平面解析几何初步一轮复习-有答案

1、第四章 平面解析几何初步 第 1 课时 直线的方程 基础过关 1 倾斜角 :对于一条与 x 轴相交的直线 ,把 x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所 转的最小正角 叫做直线的倾斜角 当直线和 x 轴平行或重合时， 规定直线的倾斜角为 0倾 斜角的范围为 斜率 :当直线的倾斜角 90时，该直线的斜率即 k tan ；当直线的倾斜角等于 90时，直线 的斜率不存在 2过两点 P1（x1，y1），P2（x 2，y2）（x1x2）的直线的斜率公式若 x1x2，则直 线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90 3直线方程的五种形式 名称 方程 适用范围 斜截式 点斜式 两点式 截距式 一般式 典型

2、例题 例 1. 已知直线 （2m2 m 3）x （m 2 m）y 4m 1 当 m时，直线的倾斜角为 45 当 m 时，直线在 x 轴上的截距为 1 当 m 时，直线在 y 轴上的截距为 3 2 当 m 时，直线与 x 轴平行当 m 时，直线过原点 解：（1） 1 2或1 1或2 3 1 2 3 2 4 变式训练 1.（ 1）直线 3y 3 x2=0 的倾斜角是（ ） A 30 B 60 C120 D150 （ 2）设直线的斜率 k=2，P1（3，5），P2（x2，7），P（1，y3）是直线上的三点，则 x2，y3 依 次是 （ ） A 3， 4B 2， 3C4， 3D 4，3 （3）直线 l

3、1与 l2关于 x 轴对称， l 1的斜率是 7 ，则 l2 的斜率是 （ ） A 7B 7 C 7D 7 77 （4）直线 l 经过两点（ 1， 2），（ 3，4），则该直线的方程是 解：（ 1）D提示：直线的斜率即倾斜角的正切值是3 3 2）C提示：用斜率计算公式y1 y2 3）A提示：两直线的斜率互为相反数 4）2y 3x 1=0提示：用直线方程的两点式或点斜式例 2. 已知三点 A（ 1，-1），B（3，3），C（4，5）. 求证： A、B、C 三点在同一条直线上 . 证明 方法一 A（1， -1），B（3，3），C（4，5）， kAB = 3 1 =2,k BC= 5 3 =2， k

4、AB=kBC， 3 1 4 3 A 、B、C 三点共线 . 方法二 A （1， -1），B（3，3），C（4，5）， |AB|=2 5 ，|BC|= 5 ，|AC|=3 5 ， |AB|+|BC|=|AC| ，即 A、B、C 三点共线 . 方法三 A （1， -1），B（3，3），C（4，5）， AB=（2，4）， BC =（ 1，2）， AB =2 BC . 又 AB 与 BC 有公共点 B，A、B、C 三点共线 . 变式训练 2. 设 a，b，c 是互不相等的三个实数，如果A（a， a3）、 B （ b， b3）、C （ c， c3）在 同一直线上，求证： a+b+c=0. 证明 A 、

5、B、C 三点共线， kAB =k AC ， 3 3 3 3 a b a c ，化简得 a2+ab+b2=a2+ac+c2 ， a b a c b2-c2+ab-ac=0，(b-c)( a+b+c) =0， a、 b、 c 互不相等， b-c0， a+b+c=0. 例 3. 已知实数 x,y 满足 y=x 2-2x+2 (-1 x 1). 试求： y 3 的最大值与最小值 . x2 解： 由 y 3 的几何意义可知，它表示经过定点 x2 直线的斜率 k,如图可知： kPA kPBk, 由已知可得： A（ 1， 1）， B（ -1， 5）， 4 k ，8 3 故 y 3 的最大值为 8，最小值为

6、4 . x 2 3 P（-2， -3）与曲线段 AB 上任一点（ x,y）的 变式训练 3. 若实数 x,y 满足等式 （x-2）2+y2=3，那么 y 的最大值为 （ ） x A. 12 3 C. 3 2 D. 3 答案 D y 4 x 6 4x0 4 x0 6 例 4. 已知定点 P（6, 4）与直线 l1:y4x，过点 P的直线 l与 l1交于第一象限的 Q点，与 x轴正 半轴交于点 M求使 OQM 面积最小的直线 l 的方程 解： Q 点在 l1: y 4x 上，可设 Q（x0，4x0），则 PQ 的方程为： 令y0，得： xx50 x01(x01)， M( x50 x01，0) SO

7、QM 1 5x0 4x0 10 x0 2 x0 1x0 1 1 10（x01） 1 2 40 x0 1 当且仅当 x0 1 1 即 x02 取等号， Q（2， 8） x0 1 PQ 的方程为： 8y 44 2x 66 ， xy 100 变式训练 4.直线 l过点 M（2 ，1） ，且分别交 x轴 y轴的正半轴于点 A、B，O为坐标原点 （1）当 AOB 的面积最小时，求直线 l 的方程； 4 （2） 当 MA MB 取最小值时，求直线 l 的方程 解： 设 l ：y 1k（x 2）（k 200）. 2 由经过两点的直线的斜率公式 300 x 800 2x x 200 kPC=2 x kPB=

8、x 200 220 x 640 2x 由直线 PC 到直线 PB 的角的公式得 tan BPC= 1 k k PB PC 160 64x = x 288x 160 640 64 160 640 （x200）. 288 要使 tanBPC达到最大，只需 x+160 640 -288 达到最小，由均值不等式 x 160 640 x+-288 2160 640 -288, x 当且仅当 x= 160 640 时上式取得等号 . x 故当 x=320 时， tanBPC 最大 . 这时，点 P 的纵坐标 y 为 y= 320 200 =60. 2 由此实际问题知 0 BPC0）的直线 l 与 x、y

9、轴分别交于 P、Q 两点， R、S，求四边形 PRSQ 的面积的最小值 y 3 18（x 3） 3 变式训练 4：已知过点 A（ 1，1）且斜率为 过 P、Q 作直线 2xy0 的垂线，垂足分别为 解： 设 l 的方程为 y1 m（x 1）， 则 P（1 1 ，0）， Q（ 0，1m） m 从则直线 PR：x2y m 1 0； m 直线 QS： x2y2（m 1）0 又 PRQS 11 |2m 2 1 | 3 2m | RS |m m 55 2 2 又| PR |m ，| QS | m 1 而四边形 PRSQ 为直角梯形， m 1 ） 3 2m m 5 ） 5 m 1 2 m2 SPRSQ 1

10、 （m 25 1 （m 1 9 ）2 5 m 4 81015 （2 49 ）2 1 80 3.6 3.6 四边形 PRSQ 的面积的最小值为 小结归纳 要注意其满足的条件如两直线垂直时，有两直线斜 1处理两直线位置关系的有关问题时， 率都存在和斜率为 O 与斜率不存在的两种直线垂直 2注意数形结合，依据条件画出图形，充分利用平面图形的性质和图形的直观性，有助于问 题的解决 3利用直线系方程可少走弯路，使一些问题得到简捷的解法 4解决对称问题中，若是成中心点对称的，关键是运用中点公式，而对于轴对称问题，一般 是转化为求对称点，其关键抓住两点：一是对称点的连线与对称轴垂直；二是两对称点的中 点在对

11、称轴上，如例 4 第 3 课时 线性规划 基础过关 1二元一次不等式表示的平面区域 一般地，二元一次不等式 Ax ByC0 在平面直角坐标系中表示直线AxByC0 某 一侧的所有点组成的平面区域 （半平面 ）不含边界线，不等式 AxBy C0所表示的平面区域 （半平面 ）包括边界线 对于直线 AxByC0同一侧的所有点 （x、y）使得 AxByC 的值符号相同因此，如 果直线 AxByC0 一侧的点使 AxByC0，另一侧的点就使 AxByC0（或 AxByC0）所表示的平面区域时，只要在直线AxByC0 的 一侧任意取一点 （x0， y0），将它的坐标代入不等式，如果该点的坐标满足不等式，不

12、等式就表 示该点所在一侧的平面区域；如果不满足不等式，就表示这个点所在区域的另一侧平面区域 由几个不等式组成的不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的公共部 分 2线性规划 基本概念 名称 意义 线性约束条件 由 x 、y 的一次不等式 （或方程 ）组成的不等式组 ,是对 x、y 的约 束条件 目标函数 关于 x、y 的解析式如： z2xy， zx2y2等 线性目标函数 关于 x、 y 的一次解析式 可行解 满足线性约束条件 x、y 的解（ x，y）叫做可行解 可行域 所有可行解组成的集合叫做可行域 最优解 使目标函数达到最大值或最小值的可行解 线性规划问题 求线性目标函数在线性约

13、束条件下的最大值或最小值的问题 用图解法解决线性规划问题的一般步骤： 设出所求的未知数； 列出约束条件 （ 即不等式组 ） ； 建立目标函数； 作出可行域和 目标函数的等值线； 运用图解法即平行移动目标函数等值线，求出最优解 （有些实际问 题应注意其整解性） 典型例题 例 1. 若 ABC 的三个顶点为 A（3， 1）， B（ 1， 1）， C（1， 3），写出 ABC 区域（含边界） 表示的二元一次不等式组 解：由两点式得 AB 、BC、 CA 直线的方程并化简得 AB：x2y10，BC：xy20， CA： 2xy50 x 2y 1 0 结合区域图易得不等式组为 x y 2 0 2x y 5

14、 0 变式训练 1： ABC 的三个顶点为 A（2 ， 4）、 B（ 1， 2）、C（1， 0），则 ABC 的内部（含边 界 ）可用二元一次不等式组表示为 2x 3y 8 0 4x y 4 0 xy10 2. 已知 x、y 满足约束条件 7x x 4x 5y 7y y 23 11 10 0 0 分别求： 0 解： 在直角坐标系中作出表示不等式组的公共区域如图阴影部分 z2xy z4x3y zx2+y2 的最大值、最小值？ 其中 A（4 ，1）， B（1，6）， C（3，2） （1） 作与直线 2xy0 平行的直线 l 1： 2x yt ，则当 l1经过点 A 时， t 取最大， l1 经过点

15、 B 时， t 取最小 zmax 9 （2） 作与直线 最大 zmax 14 zmin 13 4x3y0 平行的直线 l2：4x3yt，则当 l2 过点 zmin 18 C 时，t 最小， l2过点 B 时，t （3） 由 zx2y2，则 z 表示点 （x，y）到（0，0）的距离，结合不等式组表示的区域知点B 到原 点的距离最大，当 （x， y）为原点时距离为 0 zmax 37zmin 0 变式训练 2： 给出平面区域如下图所示，目标函数t ax y， （1） 若在区域上有无穷多个点 （x ， y）可使目标函数 t 取得最小值，求此时 a 的值 （2） 若当且仅当 x 2，y 4时，目标函数

16、 t 取得最小值，求实数 a的取值范围？ 35 解： （1） 由 t axy 得 yaxt 要使 t 取得最小时的 （x， y）有无穷多个， 则 yax t 与 AC 重合 12 5 (2)由 KAC a K BC 得 123 a0） ，圆心为，半径 r 3二元二次方程 Ax 2 Bxy Cy 2 Dx Ey F 0 表示圆的方程的充要条件 是 4圆 C：（xa）2（yb）2r2 的参数方程为 x2y2r2的参数方程为 圆心为 C（7， 3），半径 r 65 故所求圆的方程为 （x7）2（y 3）265 （2）设圆的一般方程为 x2y2DxEy F0 将 P、 Q 两点坐标代入得 2D 4E

17、F 20 3D E F 10 令 y0 得 x2Dx F0 由弦长 |x1 x2|6得 D 2 4F 36 5（3） 22 解可得 D 2，E 4， F 8或 D 6， E 8，F0 故所求圆的方程为 x2y22x4y80 或 x2y26x8y0 变式训练 1：求过点 A（2，3），B（2，5），且圆心在直线 x2y3=0 上的圆的方程 由 A（2， 3），B（ 2，5），得直线 AB 的斜率为 kAB= 线段 AB 的中点为（ 0， 4），线段 AB 的中垂线方程为 y 4= 2x,即y 2x 4=0, 2x y 4 0 x 1 解方程组 得 x 2y 3 0 y 2 圆心为（ 1， 2），

18、根据两点间的距离公式，得半径r= （2+1）2（32）2 = 10 所求圆的方程为（ x 1）2 （y 2）2=10 例 2. 已知圆 x 2+y 2+x-6y+m=0 和直线 x+2y-3=0 交于 P，Q 两点，且 OPOQ（O 为坐标原点） ， 求该圆的圆心坐标及半径 . 解 方法一 将 x=3-2y, 代入方程 x2+y2+x-6y+m=0, 得 5y2-20y+12+m=0. 设 P（x1,y1）,Q（x 2,y2）,则 y 1、 y2满足条件： y1+y2=4,y1y2= 12 m 5 OP OQ, x1x2+y1y2=0. 而 x1=3-2y 1,x2=3-2y2. x1x2=9

19、-6(y 1+y 2)+4y 1 y2. m=3,此时 0,圆心坐标为1，3 ,半径 r= 5 . 22 方法二 如图所示，设弦 PQ 中点为 M ， O1MPQ， kO1M 2. O1M 的方程为 :y-3=2 x 1 , 2 即： y=2x+4. 由方程组 y 2x 4 . x 2y 3 0 解得 M 的坐标为（ -1，2） . 则以 PQ 为直径的圆可设为（ x+1）2+（ y-2）2=r2. OP OQ，点 O 在以 PQ为直径的圆上 . ( 0+1) 2+ ( 0-2 ) 2=r2，即 r2=5,MQ 2=r2. 在 RtO1MQ 中， O1Q2=O1M 2+MQ 2. (3-2)2

20、+5= 1 ( 6)2 4m 4 m=3. 半径为 5 ,圆心为 1 ,3 . 22 方法三 设过 P、Q 的圆系方程为 x2+y2+x-6y+m+ (x+2y-3)=0. 由 OP OQ 知，点 O(0，0)在圆上 . m-3 =0 ，即 m=3 . 圆的方程可化为 x2+y2+x-6y+3 + x+2 y-3 =0 即 x2+(1+ )x+y 2+2( -3)y=0. 圆心 M 1 ，2（3 ） ，又圆在 PQ 上 2 2 -1 +2 (3- ）-3=0， 2 =1， m=3. 圆心为 1 ,3 ，半径为 5 . 2 2 变式训练 2：已知圆 C：（ x-1）2+（y-2） 2=25 及直

21、线 l:（2m+1）x+（m+1）y=7m+4 （m R）. （1）证明：不论 m取什么实数，直线 l与圆 C恒相交； （2）求直线 l 被圆 C 截得的弦长的最短长度及此时的直线方程. （ 1） 证明 直线 l 可化为 x+y-4+m（2x+y-7）=0, 即不论 m 取什么实数，它恒过两直线 x+y-4=0 与 2x+y-7=0 的交点 . 两方程联立，解得交点为（ 3， 1）， 又有（ 3-1）2+（1-2）2=5 R r 外切 相交 内切 内含 3. 圆的切线方程 圆 x2y2r2上一点 p（x0, y0）处的切线方程为 l: . 圆（xa）2（yb）2r2上一点 p（x0, y0）处

22、的切线方程为 l : . 圆 x2y2DxEyF0 上一点 p（x0, y 0）处的切线方程为. P（4，2） 典型例题 例 1. 过： x2y22 外一点 P（4， 2）向圆引切线 求过点 P 的圆的切线方程 若切点为 P1、 P2求过切点 P1、P2 的直线方程 解： （1）设过点 P（4，2）的切线方程为 y2k（x4） 即 kx y+2 4k0 则 d 2 4k 1 k2 2 4k 2 解得 k1或 k 1 1 k2 7 切线方程为： x y20或 x7y100 （2） 设切点 1（x1，y1）、P2（x2，y2），则两切线的方程可写成 l1: x1xy1y2，l2：x2xy2y 因为

23、点 （4，2）在 l1 和 l2 上 则有 4 x12y124x 2 2y 2 2 这表明两点都在直线 4x 2y2 上，由于两点只能确定一条直线，故直线2 xy10 即为 所求 变式训练 1：（ 1）已知点 P（1，2）和圆 C： x2 y2 kx 2y k2 0，过 P作 C 的切线有两 条，则 k 的取值范围是 （ ） A.kR .k 0）,当 A B=B时， r的取值 范围是 （ ） A （0， 2 1） B（0，1 C（0， 2 2 D（0， 2 （3）若实数 x、y 满足等式 （x-2） ，那么 y的最大值为 （ ） x 13 A. . . 3 . 3 23 2 32 （4）过点

24、M （ 3, ）且被圆 x2 y2 25 截得弦长为 8 的直线的方程为 5）圆心在直线 x-y-4=0 上，且经过两圆 x2 y2 4x 3 0和 x2 y2 4y 3 0 的交 点的圆的方程是 . 解：（ 1）D提示： P 在圆外 （2） C提示：两圆内切或内含 （ 3） D 提示：从纯代数角度看，设 t= y ,则 y=tx ，代入已知的二元二次方程，用 0，可解 x 得 t 的范围。从数形结合角度看， y 是圆上一点与原点连线的斜率，切线的斜率是边界 x （4）3x 4y 15 0或x 3 0 提示：用点到直线的距离公式，求直线的斜率 （5）x2 y2 6x 2y 3 0 .提示：经过

25、两圆交点的圆的方程可用圆系方程形式设出，其 中的一个待定系数，可依据圆心在已知直线上求得 例 2. 求经过点 A（4， 1），且与圆： x2y22x6y50 相切于点 B（1，2）的圆的方程 解 ：圆 C 的方程可化为 （x 1）2 （y 3）25 圆心 C（1， 3），直线 BC 的方程为： x2y 5 0 又线段 AB 的中点 D（ 5， 1 ）， kAB 1 22 线段 AB 的垂直平分线方程为： y 1 x 5 即 xy2 0 22 联立解得 x3， y1 所求圆的圆心为 E（3， 1），半径 |BE| 5 所求圆的方程为 （x3）2（y 1）25 变式训练 2： 求圆心在直线 5x-3y=8 上，且与坐标轴相切圆的标准方程 解： 设所求圆的方程为 （x-a）2+（y-b）2=r2, 圆与坐标轴相切， a=b,r= a 又圆