相似三角形的性质提高题及答案

1、相似三角形的性质知识精要相似三角形对应边的比称为这两个三角形的相似比，形似比用字母k表示。AB BC CA如厶AB3A ABC，则-CC二k,注意：相似比具有方向性，若写A B BC C 1作厶ABC ABC则相似比为 丄。k根据合比容易得到“相似三角形的周长比等于相似比”,记厶ABCn ABC的周长分别为 C abc 和 C ABC，则 C abc : C pBC = k .类型一相似比与周长比在有关相似三角形的计算问题中，通过对应边的比例式建立方程式常用的方 法。例题精解例1如图，已知等边三角形 ABC的边长为6,过重心G作DE/BC,分别交AB,AC 于点D,E.点P在BC上，若-。卩与

2、厶CEP相似，求BP的长。解 T f；建、的取心卜：加冷-AH SI .Mi = 6HD N 同理 CE = 2,T ZH = Z：雯僅与CEP相似，村曲种情吮:筹设BP =工,则Z = 9CEx 2.V BD - CE BP = PC = 3._r = 3 士 罷*丽 pc当= 3 +75或3岳或3时，日DP与ZSCEP相亂点评：这是一类常见的有关三角形相似的分类讨论的问题。图中只能确定一组相 等的角（/ B=Z C）为对应角，但“这个角的两组夹边对应成比例”的比例式排 列顺序还不能完全确定，因此要分为两种情况进行讨论。【举一反三】1、如图， ABC中, CD是角平分线，E在AC上，C良CB

3、CE.(1) 求证： AD0A ACD(2) 如果 AD=6 AE=4 DE=5 求 BC的长。CI-：Ci) Cl) s DCE.-BDC = ZDEC* ：DC = ED.T 厶& = ZA, A ADE s ACDa n a F：AA/JEgq AACDt + _ =AC AD/AI) = 6*AE k 44DE = 5tA( = 9, CE = 9 - 4 = 5, DC =:AEADDEDC15ZCD2=1 45X7 = T点评：先根据判定定理2得到 BCSA DCE再根据判定定理1得到 AD0A ACD这种类似于“二次全等”的“二次相似”是证明相似三角形常用的方法。2、如图， AB

4、C中QE/BE,分别交 AB于 D,交 AC于 E。已知 AB=7 BC=8 AC=5 且厶ADE与四边形BCED勺周长相等，求DE的长。fi r-亿：L n 枷 II UL i.沟 K hl 3 列 h v 1V I、卜:/a n f）F A A*:、WY我和L为八町【匸二=二_一 =以7 R aA W右 f、FAE 5出J1!L 丄 HUE DB+*+（：E4卩 +赚二（7-7Jfr）+ 8+ = BE + FA =54点评：本题的难点是将比值=-转化为 BEDP CDF的相似比和周长比。AF 4类型二 相似比与对应线段之比如图 ABBA ABC,相似比为 k，若 AH,AM,AE和 AH

5、,AM,AE 分别是 ABCPA ABC的高、中线和角平分线，则AHAMAEAHM AM AE广义地说，所谓“对应线段”应当包括两个相似三角形对应位置上的所有对应线段，如 上图2中BE和BE，ME和ME等；而相似三角形对对应位置上的所有三角形也都是相似 三角形，如图 2 中的 AB0AABE, AMAME等。例2如图， ABC中, D在BC上，/ DACh B,角平分线CE交AD于F.已知BD=1, DC=3.求 CF:EF 的值。饵 T I).C - Z/L ZAC1) =ACEF2 一=2 y/3十3RD 二.DC? = 3t A AC2 = BC DC = 12,AC = 23. F*

6、CE分别是ADAC和ABC的角平分线*CFAC23 731 =; -CE BC42点评：本题考查了相似三角形中对应角平分线的相似比问题。【举一反三】1、如图，/ BAE=90 , AB=AC=CD=DE是 BC的中点，联结 BE,BD,DF.(1) 找出图中的相似三角形并说明理由；(2) 求DF:DB的值。K ri： /F ABJiJ, A =丄即一 7A B BC L 52,I p36M 57Miff t 1 1KU 0 甘 fl RlAAiiC 诃边 A 询為 HJf.I： F X A( r /frfl AH1 和.HT 2(*).符l厂 x V? Th( * 三 /EWF = 2 5(.

7、).山 W HH “门町得 BH= h 2 uV DFH二八”E AAB( A S/ Aftt; j S -则 S = -s. V DE / BC, A yA li必胪 *心AG 2 HD5iE_AM J * A BIf ADBF AABC. S卫并工 SAt=I 1 9 Jlj S ,ADE点评：这个结果说明，三角形 ADE与四边形DECF面积相等，这种等积变换很难 通过画平行线的方法验证，只有利用相似三角形的性质通过计算来验证。【举一反三】1、如图， ABC中，点 D在 BC上，/ DACM B.求证：AW:AD2=BC:DC.证明 泌f I m点人作人円丄m皿B 阿=-AH tiC. S

8、AJrjl = -AH DC.S ), : w =比 1 D(_DAC -ZB.且 ZACB - ZACD ABCsADAG 二 Sw 匕 SAW -ABz AD3.: AD1 =. BC : DC.AB BC AB AC俩式相乘即得方也二：由A4BCADACt,葩龙AB2 ： AD1 = EC * DC.2、如图，梯形ABCD中, 右 S AODAD/BC,AC交 BD于 O.(1)=8, S boc= 18,求 S aob ；(2)二n2 （m,n为正数），试用m,n表示梯形ABCD的面积右 S.AOD-m , S BOC解 n v xn / !tcA AAfVJ c/x A7)K, 5

9、仙，)纺“AD2 :7x ;阳.AD E i t AD 2,OD AD2I i,=:=;OB BC3OBOD =V AOD J AAOB有相同的驀;（2J由中的证明，可得S = tn +2脱并=m点评：在梯形中，两条对角线将梯形分为4个小三角形，其中分别以两底为边的 两个小三角形是相似关系，它们不可能全等（因为两底是对应边，不可能相等）； 另两个以腰为边的小三角形是等积关系（面积相等），它们可能全等（当等腰梯 形时），但不可能是非全等的相似关系。3、如图，平行四边形 ABCD中, AEBC于 E,AF丄CD于F,联结EF,AC.（1）求证： ABBA EAF.（2）若AB=3BE,AD=9平行

10、四边形 ABCD勺面积为36、. 2，求EF的长I)繭 r i v I”厂门 2-1“ ( jjc. ai | t h.v f AtiCD= AE 肮？ = 36V2./JC Ab -氛 AE -邑=gv = 3BE, ：r 设 HE = kr AB 瓯：* AE j4jB2 jB= (3k)z iz 2 J2klh 2j2k = 4虑得虚氛BE = 2,AB = 6；EC = BC - BE = 92 = 7.RtAAiiC 中MC =y/AE2-EC1 =V(4#/ + 71 = 95* AB AE * AC = EF9X4V_=内容提炼1、相似三角形的性质包括三个方面：(1) 由定义确定

11、的性质-相似三角形的对应角相等，对应边成比例，对应边 的比值称为相似比，用k表示；注意相似比的“方向性”，必须是排在前面的三 角形边长除以排在后面的三角形边长。若 ABBA DEF则当k1时，说明由厶 ABCU DEF是缩小的；当k1时，说明由厶ABCSJA DEF是放大的；当k=1时, ABCA DEF,因此，全等是相似的特殊情况。(2) 性质1:相似三角形对应线段的比等于相似比，“对应线段”包括对应角的 角平分线，对应边上的中线和对应边上的高。实际上“对应线段”还可以推广到 两个相似三角形的对应位置上的任何一种对应线段，例如：两个相似三角形外接 圆半径的比、内切圆半径的比都等于相似比。(3

12、) 性质2:相似三角形面积的比等于相似比的平方，实际上还可以推广到两个相似三角形对应位置上的任何图形的面积比都等于相似比的平方，例如：两个相似三角形外接圆面积的比、内切圆面积的比都等于相似比的平方。2、学习本节内容时要克服一些常见的错误。例如：(1) 在利用相似三角形的性质时，在书写过程中忘记交代“相似”这一条件， 或是没有注意对应关系。(2) 误认为通过“两个三角形的周长比等于某一对应边的比”或“两个三角形 的面积的比等于对应边的平方比”就可以判断这两个三角形相似。(3) 在运用性质2时忘记加平方，认为面积比等于相似比。巩固提高(必做题，要求步骤完整，逻辑清晰)1、如图，DF/EG/BC,A

13、D:DE:EB=1:2:3，如果 S,ADF面积，S2 为梯形 DEGF 面积，S3为梯形EBCGS积，那么S1： S2 S3为(A) 1:4:9;(B)1:9:36;(C)1:8:27;(D)1:7:19ilH1 題)2、已知一个三角形的三边之比为 3:4:5，与此三角形相似的另一个三角形最短边的边长为6cm则另一个三角形的周长为()(A) 12cm; (B)24cm;(C)36cm;(D)48cm3、 若一个三角形的一条边长为6cm平行于这条边的直线将该三角形分成面积相等的两部分，则该直线被这个三角形两边所截得的线段长为()(A) 3cm;(B)2. 3 cm; (C) 3.2 cm; (

14、D) 6 ： 2 cm4、若两个相似三角形面积之比为 3:4，贝尼们的周长之比为 5、 如果两个相似三角形对应中线之比为2:3，其中较大的一个三角形的面积是36cnl那么另一个三角形的面积是 cm2.& 如图，AB/DC,AC交BD于0,过O作直线分别交 AB,DC于MN 若2OM=3ON, 则厶AOBW cod勺周长之比为I第召遁（第 9K）7、如图，AB/DC,AC交BD于0,过0作直线分别交 AB=3 AC=2若将 ABC绕点A旋转到 ABC，则 ABB与厶ACC的面积之比为8、梯形ABCD中, AD/BC,且AD:BC=3:4, BA与CD的延长线相交于点 P,若梯形ABCD勺高是3c

15、m,则点P到BC的距离为cm.9、如图， ABC中, D在 AC上，若 AD=2DC,AB：AC- AD,贝U BD:BC的值等于10、如图， ABC中, AB=6 AC=9 DE/BC分别交 AB,AC于 D,E,且 DE=8 四边 形DBCE勺周长是25,求BC的长。11、如图，将 ABC绕点A旋转后得厶ABC，当AB丄BC时AC7/BC,且点C恰 好在BC 上。求 ABB与厶ACC的面积之比。it at12、如图， ABC中，/ C=2/ B, D 在 BC上, aC=BC DC且/ BAD=90，点 E 是BD的中点。试判断厶AEC的形状并说明理由。第12题)探究题(1) 如图，四边形ABC冲，对角线AC,BD相交于E,若AE- EC=BE ED,四边 形ABCD被 AC,BD分成的4个小三角形之间有没有相似关系？请说明理由。(2) 在第(1)小题中，若延长对边DA,CD交于点F，则图中还有没有其他的 三角形相似关系？说明理