小学奥数 乘法原理之染色法 精选练习例题 含答案解析附知识点拨及考点学习资料

1、 小学奥数-乘法原理之染色法-精选练习例题-含答案解析(附知 )点考及拨点识 7-2-3乘法原理之染色问题 教学目标 1.使学生掌握乘法原理主要内容，掌握乘法原理运用的方法； 2.使学生分清楚什么时候用乘法原理，分清有几个必要的步骤，以及各步之间的关系 3.培养学生准确分解步骤的解题能力； 乘法原理的数学思想主旨在于分步考虑问题，本讲的目的也是为了培养学生分步考虑问题的习惯 知识要点 一、乘法原理概念引入老师周六要去给同学们上课，首先得从家出发到长宁上8点的课，然后得赶到黄埔去上下午1点半的课如果说申老师的家到长宁有5种可选择的交通工具（公交、地铁、出租车、自行车、步行），然后再从长宁到黄埔有

2、2种可选择的交通工具（公交、地铁），同学们，你们说老师从家到黄埔一共有多少条路线？ 我们看上面这个示意图，老师必须先的到长宁，然后再到黄埔这几个环节是必不可少的，老师是一定要先到长宁上完课，才能去黄埔的在没学乘法原理之前，我们可以通过一条一条的数，把线路找出来，显3025种可选择的交通工具，并且从长宁到黄埔也有而易见一共是10条路线但是要是老师从家到长宁有种可选择的交通工具，那一共有多少条线路呢？这样数，恐怕是要耗费很多的时间了这个时候我们的乘法 原理就派上上用场了 二、乘法原理的定义 完成一件事，这个事情可以分成n个必不可少的步骤（比如说老师从家到黄埔，必须要先到长宁，那么一共可以分成两个必

3、不可少的步骤，一是从家到长宁，二是从长宁到黄埔），第1步有A种不同的方法，第二步有B种不同的方法，第n步有N种不同的方法那么完成这件事情一共有ABN种不同的方法 结合上个例子，老师要完成从家到黄埔的这么一件事，需要2个步骤，第1步是从家到长宁，一共5种选择；第2步从长宁到黄埔，一共2种选择；那么老师从家到黄埔一共有52个可选择的路线了，即10条 三、乘法原理解题三部曲 N个必要步骤；1、完成一件事分 2、每步找种数（每步的情况都不能单独完成该件事）； 3、步步相乘 四、乘法原理的考题类型 比如说老师举的这个例子就是个路线种类问题；1、路线种类问题个字有种颜色可以给每个字然后，问33个字，然后有

4、52、字的染色问题比如说要 多少种染色方法；同学们可以回家看地图，比如中国每个省的染色情况，给你几种、地图的染色问题3 颜色，问你一张包括几个部分的地图有几种染色的方法； 个同学，排成一个队伍，有多少种排法；比如说64、排队问题就是对一些数字的排列，比如说给你几个数字，然后排个几为数的偶5、数码问题 数，有多少种排法 例题精讲 ，现有红、黄、蓝三种颜色给地图染色，使)(如下图DB，C，四个国家地图上有A， 】【例 1 相邻国家的颜色不同，但不是每种颜色都必须要用，问有多少种染色方法？ABDC 【考点】乘法原理之染色问题 【难度】3星 【题型】解答 A有3种颜色可选； 【解析】当B，C取相同的颜

5、色时，有2种颜色可选，此时D也有2种颜色可选根据乘法原理，不同的涂法有种； 12?2?23当B，C取不同的颜色时，B有2种颜色可选，C仅剩1种颜色可选，此时D也只有1种颜色可选(与A相同)根据乘法原理，不同的涂法有种 6?1?3?2?1综上，根据加法原理，共有种不同的涂法 186?12?【答案】 18 【巩固】 如果有红、黄、蓝、绿四种颜色给例题中的地图染色，使相邻国家的颜色不同，但不是每种颜色都必须要用，问有多少种染色方法？ 【考点】乘法原理之染色问题 【难度】3星 【题型】解答 第一步，首先对A进行染色一共有4种方法，然后对B、C进行染色，如果B、C取相 【解析】同的颜色，有三种方式，D剩

6、下3种方式，如果B、C取不同颜色，有种方法，6?23?种方法 D剩下2种方法，对该图的染色方法一共有?484?）2?2?3?3?3（给地图染色问题中有的可以直接用乘法原理解决，有的需要分类解决，前者分类做也【注意】 可以解决问题 【答案】84 四种颜色之一，使得每个圆里面恰有四种颜、在右图的每个区域内涂上、 2】【例CDAB 色，则一共有_种不同的染色方法 1423756 【题型】解答4星 【考点】乘法原理之染色问题 【难度】个区域一共有个区域上染的颜色都不相同，所以一个圆内的因为每个圆内 【解析】44四个区域的颜色染定、种染色方法如右图所示，当一个圆内的13?244?3?242号区域的三个区

7、域的颜色相同，所以只能与、后，由于号区域的颜色不能与42361号区域的颜色号区域的颜色相同，号区域只能与颜色相同，同理号区域只能与2475四个区域的颜色染定后，其他区域的颜色也就相应的只有一、相同，所以当、4231 种染法，所以一共有种不同的染法24 【答案】24 四个国家，现用五种颜色给地图染色，要使相邻国家的D，C，A如图，地图上有，B 3】【例? 颜色不相同，有多少种不同染色方法ACBD 【考点】乘法原理之染色问题 【难度】3星 【题型】解答 为了按要求给地图上的这四个国家染色，我们可以分四步来完成染色的工作： 【解析】第一步：给染色，有种颜色可选 A5第二步：给染色，由于不能与同色，所

8、以有种颜色可选 BBBA4第三步：给染色，由于不能与、同色，所以有种颜色可选 BA3CCC第四步：给染色，由于不能与、同色，但可以与同色，所以有种颜色DBDDA3C可选 根据分步计数的乘法原理，用种颜色给地图染色共有种不同的染色方180?3?3?554法 【答案】 180 ，现在要求用四种不同的颜色，【巩固】 如图，一张地图上有五个国家，EADBC种颜区分不同国家，要求相邻的国家不能使用同一种颜色，不同的国家可以使用同 色，那么这幅地图有多少着色方法？ABCDE 星 【题型】解答【考点】乘法原理之染色问题 【难度】3 一步，给国上色，可以任选颜色，有四种选择；第 【解析】A 国不能使用国的颜色

9、，有三种选择；第二步，给国上色，ABB国的颜色，只有两国相邻，所以不能使用，第三步，给国上色，国与，BAABCC 两种选择； 两国相邻，因此也只有两种选择；第四步，给国上色，国与， CBDD种着共有，两国相邻，有两种选择 第五步，给国上色，国与962?32C?2?4DEE 色方法 【答案】96 如图：将一张纸作如下操作，一、用横线将纸划为相等的两块，二、用竖线将下边的 】 4【例区块划为相等的两块，三、用横线将最右下方的区块分为相等的两块，四、用竖线将步操作，问：如果用四种颜色对这，如此进行8最右下方的区块划为相等的两块 一图形进行染色，要求相邻区块颜色不同，应该有多少种不同的染色方法？ 【题

10、型】解答【难度】【考点】乘法原理之染色问题 3星次操作后一共次，每次操作都增加了一个区块，所以8对这张纸的操作一共进行了8 【解析】个步骤，从最大的区块从大到小开始9个区块，我们对这张纸，进行染色就需要有9，所以一共有：22、2染色，每个步骤地染色方法有：4、3、 种1536?22?2?222234? 【答案】1536 用三种颜色去涂如图所示的三块区域，要求相邻的区域涂不同的颜色，那么共有 【巩固】 几种不同的涂法？ABC 【考点】乘法原理之染色问题 【难度】2星 【题型】解答 涂三块毫无疑问是分成三步第一步，涂A部分，那么就有三种颜色的选择；第二 【解析】步，涂B部分，由于要求相邻的区域涂不

11、同的颜色，A和B相邻，当A确定了一种颜色后，B只有两种颜色可选择了；第三步，涂C部分，C和A、B都相邻，A和B确定了两种不相同的颜色，那么C只有一种颜色可选择了然后再根据乘法原理 6?2?13?【答案】 6 如图，有一张地图上有五个国家，现在要用四种颜色对这一幅地图进行染色，使相邻 】【例 5的国家所染的颜色不同，不相邻的国家的颜色可以相同那么一共可以有多少种染色方法？ 【考点】乘法原理之染色问题 【难度】3星 【题型】解答 这一道题实际上就是例题，因为两幅图各个字母所代表的国家的相邻国家是相同的， 【解析】如果将本题中的地图边界进行直角化就会转化为原题，所以对这幅地图染色同样一共有种方法 9

12、6?2?2?4?32【讨论】如果染色步骤为,那么应该该如何解答？ E-D-BC-A-答案：也是种方法 96?22?4?3?2?如果染色步骤为那么应该如何解答？答案：染色的前两步一共有43种E-A-D-B-C方法，但染第三步时需要分类讨论，如果与颜色相同，那么有2种染法，也EDBA有2种方法，如果与染不同的颜色，那么有2种染法那么只有一种染法，EBDDA有2种染法，所以一共应该有 种方法，(教师应该向学生说明第三个步骤用到了分类讨论和96?2?1?2)?4?3(1?22?加法原理，加法原理在下一讲中将会讲授)，染色步骤选择的经验方法：每一步骤所染的区块应该尽量和之前所染的区块相邻 【答案】 96

13、 【巩固】 某沿海城市管辖7个县，这7个县的位置如右图现用红、黑、绿、蓝、紫五种颜色给右图染色，要求任意相邻的两个县染不同颜色，共有多少种不同的染色方法? 【题型】解答 星4【难度】 【考点】乘法原理之染色问题如左下 (、为了便于分析，把地图上的7个县分别编号为、 【解析】FDAEBGC 图)G 为了便于观察，在保持相邻关系不变的情况下可以把左图改画成右图那么，为了完? 成地图染色这件工作需要多少步呢的顺序，用红、黑、绿、蓝、 由于有7个区域，我们不妨按、GCFABDE 步来完成染色任务紫五种颜色依次分7 种颜色可供选择；步：先染区域，有5第1A 种；同色，所以区域的染色方式有4第2步：再染区

14、域，由于不能与BBAB 的染色方式有3种；同色，所以区域第3步：染区域，由于不能与、ABCCC 的染色方式有3种；4步：染区域，由于不能与、同色，所以区域第DDDAC 3种；同色，所以区域步：染区域，由于不能与、的染色方式有第5EEDEA 3种；，由于不能与、同色，所以区域的染色方式有第6步：染区域FFAEF 种同色，所以区域不能与、的染色方式有3第7步：染区域，由于DGGGC 种不同的染色方法 根据分步计数的乘法原理，共有48603?3?33?3?5?4? 【答案】4860 个格所染的颜色互不种颜色把一个的方格表染色，要求相同行和相同列的3用3 】【例 633? 相同，一共有 种不同的染色法

15、 【题型】解答星 【考点】乘法原理之染色问题 【难度】3 3的方格表每一行和每一列都恰有个颜色根据题意可知，染完后这个 【解析】3?3种颜色染第一行，有用3个方格，种染法；染完第一行后再染第一列剩下的236P?3个颜色对3种染法；当第一行和第一列都染好后，再根据每一行和每一列都恰有有2 剩下的方格进行染色，可知其余的方格都只有唯一一种染法 种不同的染法所以，根据乘法原理，共有6?23? 【答案】6 五个区域，现用五种颜色给区域染色，染色要求：每相E、D、B如右图，有A、C 7【例】 邻两个区域不同色，每个区域染一色有多少种不同的染色方式？BEADC 【题型】解答 星3【难度】 【考点】乘法原理

16、之染色问题种方式；第三步染色，有4染色，有5种方法；第二步给B先采用分步：第一步给A 【解析】EE染色，由于D染色，有3种方式；第五步，给给C染色，有3种方式；第四步给有ED与B同色时，A不能与、B、D同色，但可以和C同色此时就出现了问题：当种颜色可染所以必须从第四步就开始分2B异色时，E有3种颜色可染；而当D与 类： （种）染色方式；E有3种颜色可染，共有第一类，D与B同色1803?5?4?3?种颜色可染，共有2种颜色可染，E有D与B异色D有2第二类，240?2?5?4?32 （种）染色方式 根据加法原理，共有（种）染色方式420?180?240【注意】给图形染色问题中有的可以直接用乘法原理

17、解决，但如果碰到有首尾相接的图形往往 需要分类解决 【答案】420 四个区域，现用四种颜色给区域染色，要求相邻区域的C，D如右图，有A，B，【巩固】 颜色不同，每个区域染一色有多少种染色方法？DACB 【题型】解答星 【考点】乘法原理之染色问题 【难度】3 种颜色可选，然后分类：有4A 【解析】种颜色可选根据乘也有3种颜色可染，此时第一类：，取相同的颜色有3DBD 法原理，不同的染法有（种）；363?3?4?种颜色可染，此时有2有3种颜色可染，第二类：当取不同的颜色时，DBBDC 种颜色可染根据乘法原理，不同的染法有（种）也有2482?4?3?2? 染色方法种)(根据加法原理，共有84?36?

18、48 【答案】84 用四种颜色对右图的五个字染色，要求相邻的区域的字染不同的颜色，但不是每 【巩固】? 种颜色都必须要用问：共有多少种不同的染色方法学而奥数思 【考点】乘法原理之染色问题 【难度】3星 【题型】解答 第一步给“而”上色，有4种选择； 【解析】 然后对“学”染色，“学”有3种颜色可选； 当“奥”，“数”取相同的颜色时，有2种颜色可选，此时“思”也有2种颜色可选，不同的涂法有 种；12?2?2?3种颜色可选，此时1数”剩仅”有2种颜色可选，“当“奥”，“数”取不同的颜色时，“奥 种)，不同的涂法有与“学”相同”“思也只有1种颜色可选(6?2?1?13? 种不同的涂法 所以，根据加法

19、原理，共有72?(2?2?2)4?3? 【答案】72 六个区域染色，要求相，分别用五种颜色中的某一种对下图的， 【例 8】CFADBE 邻的区域染不同的颜色，但不是每种颜色都必须要用问：有多少种不同的染法？ FEADCB 【题型】解答 【难度】4星【考点】乘法原理之染色问题种，注意，3，3，2，的次序染色，可供选择的颜色依次有5，4按先， 【解析】EBADC异色最后染种和和同色，有6的颜色搭配有(种)，其中有3种与93?3?DEDDEE种颜色可选，所以共有 2种颜色可选，当与异色时有与，当同色时有3DDEFE 种染法8402)?3?6?25?4?(3 【答案】840 涂不同的颜色，分别涂成红色

20、、黄色或绿色，要求有线段相连的两个相邻将图中的 【例 9】 共有多少种不同涂法？ BACD 【考点】乘法原理之染色问题 【难度】3星 【题型】解答 如右上图，当，的颜色确定后，大正方形四个角上的的颜色就确定了， 【解析】DBAC所以只需求，有多少种不同涂法按先，再，后的顺序涂色 DDABBACC按的顺序涂颜色： C-BD-A- 有3种颜色可选； A当，取相同的颜色时，有2种颜色可选，此时也有2种颜色可选，不同的涂法有DBC种； 122?3?2?当，取不同的颜色时，有2种颜色可选，仅剩1种颜色可选，此时也只有1DDBBC种颜色可选(与相同)，不同的涂法有(种) A6?1?1?32?所以，根据加法

21、原理，共有种不同的涂法 18612?【答案】 18 用4种不同的颜色来涂正四面体（如图，每个面都是完全相同的正三角形）的4个 】 10【例面，使不同的面涂有不同的颜色，共有_种不同的涂法.（将正四面体任意旋转 后仍然不同的涂色法，才被认为是不同的） 【考点】乘法原理之染色问题 【难度】4星 【题型】填空 【关键词】迎春杯，中年级，复赛，第9题 不旋转时共有4321=24种染色方式，而一个正四面体有43=12种放置方法（4个 【解析】面中选1个作底面，再从剩余3个面中选1个作正面），所以每种染色方式被重复计算了12次，则不同的染色方法有2412=2种。 【答案】种 2 用红、橙、黄、绿、蓝5种颜

22、色中的1种，或2种，或3种，或4种，分别涂在正四 】【例 11面体各个面上，一个面不能用两色，也无一个面不涂色的，问共有几种不同涂色方式？ 【考点】乘法原理之染色问题 【难度】4星 【题型】解答 我们来看正四面体四个面的相关位置，当底面确定后，（从上面俯视）三个侧面的顺 【解析】序有顺时针和逆时针两种（当三个侧面的颜色只有一种或两种时，顺时针和逆时针的颜色分布是相同的） 按使用了的颜色种数分类： 第一类：用了4种颜色第一步，选4种颜色，相当于选1种不用，有5种选法第二步，如果取定4种颜色涂于4个面上，有2种方法这一类有（种）涂法； 10?2?5第二类：用了3种颜色第一步，选3种颜色，相当于选2

23、种不用，有（种）选法； 10?45?2第二步，取定3种颜色如红、橙、黄3色，涂于4个面上，有6种方法，如下图（图中用数字1，2，3分别表示红、橙、黄3色）这一类有 （种）涂法；60?6?10 第三类：用了2种颜色第一步，选2种颜色，有（种）选法；第二步，取定2种颜10?2?5?4色如红、橙2色，涂于4个面上，有3种方法，如下图这一类有10?3?30（种）涂法； 第四类：用了一种颜色第一步选1种颜色有5种方法；第二步，取定1种颜色涂于4个面上，只有1种方法这一类有（种）涂法根据加法原理，共有10?60?30?55?1?5?105（种）不同的涂色方式 【答案】 105用红、黄、蓝三种颜色对一个正方

24、体进行染色使相邻面颜色不同一共有多少种方法？ 】【例 12如果有红、黄、蓝、绿四种颜色对正方体进行染色使相邻面颜色不同一共有多少种方法？如果有五种颜色去染又有多少种？(注：正方体不能翻转和旋转) 【考点】乘法原理之染色问题 【难度】3星 【题型】解答 如果一共只有三种颜色供染色，那么正方体的相对表面只能涂上一种颜色，一共有上 【解析】下、左右、前后一共三组对立面，所以染色的方法有种方法 6?3?21如果有四种颜色，那么染色方法可分为两类，一类是从四种颜色中选取三种对正方体进行染色，一共有种另一种是四种颜色都染上，用这种染色方法，就允24234?许有一组相对表面可以染上不同的颜色，选取这组相对表面并染上不同颜色一共有种，种方法，共种方法，用其余两种颜色去染其他四个面只有2363)3?(4?72?2?36 种方法所以一共有9672?24?种颜色并拿种用其中3种颜色的染色