋转轴L轴转动惯量最大，即 Imax?4abc2(a?b2)， .1分 15 当(?,?,?)?(?1,0,0)时，即绕旋转轴L轴转动惯量最小，即 Imin?4abc22(b?c). .1分 15 十一、（8分）在不断抽打下，陀螺会飞快地旋转，但当一旦停止对它进行抽打，它也就不

3、再转动而停下来.设陀螺材质均匀，且旋转体所占的立体区域为 2?(x,y,z)|(x2?y2)?z?2a,a?0， a 试求当陀螺停止转动后，在稳定平衡状态下它的中心轴与水 平地面的夹角?. 如图（轴截面）(其中A为陀螺停止转动 后，在稳定平衡状态下与地平面的接触点) . 解：首先求陀螺的质心坐标.由于陀螺材质均匀的旋转体，所以它的质心就是几何体的形心，根据对称性可知，必有?0. 由于 ?dv?2a0dz?dxdy?Dz2a022a2aazaz43dz?a，?zdv?zdz?dxdy?dz?a4. 00223?Dz 所以?zdv? ?dv ?44a，即陀螺的质心坐标为G(0,0,a). .2分

4、33 当陀螺停止转动后，在稳定平衡状态下时，它的质心到水平地面的距离应达到最短. 如图轴截面，设陀螺在稳定平衡状态下，它与水平地面的切点为A(y,z). 于是问题就转化为一个条件极值问题，其目标函数为 32L?(GA)2?y2?(z?a)2，约束条件为z?y2（陀螺侧面的轴截线） 4a 22322将其代入目标函数，有L?y?(y?a),0?y?a. .1分 a4 令 1dL2y?2(8y2?2a2)?0，得y0?a. 2dya 1111dLdLa时，?0，当a?y?a时，?0，从而得到点A的坐标为(a,a). 2222dydy 2分 当0?y?轴截线z?2211y与y轴在点A(a,a)处的切线

5、与y轴的夹角为 a22 ?arctan( ?dz4y)|1?arctan()|1?arctan2 .2分 dyy?2aay?2a111?，tan?tan(?)?cot?，?arctan .1分 22tan?22厦门大学第十二届“景润杯”数学竞赛 试卷（理工类）参考答案 一、求下列各题极限（每小题4分，共8分） (3?2sinx)x?3x （1） 求极限 lim. 2x?0tanx 2x (1?sinx)?1(3?2sinx)?3x解一：lim .1分 ?lim3?lim2x?0x?0x?0tan2xx x x ?lim x?0 e 2 xln(1?sinx) 3 ?1 x2 .2分 2 xln

6、(1?sinx) .1分 ?lim2x?0x2sinx 2?lim? .1分 x?0x3 (3?2sinx)x?3xexln(3?2sinx)?exln3?lim解二：lim .1分 x?0x?0tan2xx2 xln(3?2sinx)?ln3 2分 2x?0x 2 xln(1?sinx) .1分 ?lim2x?0x 2sinx 2?lim? .1分 x?0x3?lime? 其中?在xln(3?2sinx)与xln3之间. (2)设x1?1,x2?2,xn?xn?1?xn?2(n?2,3,?)，求极限lim 1 . n?xn 解一：由题设条件知，对?n?2，xn?0，且xn?xn?1?xn?2?0，即xn严格单增，所以, xn?xn?1?xn?2?2xn?1，xn?1?故 xn?xn?1?xn?2? 33 xn?1?()