初中数学因式分解

1、初中数学因式分解一、知识归纳1、公式法分解因式：用公式法因式分解，要掌握如下公式：（ 1） a2b2(a b)(ab) ；（ 2） a22ab b2 (a b)2 ；（ 3） a33a2b 3ab2b3( ab) 3 ；（ 4） a2b2c22ab2bc2ac(abc)2；（ 5） a3b3c33abc( abc)(a2b2c2abbcac) ；（ 6） anbn(ab)( an 1an2babn2bn 1); ?nN * ；（ 7）当 n 为正奇数时 anbn( ab)( an 1an 2babn2bn 1 )当 n 为正偶数时 anbn(ab)(an 1an2 babn 2bn1 )2、十

2、字相乘法因式分解3、待定系数法因式分解4、添项与拆项法因式分解5、长除法二、例题讲解例 1：因式分解：6x27 x31例 2：因式分解： x42( a2b2 ) x2(a2b2 ) 2例 3：因式分解4x24xy3 y24x10 y3例 4：利用待定系数法因式分解（ 1） 2x23xy 9 y214 x 3y 20（ 2） 4x24 xy 3 y24x 10 y 32例 5：利用添项法、拆项法因式分解（ 1） x36x 7（2） x5x 1例 6：已知 3x2x10 ，求 6x37x25x1987 的值。3三、课堂练习1、分解因式（ 1） x6 ( xyz)y6 ( zyx)（ 2） (a2b

3、21)24a2b2（ 3） 4m4m3 32m 8分解因式（ 1） x4 4（ 2） x3 9x 83、分解因式（ 1）x22xy3y23y2x（ 2） 2x25xy 3 y23x5 y24、已知多项式 3x3axbx1 能被 x21整除，且商式是3x则 ( a)b。15、多项式2x43x2ax27xb 能被 x 2x 2 整除，求 a 的值。b4第二讲分式一、知识归纳（一）分式的运算规律1、加减法同分母分式加减法：aba bccc异分母分式加减法：adacbdbcbcacac2、乘法：dbdbacadad3、除法：dbcbcb4、乘方： ( a )nanbbn（二）分式的基本性质1、 a a

4、m ( m 0)2、 a a m (m 0)b bmb bm（三）比例的性质（ 1）若 ac 则 adbcbd（ 2）若 ac 则 abcd （合比性质）bdbd（ 3）若 ac （ bd0 ）则 acbd （合分比性质）bdacbd（ 4）若 ac m ，且 bdn0 则 acma （等比性质）bdnbdnb（四）分式求解的基本技巧1、分组通分2、拆项添项后通分3、取倒数或利用倒数关系4、换元化简55、局部代入6、整体代入7、引入参数8、运用比例性质二、例题解析例 1：化简1xx2x312 | x |x2例 2：化简：ab11a 23b2a3a2b ab2b3a3a 2b ab2b3a2b2

5、b2a 2a4b46例 3：计算n2m22nmm2n2mnn3m3n mn2m2m3n33(m n)m2n22例 4：计算bccaaba2abac bc b2bcab acc2acbc ab例 5：若 abc1，求abcab a 1bc b 1ac c 17例 6：已知 x yzx yzx y z 且 xyz 0zyx求分式 ( x y)( yz)( zx) 的值xyz三、课堂练习1、已知1xyyz，3xz；x， zyz，则 xyxz2、若 x1943 则分式 x46 x32x218 x23 ；x28x153、设x1 ，则x3；x2mx 1x6m3 x314、若 abc0，且 abbcca ，

6、则 (ab)(bc)(ac) ；cababc5、设 x 、 y 、 z 为有理数，且xyz 0xa ，yb ，zc ，zxyzxy则a1b1c；1abc6、已知a、 b、c 均 不 为 0， 且 ab c 0 ， 则111c2 ；b2c2ac2a2b2a2b28第三讲图形变换一、知识归纳1、 yf (x)向上平移 a个单位 yf ( x)a( a0)2、 yf (x)向下平移 a个单位 yf ( x)a(a0)3、 yf (x)向左平移 a个单位 yf ( xa)(a0)4、 yf (x)向右平移 a个单位 yf ( xa)(a0)5、 yf ( x)y | f ( x) |将 yf ( x)

7、 图象在 x 轴下方的部分，以 x 轴为对称轴对称地翻折上去即可6、 yf (x)y | f (| x |) |将 yf ( x) 的图象位于y 轴右边的部分保留，在y 轴的左边作其对称的图即可。二、例题解析例 1：说出下列函数图象之间的相互关系（ 1） yx21 与 y x21（ 2）（ 3） y2x 与 y 2x 3（ 4）yx21 与 y (x 1)23y32 x 与 y32 x 39例 2：已知中的图的对应函数yf (x) ，则中的图象对应函数为；yy0x0xA 、 yf (| x |)B 、 y| f (x) |C、 yf (| x |)D、 yf (| x |)例 3：画出下列函数

8、的图象（ 1） y | x22x 3 |（ 2） y x22| x | 1例 4：已知 yf ( x1) 的图象过点（ 3，2），那么与函数yf ( x) 的图系关于x 轴对称的图象一定过点；A 、（ 4， 2）B 、（4， 2）C、（ 2， 2）D、（ 2，2）10例 5：试讨论方程| x24x3 |k 的根的个数y321x0123-1例 6：求方程 x24 | x |26 的解的个数课堂练习：1、函数 y2x 的图象；A 、与 y2x 的图象关于y 轴对称B 、与C、与 y2 x 的图象关于y 轴对称D 、与y 2x 的图象关于原点对称y 2 x 的图象关于原点对称2、为了得到 y 3 (

9、 1) x 的图象，可以把 y(1)x 的图象33A 、向左平移3 个单位长度yB 、向右平移3 个单位长度y=2xC、向左平移1 个单位长度(0,1)x011第 3题图D 、向右平移1 个单位均等3、已知 y2x 的图象如右，请画出以下函数的图象（1） f ( x 1)（ 2） f (| x |)（ 3） f ( x) 1 （4） f (x)（ 5） | f ( x) 1|y4、已知 EMBED Equation.#ylog 2 x 的图象如右：试求不等式：x0log 2 ( x)x1 成立的 x 的取值范围(1,0)第 4题图5、已知方程 | x | ax 1 有一负根，而没有正根，那么a

10、 的取值范围是；A 、 a1B 、 a1C、 a 1D、补以上答案12第四讲三角形的“五心”一、知识归纳1、重心：三角形的三条中线交点，它到顶点的距离等于它到对边中点的距离的2 倍，重心和三顶点的连线将ABC 的面积三等分，重心一定在三角形内部。2、外心：是三角形三边中垂线的交点，它到各顶点的距离相等，锐角三角形的外心在三角形内，直角三角形的外心是斜边的中点，钝角三角形的外心在三角形外。3、内心：是三角形的三内角平分线的交点，它到三边的距离相等，内心一定在三角形内。4、垂心：是三角形三条高的交点，垂心和三角形的三个顶点，三条高的垂足组成六组四点共圆，锐角三角形的垂心在三角形内，直角三角形的垂心

11、为直角顶点，钝角三角形的垂心在三角形外。5、旁心：是三角形任意两角的外角平分线和第三个角的内角平分线的交点，它到三角形的三边距离相等，一定位于三角形外部。二、例题解析例 1：在锐角 ABC 中，内角为A 、B、C 三边为 a、b、c，则内心到三边的距离之比为，重心到三边的距离为，外心到三边的距离之比为，垂心到三边的距离之比为。13例 2：如图，锐角 ABC 的垂心为 H ，三条高的垂足分别为D 、E、 F，则 H 是 DEF的；AA 、垂心B 、重心FC、内心D 、外心EHBDC例 3：如图， D 是 ABC 的边 BC 上任一点，点E、AF 分别是 ABD 和 ACD 的重心连结EF 交 A

12、D 于 G 点，则DG：GA；EGFBMDNC例 4：设 ABC 的重心为 G，GA 23 ，GB22 ，GC2 ，则 S ABC；14例 5：若 H 为 ABC 的重心， AH BC ，则 BAC 的度数是；A 、45B 、30C、 30或 150D、 45或 135例 6：已知平行四边形ABCD 中， E 是 AB 的中点， AB 10，AC 9，DE 12，求平行四边形 ABCD 的面积。CDOGBEA三、课堂练习1、已知三角形的三边长分别为5，12，13，则其垂心到外心的距离为，重心到垂心的距离为；2、已知三角形的三边长为5， 12，13，则其内切圆的半径r ；3、在 ABC 中， A

13、 是钝角， O 是垂心， AO BC，则 cos（ OBC+ OCB）=;4、设 G 为 ABC 的重心，且 AG 6，BG 8，CG 10，则 ABC 的面积为；5、若 090 ，那么以 sin、 cos、 tancot为三边的 ABC 的内切圆，外接圆的半径之和为；15A 、 1(sincos)B 、 1 (tancot )22C、 2 sin cos1D 、cossin6、 ABC 的重心为 G， M 在 ABC 的平面内，求证：MA 2MB 2MC 2GA2GB 2GC 23GM 216第五讲几何中的著名定理一、知识归纳本节重点掌握三角形内、外角平分线定理、中线长定理，梅涅劳斯定理与塞

14、瓦定理二、例题解析例 1：如图 ABC 中， AD 为 BAC 的角平分线求证： ABBDACDCA1 2FEBDC例 2：如图， ABC 中， AD 为 A 的外角AD，求证： BDAB .2平分线，交 BC 的延长线于点1CDACBDC例 3：如图， AD 为 ABC 的中线，A求证： AB 2AC 22(AD2BD2)BDEC17例 4：（梅涅劳斯定理）如果在 ABC 的三边 BC， CA 、 AB 或其延长线上有点D、E、 F 且 D、E、F 三点共线，则 BDCEAF1ADCEAFBFEGDBC例 5：设 O 为 ABC 内任意一点，AO 、 BO 、COA分别交对边于N、P、 M，

15、则 AMBNCP1.MMBNCPA16P2053B4CN三、课堂练习1、如图， P 是 AC 中点， D 、 E 为 BC 上两点，且 BD DE EC，则 BM ：MN ：NP ；2、如图，在ABC 中， D、 E 分别在边AB 、AC 上且 DE/BC ，设 BE 与 CD 交于 S，证明 BM CM 。3、证明：三角形的三条角平分线交于一点。ADESBMC18第六讲圆一、知识归纳1、证明四点共圆的方法有：（ 1）到一定点的距离相等的点在同一个圆上（ 2）同斜边的直角三角形的各顶点共圆（ 3）线段同旁张角相等，则四点共圆。（ 4）若一个四边形的一组对角再互补，那么它的四个顶点共圆（ 5）若

16、四边形的一个外角等于它的内对角，那么它的四个顶点共圆（ 6）四边形 ABCD 对角线相交于点 P，若 PA PC PB PD，则它的四个顶点共圆（ 7）四边形 ABCD 的一组对边AB 、DC 的延长线交于点P，若 PA PBPC PD ，则它的四个顶点共圆。2、圆幂定理二、例题讲解例 1：如图，设 AB 为圆的直径，过点A 在 AB 的同侧作弦AP、AQ 交 B 处的切线于R、 S，求证： P、 Q、 S、 R 同点共圆。RPQSAB例 2：圆内接四边形ABCD ， O 为 AB 上一点，以O 为圆心的半圆与BC ， CD， DA相切，求证：AD BC ABDCAO EB19例 3：如图，设

17、A 为 O 外一点， AB ，AC 和 O 分别切于B ，C 两点， APQ 为 O的一条割线，过点B 作 BR/AQ 交 O 于点 R，连结 CR 交 AO 于点 M ，试证： A， B， C，O， M 五点共圆。例 4：如图， PA 切 O 于 A，割线 PBC 交 O 于 B，C 两点， D 为 PC 中点，且AD延长线交 O 于点 E，又 BE2DE EA ,求证：（ 1） PA PD；（ 2） 2BD2AD DE .AODPBCE例 5：如图， PA， PB 是 O 的两条切线， PEC 是一条割线， D 是 AB 与 PC 的交点，若 PE 长为 2， CD 1，求 DE 的长度。

18、PEHBADOC20三、课堂练习1、如图，已知点P 在 O 外一点， PS，PT 是 O 的两条切线，过点P作O的割线PAB ，交 O 于 A ， B 两点，并交 ST 于点 C，求证：11 (11)PC2PAPBPASCTDOB2、如图， A 是 O 外一点， AB 、AC 和 O 分别切于点B、C，APQ 为 O 的一条割线，过 B 作 BR/AQ 交 O 于 R，连 CR 交 AQ 于 M。G试证： A ， B， C， O， M 五点共圆。BRAMPOC3、设 O1、 O2、 O3 两两外切， M 是 O1、 O2 的切点， R、 S 分别是 O1、 O2 与 O3 的切点，连心线 O1

19、O2 交 O1 于 P， O2 于 Q，求证： P、Q、R、 S 四点共圆。PO1O2RSQO321第七讲一次函数和一次不等式【要点归纳】1、形如 y=kx+b(k 0) 的函数叫做一次函数。（ 1）它的图象是一条斜率为 k，过点（ 0，b）的直线。（ 2） k0是增函数； kb 的解的情况：（ 1）当 a0 时， xb；a（ 2）当 a0，则无解。类似地，请同学们自行分析不等式ax0 ，则 =_7a例 9 若不等式 （2a-b）x+(3a-4b)0 的解。9【反馈练习】1 、一次函数y=(3m-1)x-(m+5) 的图象不过第一象限，则实数m的取值范围是_2、一次函数f(x) 满足： f（

20、f （ f(x) ） =-27x-21 ，则 f(x)=_3、函数f(x)=3x+1+k-2kx在 -1 x 1 时，满足f(x) k 恒成立，则整数k 的值为24_4、已知 x 0， y 0， z0，且满足 x+3y+2z=3 ，3x+3y+z=4 求 w=3x-2y+4z 的最大值和最小值。5、若不等式5x-a0 的正整数解是1，2， 3， 4，则 a 的取值范围为_6、解关于 x 的不等式： a(x-a)x-17、若不等式（ m+n） x+(2m-3n)03解。a( x2)x38、解关于 x 的不等式组：9(ax)9a825第八讲均值不等式【要点归纳】当 a，b， c 0 时，则（ 1）

21、 ababab( ab )2 （当且仅当 a=b 时，取“ =”）22（ 2） abc3abcabc( a b c )3 （当且仅当 a=b=c 时，取“ =”）33更一般地，当ai0 （ i1,2,3n）时，则 a1a2ann a1a2an （当且仅当 a1 a2an 时，取“ =”）n【典例分析】例 1 设 a， b， c 0，证明下列不等式：（ 1） b a2（2） 1119a babca b c例 2 下列命题中有 _个正确4（ 1）函数f ( x)x的最小值是4；x（ 2）函数f ( x)4x21的最小值是24x2（ 3）函数 f ( x)12x6 (x 0) 的最大值是 1 4 3

22、x（ 4）函数 f ( x)x4(x 0) ，当 x=1 时，取最小值。x 226例 3 （ 1） 已知 x, y019，且1 ，求 x+y 的最小值；xy（ 2） 已知 x, y0 ，且 x2y 21，求 x 1y2 的最大值。2例 4 （ 1）当 x1 时，求 yx1的最小值；x1（ 2）当 x54x1的最大值。时，求 y244x5例 5 （ 1）当 a， b0 时，证明： 114aba b（ 2）设 abc，求使得不等式11ka bb c恒成立的 k 的最大值。a c27例 6 某食品厂定期购买面粉，已知每吨面粉的价格为1800 元，该厂每天需用面粉6吨，面粉的保管费为平均每吨每天3 元

23、，因需登记入库，每次所购面粉不能当天使用，每次购面粉需支付运输费900 元，求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？【反馈练习】111、已知 a,b0 ，且 a+b=1，求的最小值。ab12、函数 y=x(1-2x)( 0x)的最大值等于_；此时 x=_23、函数 yax22 ( x 0,a 0) 的最小值为 6，则实数 a=_x284、已知 a,b0 ，且 ab=3+ a+b，求 ab 的取值范围。5、求函数 yx( x 0) 的最大值及相应的x 的值。23( x1)6、设计一幅宣传画，要求画面面积为4840 cm2 ，画面的宽与高的比为(1) ，画面的上下各留8 cm空

24、白，左右各留5 cm 空白，怎样确定画面的高与宽尺寸，能使宣传画所用纸张面积最小？29第九讲一次分式函数【要点归纳】形如 yaxb (a, c不同时为 0)的函数，叫做一次分式函数。cxdk (k（ 1）特殊地， y0)叫做反比例函数；xaxb (a, c不同时为 0) 的 图 象 是 双 曲 线 ，（ 2 ）一次分式函数ycxdxd , ya (c0) 是两条渐近线，对称中心为（d , a ）（ c 0）。ccc c【典例分析】例 1 说明函数3x的图象可由函数 y1y的图象经过怎样的平移变换而得到，x1x并指出它的对称中心。例 2 求函数 y1x 在 -3 x -2 上的最大值与最小值。1

25、x1例 3 将函数f ( x) 的图象向右平移 1 个单位，向上平移 3 个单位得到函数 g( x) 的 x图象（ 1）求 g(x) 的表达式；（ 2）求满足 g( x) 2 的 x 的取值范围。30例 4求函数 y3x ( x 0) 的值域。2x1例 5 函数 f ( x)xax，当且仅当 -1 x1 时， f ( x) 01（ 1）求常数 a 的值；（ 2）若方程 f ( x)mx 有唯一的实数解，求实数m 的值。例 6已知 ya (x 0, a 0) 图象上的点到原点的最短距离为6x（ 1）求常数 a 的值；（ 2）设 ya ( x 0, a 0) 图象上三点 A、 B、 C 的横坐标分

26、别是 t， t+2， t+4 ，试求x出最大的正整数m，使得总存在正数t，满足 ABC 的面积等于m 。t31【反馈练习】1、若函数 y=2/(x-2)的值域为 y 1/3，则其定义域为 _ 。2x12、函数 y的图象关于点 _ 对称。x3x9k 的值。3、若直线 y=kx 与函数 y的图象相切，求实数x51| x |4、画出函数 y的图象。x 1ax15、若函数 y在 (-2 ， +)是增函数，求实数a 的取值范围。x2ax1a 的值；6、（ 1）函数 y的定义域、值域相同，试求出实数x1ax1y=x 对称，试求出实数 a 的值。（ 2）函数 y的图象关于直线x132第十讲一元二次方程【要点归纳】一元二次方程ax 2bxc0( a0)（）1、实数根的判断 0方程（）有两个不同的实数根 = 0 方程（）有两个相同的实数根 0 方程（）没有实数根2、求根公式与韦达定理当 0 时，方程（）的实数根x1,2b2a并且 x1 x2bcax1 x2a【典例分析】例 1、（ 1）已知 23 是方程 x2mx 1