双曲线的渐近线

1、双曲线的渐近线 双曲线为什么有渐近线？作者：李建军中学数学教学参考 2006 年 06 期 普通高中数学课程标准（实验） 在介绍课程的基本理念时 强调：倡导积极主动、勇于探索的学习方式。学生的数学学习活动不应只限于接受、记忆、模仿和练习，高中 数学课程还倡导自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等学习数 学的方式。这些方式有助于发挥学生学习的主动性，使学生的学习过程成为 在教师引导下的再创造过程。强调本质，注意适度形式化。高中数学课程应该返璞归真，努力揭示数学概念、法则、结论的 发展过程和本质。数学课程要讲逻辑推理，更要讲道理，通过典型例子的分析和学 生自主探索活动，使学生理解数学概念、结论逐

2、步形成的过程，体会 蕴涵在其中的思想方法，追寻数学发展的历史足迹，把数学的学术形 态转化为学生易于接受的教育形态。而概念作为数学的基础，其教与学的过程正是体现这些理念的最 重要的课题之一。那么在教学过程中如何去体现这些理念，本文就结合教学中的实 例谈谈自己的体会。在学习双曲线的几何性质之前，我安排学生预习，并要求类比椭圆的研究方法，尽量先独立探索，再和小组的其他同学讨论，关键是 能够提出自己的问题、疑惑并尝试解决。以下就是课堂上师生的部分发言。 教师：今天在上课之前请同学们将自己预习的成果共享一下。学生 1：当 x=0 时，方程学生 2：我想这是为了和椭圆的短轴对 立。学生 3：我觉得更多地是

3、为了引进双曲线的渐近线这个概念。 在一阵短暂的讨论之后，多数同学基本认可了学生 3 的观点，又 一个同学站了起来，面带着一点不好意思的笑容：可是我不明白，为 什么双曲线就有渐近线，而椭圆就没有？ 在同学们的一阵笑声中，我 却愣住了：这个问题以前没有学生问过，自己也没做过深入的思考， 不过我马上肯定了这个同学的问题提得好并反问，将它还给了所有的 同学，这一下，轮到同学们愣住了，随即传出一阵乱七八糟的说法： 书 上没说啊 我也是看书才知道有的，昨天为了弄清书上的证明还费 了老大的劲儿 讨论是进行不下去了。我也只好临场发挥了；看来我们只好从头开始了。 以下就是根据我和学生共同讨论的结果。1.对称性：

4、和椭圆的完全一样。2.范围：由方程，这也和椭圆相似。 不过和椭圆不一样的是这里没有 y 的取值范围。是不是就没有研究的价值了呢？ 学生 5：由可以取遍所有的非负实数，也就是说 yR。学生 6：还可以得到，不过我还没想出这意味着什么？ 学生 7： 平面区域！说明点 (x,y)位于某个区域内。通过回忆、讨论，大家形成了一致意见：双曲 正当我和同学们想 来一起解决这个问题的时候，下课铃响了，看着同学们既相信又疑惑 的眼睛，我布置了这节课的作业；系统研究双曲线的几何性质。启示一：概念的教学要提供相应的问题情境，要让学生清楚概念 的来源及形成过程。很多数学概念从形成的成熟也是经历了漫长的过程的。 现在看

5、来美不胜收的一些重要的数学理论和方法，在一开始往往 是混乱粗糙、难以理解甚至不可思议的， 但由于蕴涵着创造性的思想， 却又最富有生命力和发展前途，经过许多乃至几代数学家的努力，有 时甚至经过长期的激烈论争，才逐步去粗取精、去伪存真，使局势趋 于明朗，最终出现了现在为大家所公认、甚至写进教科书里的系统的 理论。我个人认为，双曲线的渐近线对同学们来说是难点，其难在大家 对这个概念的来源没有深切的体验，而多数时候我们认为：渐近线方 程为的双曲线方程可设为的形式。也只是从结果到结果的一个证明，并没有给学生提供一个产生过 程的体验，正所谓知其然而不知其所以然。启示二：概念的教学在可能的情况下要放手让学生

6、自己去提出问 题、解决问题。本节课正是从一个看似简单亦很可笑的问题：为什么会由一个虚 轴出发，一步一步地深入，整个过程呈现一种螺旋式的前进趋势。学生从开始逐步获得无限接近的直观感觉，进而形成渐近线的印 象，从理论证明中获得常数 1 即使换成 A 也无法改变这种无限接近的 事实后，就慢慢认识到了渐近线这一概念的本质，从而从特殊升华到 一般并将其推广。学生在这个过程中不但体验了数学概念的本质，也体会了学习数 学的乐趣，更体会了学习数学的方法。这对学生将是受益无穷的。启示三：概念的学习要有足够的时间保证。 本节课看起来没有完成应该完成的教学任务，而且布置的作业的 几何性质，在第二天又整整用了一节课才

7、得以完成。但在这个过程中，学生通过这一个例子结合教材上的进行比较， 有效地领会了双曲线的各个概念的本质，对各种易错问题进行了一种 体会，这也是简单地做一两道题所达不到的一种效果。作者介绍：李建军 湖北长阳县一中曲线的渐近线曲线的渐近线 刘 春三、 曲线的水平渐近线摘 要 曲 线 的渐 近 线 分 为 ： 斜 渐 近 线 、 水 平 渐 近 线 和 垂直渐近线 。在 高等数 学的学 习中，无论是本科 生还是 专科生对 的教 学 实践 ，对渐近 线定义 中的要 点强化理解 并辅 以函数 图像 ( 可 以用描点法作图）让学生产生直观联 想。 关键词一定义若），或 ）， 或厂） ，为常曲线渐近线的学习

8、都有一定难度，普遍 感到有困难。经过多年数。则称直线 为曲线 （ ）的水平渐近线。 定义要点是：（）极限过程是一。或者一或者 ；（）极限结果是常数。例题 ：考察（ ）的渐近线 一 解：， （ ） 一，一（ ） 曲线渐近 线要点求 法、曲线渐进性的定义定义：若曲线上的动点沿着曲 线无限地远离原点时，点与某一固定直线的距离趋 于零，则称直线为曲线的渐近线。所以直线与 是曲线的水平渐近线。见图例题：考察（）的渐近线二、曲线 的斜渐近线定义：若（）满足：（）解：因为 厂（ ） 所以直线 是 的水平渐近线。一或者 ； ）极限结果是 或一见图，（）定义 的要点是： ，（）一 则 曲线（）有斜渐近线 。（）

9、 极 限过程是一 （一一。、。）；（） 、是常数；（ ）分别是对，厂（ ）一求极限。例题：考察厂（ 户，的斜渐近线万 厂 ： 一一一 解：因为（ ）一（ ）： 等。 ，音而 所以函数的斜渐近线是：图像见图图图四、垂直（铅直） 渐近线定义：厂（）（一）， 例题：考察厂 （ ）一一 的渐近线解：因为 厂（）（一或者，（）（。）或者 ：二 ！则 。是函数 （ ）的垂直渐近线。定义的要点是：（）。是（ ）的间断点； （ ）极限过程是 或者；（）结论是 是（）的垂直渐近线。 ：考察厂 户的垂直渐近线（）一 一！互（ 。（）一一所以，函数有斜渐近线：一图像见图解：得 是间断点；一 ，）！ 鼍一 所以 是（

10、）的垂直渐近线 。见图。五、练习题：求下列函数的渐近线 。 图刍一一、， 南一 ；、 唱 一鬲；。、 了注意：一个函数若有几 种渐近线，均得求出。（作者单位：重庆市工业高级技工学校） 双曲线的渐近线教案2.3.3双曲线的渐近线学习目标知识与 能力：掌握双曲线的渐近线方程并能熟练求解过程和方法： 通过学习， 培养学生的观察、归纳、分析能力情感态度与价值观：引导学生通过 类比思想发现共渐近线的双曲线方程的特点重点、难点：双曲线的渐 近线方程及对共渐近线双曲线系方程的求解 教学方法：启发引导式教 学安排：1 课时教学过程：一、课前回顾双曲线几何性质回顾表格（学 生填写）二、知识归纳（ 1）若双曲线方

11、程为（ a0,b0），则该双曲线的渐进线方程为（2）若双曲线方程为（ a0,b0），则该双曲线的渐进线方程为。2、等轴双曲线（1）实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线 （ 2） 等轴双曲线的渐进线方程为 y=，x且两条直线互相垂直。例 1：若等轴双曲线的一个焦点是 F（ -6,0），则它的方程为分析， 学生求解） 3、共渐近线的双曲线系方程（学生讨论） （ 1）与双曲线 （a0,b0）共渐近线的双曲线系方程可设为。（老师 （ 2）与双曲线（ a0,b0）共渐近线的双曲线系方程可设 为 例 2 求与双曲线有共同的渐近线，且过点的双曲线方程 . 解：设所 求双曲线方程为 将点代入，得 则所求双曲线

12、方程为三、课堂练习 1. 双曲线 A. B. 的渐近线方程为（ C ） C.D.2.已知，直线 x是双曲线的一条渐近线，则 3.已知双曲线的渐近线方程为 x，求此双 曲线的离心率。四、拓展延伸（高考链接） 已知双曲线的一条渐近线平行于直线， 双曲线的一个焦点在直线 l 上，则双曲线的方程为（ A ）A. B. C. D. 五、作业课本 习题 2.3 A组 3,6 关于双曲线的渐近线的学习关于双 曲线的渐近线的学习浙江省永康市古山中学（ 321307）吴汝龙在双曲线的几何性质中，渐近线是双曲线所特有的性质，因此学好 双曲线的渐近线对学习双曲线的几何性质有很大的帮助。在学习这部分内容时，应注意以下

13、几点： （1）明确双曲线的渐近 线是哪两条直线。过双曲线实轴的两个端点与虚轴的两个端点分别作对称轴的平行 线，它们围成一个矩形， 其两条对角线所在直线即为双曲线的渐近线。画双曲线时，应先画出它的渐近线。 （2）理解渐进两字的含义，当双曲线的各支向外延伸时，与这两 条直线逐渐接近，接近的程度是无限的。也可以这样理解：当双曲线上的动点 M 沿着双曲线无限远离双曲 线的中心时，点 M 到这条直线的距离逐渐变小而无限趋近于 0。（3）掌握根据双曲线的标准方程求出它的渐近线方程的方法。 最简单且实用的方法是： 把双曲线标准方程中等号右边的 1改成 0， 就得到了此双曲线的渐近线方程。（4）掌握根据双曲线

14、的渐近线方程求出双曲线方程的方法。 我们不妨先看下面这个具体的例子。有共同的渐近线， 并且过点 A（6,82）的双曲线的方程。例：求与双曲线 ，所以其渐近线的方程是 ， 容易解法 1：由于双曲线的方程是 3916 判断点 A（6,82）在直线 的上方，故所求双曲线的焦点在 y 轴上，所以设双曲线 3y2x2的方程是。根据已知条件有 ，解得 ， 。所以所求双曲线方程是 有共同渐近线的双曲线方 程都可以表示解法 2：实际上，与双曲线（ ）的形式。916 当 时，所求双曲线的焦点在 x 轴上，这时其渐近线方程 是 ； 33 当 时，所求双曲线的焦点在 y 轴上，这 时双曲线的标准方程是 ，其渐近线方

15、程是 。所以，可设双曲线方程是 916 由于点 A（6,82）在双曲线上，所以 有 ， 。916y2x2 。故所求双曲线方程是 6436x2y2x2y2结论 1：与双曲线有共同渐近线的双曲线的方程可表示为 （ ， ）。bx2y2结论 2：若双曲线的渐近线方程是，则双曲线的方程可表示为 （ ， ）。（可以先变形为 ，这样就与结论 1一致了） ab 以上四点 是学习双曲线的渐进线时应该掌握的，学好了双曲线的渐近线，就可 以帮助我们学好双曲线的几何性质。关于双曲线的渐近线 ,为什么双曲线的渐近线就是把 1 换成 0？中 学生都知道双曲线，就算现在不知道，用不了多久也会知道。我相信大家学到这一点的时候

16、，第一个想到的就是这里的双曲线 和我们反比例函数的双曲线之间的关系， 关于这一点， 请参看拙文双 曲线与反比例函数，里面有详细的介绍。今天要谈得，是关于双曲线的渐近线，为什么双曲线的渐近线就 是把 1 换成 0？首先对于什么是渐近线我想就不用我说， 考虑圆锥曲线：我们知道，其渐近线方程为 y=b/a，x 如果你容易记错，那么很简单， 你只需把双曲线方程右边的 1 换成零，就是双曲线的渐近线方程了 我 们不禁要问，为什么这么神奇？为什么把 1 换成零就是渐近线方程？ 这个原理有什么直观上的含义么？虽然我们完全可以证明这个方法的 合理性，但是我想每一位同学都很想从直观的角度来看，看这里面究 竟隐藏

17、着什么？！今天，我们就用极限的观点来看这个有趣的问题（画图像花了半天，所以这么晚才发表啊！ ）现在考虑这样的一个双曲线族。就是一系列双曲线 其中 k 为常数，不同的 k 值对应着不同的双曲 线，我想大家可以看出来，这样画出来的所有双曲线都有相同的渐近 线。为了方便，我们画出当 k=1、0.36、0.1、0.01 时候的双曲线： 最 外面的双曲线是 k=1，其次是 k=0.36， k=0.1， k=0.01 时候的双曲线， 我们不禁发现，当 k 越来越小，函数的图像就越来越靠近渐近线！可 以看到当 k=0.01 的时候，双曲线已经基本上和渐近线重合了，如果 k 取更小的值得话，画出来的图像就更加

18、接近于渐近线。所以， k=0 时候的函数图像就是这一系列双曲线的极限状态。 这就是为什么我们求双曲线的渐近线的时候，只需把右边的 1 换 成零。双曲线渐近线求方程问题渐近线求双曲线方程问题1.已知双曲线的渐近线方程是 ，焦点在坐标轴上且焦距是 10，则此双曲线 的方程为 答案： 或12.以抛物线的焦点 F为右焦点 ,且两条渐近线是 答案： 3.焦点为（ 0，6），且与双曲线 答案： 的双曲线方程为 有相 同的渐近线的双曲线方程是 过点（-6，3）且和双曲 线 x2-2y2=2 有相同的渐近线的双曲线方程为 答案 过 点 且与双曲线 答案： 有公共渐近线的双曲线方程 是 已知双曲线 M 过点 P

19、（4,答案： 62），且它的渐近线方 程是 。求双曲线 M 的方程 求与双曲线答案： 8.求以 为渐近线，且经过点（ 1,2）的双曲线方程有共同的渐近线，并且过点 A（6，82）的双曲线方程 答案： 高二 8 渐近线求双曲线方程渐近线求双曲线方程 1.已知双曲线的渐近线方程是以抛物线 的焦点 F 为右焦点,且两条渐近线是焦点为（ 0，6），且与双曲线 x2x2，焦点在坐标轴上且焦距是 10，则此双曲线的方程为的双曲线方程为有相同的渐近线的双曲线方程是 4.过点（ -6，3）且和双曲线 x2-2y2=2 有相同的渐近线的双曲线方程为 5.过点 且与双曲线 6. 求以 为渐近线，且经过点（ 1,2

20、）的双曲线方程 7.已知动点 P 与双曲线 x2y2 1 的两个焦点 F1， F2 的距离之和为定值，且 cosF1PF2的最小 1值为 3（1）求动点 P的轨迹方程；（2）设 M（0， 1），若斜率为 k（k 0的）直线 l 与P点的轨迹交于不同的两点 A、B，若 要使|MA| |MB| ，试求 k的取值范围（12 分）有公共渐 近线的双曲线方程是双曲线的渐近线方程在解题中的应用 ? 课外园 地 ? 数学通讯年第期（上半月） 研究对应的和式：号等等 易被忽视的结论：两个非整数的和为整数，则它们 以上从观察特殊的事例出发，发现了一个 容， 中任何一项都不是整数，但任何两相邻项的和 都是整数，中

21、共有项，由 一 的整数部分的和比它们本身的和小 为了简 洁解决问题，考虑辅助问题和式，用相邻两项配对 ，揭 示和式的特点，在丁中尽管任何一项都不是蚪 知道，所求和的值比小， 即整数，但任何两相邻项的和都 是整数，利用与之间的关系一丁一 解决问题从以上两个问题的解决，我体会到：在解决 问中，要时刻关注数学结构，揭示数学结构之间的而 一号 了 一号 题本质联 系，对一些比较困难的问题，可以构造与之： 二 一 ！一所以， 。相关的辅助的问题，以利于问题的解决 （收稿日 期：）一一一双 曲线的渐近线方程一一。雷宗霏 指导教师 鲍书梁（山西大学附属中学高 班 ） 先看道经典的例题 例如图 ，直线与 双

22、曲线：一十一二 芳一 由 可得 一，即 与 交于。、 两点，与双曲 线 的渐近线交 于、 两点，求证： 。 。证 明（） 一眦的 中点重合，从而有 。 评析本题中，、属 于不同的曲线，为了求其长度，需求出各自的坐标，这 样未免有些繁设（，），（， ），（，），琐，而将两条渐近 线的方程表示成一， 一的形式，并将它看作一般 的二次曲线，从而简便地解由 一 得口 决了问题上述思想方法在近几年的高考题中 屡图见不鲜，它的特点是某条直线与双曲线的两 条渐近线分别相交，一旦出现这种条件，本题中的思 想方法就有了用武之地（。一口。） 。一口 一眦 ，由气 享一 。得 （ 一口。） 。一 砌一方程 的两解，

23、所以： 由条件知，。为 方 程的两 解 ，。为 ：例（ 年 重庆高考理科试题）已知以原点为中心， （ ，）为右焦点的双曲线的 离心率一（）求双 曲线 的标 准方 程及其渐近线方程；。（）如图，已知过点（，） 的直 线数学通讯年第期 （ 上半月） ?课外园地 ? 一与过 点 （）（其中 ）的直线：一的交曲线？看存在，求出双曲线的万崔；看小存在，说明理由解（）一 点在 双线上，直线与两条渐近线分别交于设双曲线：，设（）是双、两点，求的面积曲线 右支上的 一点则 双曲线在点处的切线方图 解（ ）双曲线的标准方程为等一一，渐近线方程为一去（ ）因 为点（。）为。、 的交点所以，所以：程 为筹一口 口一

24、且詈口一茜一联立联立方 方程程组 组，由 由 一口口，得 一一 一 （ 一）一 一 。一 ，又因为点在双曲线 上，所以；一一设 （ ）， （ ，）将 双曲线的两条渐由弦长公式得一 碍 ?口：（一） 近线的方程表示为等一。一 一，一一丁卜一 、可，联立方程 组： ，整理得百点到 直线 的距离一兰兰生一 ， 瓦瓣 。蠢最一一，由韦达定理得， 五十如如 所 以一去 一 ，解得 ：点到直线的距离一 所以，存在总与直线有且只有一个 公共点的双曲线，且： 一 一丢 ? ? ? 一 ? ? 一一点感悟正 所谓博观而约取，厚积而薄发只有广见博识，才能择 其精要者而取之；只有积累丰厚，才能得心应手为我 所用做解

25、析几何题也是这样，敏锐地观察出题目的 特点，并且联想到有关的方法、技巧，是解决解析几 何问题的有效途、：丽。例（福建高考 数学理科试题） 已知双曲线： 一径，我们应该从做过的题目中提 炼出一些有价值一（，）的 内容，这样，就能在解题时降低思维难度，简化过 程，快速得分，的两条渐近线分别为 ：一 ， ：一参考文献：（）求双曲线的离 心率；图 陶平生主编高中数学竞赛专题讲座： 解析几何 杭州 ：浙江大学出版社 ， ( 收稿 日期 ： ) ( ) 如 图 ， 为 坐 标 原点， 动直线 分 别交 直线 ， 于 ， 两 点( ， 分别在第 一 ， 四象 限) ， 且 的面积 恒为 ， 试 探 究： 是

26、 否存 在总 与直线 有且 只有 一个 公共 点 的双 proe 齿轮渐近线曲线方程 proe 齿轮渐近线曲线方 程分类： 学习 2011-11-24 00:51 145人阅读 评论 (0) 收藏 举报直齿轮 关 系 式 ha=(hax+x)*m hf=(hax+cx-x)*m d=m*z da=d+2*hadf=d-2*hf db=d*cos(alpha)直齿齿轮齿廓渐开线生成方程 /* 为笛卡儿坐标系输入 参数方程 /*根据 t (将从 0 变到 1) 对 x, y和 z/* 例如:对在 x-y平面的 一个圆，中心在原点 /* 半径 = 4，参数方程将是 :/* x = 4*cos(t*3

27、60)/* y = 4*sin(t* 360)/* z = 0/*-r=df/2theta=t*55x=r*cos(theta)+r*sin(theta)* theta*pi/180y=r*sin(theta)-r*cos(theta)* theta*pi/180z=0 斜 齿 轮 关 系 式 ha=(hax+x)*mn hf=(hax+cx-x)*mn d=mn*z/cos(beta) da=d+2*hadb=d*cos(alpha) df=d-2*hf 斜齿齿轮齿廓渐 开线生成方程 /* 为笛卡儿坐标系输入参数方程 /* 根据 t (将从 0变到 1) 对 x, y和 z /* 例如:对在

28、 x-y 平面的一个圆，中心在原点 /* 半径 = 4，参数方程将是 :/* x = 4*cos(t*360)/* y =4*sin(t*360)/* z =0/* - r=df/2 theta=t*45x=r*cos(theta)+r*sin(theta)*theta*pi/180y=r*sin(theta)-r*cos(theta)* theta*pi/180 z=0 斜齿轮圆角 半径定义程序 if hax=1sd1=0.38*mn endifif hax1sd1=0.47*mn endif 复 制齿廓旋转角度公式 asin(2*b*tan(beta/d)/3 直齿圆锥齿轮的参数关 系式

29、ha=(hax+x)*mhf=(hax+cx-x)*mh=(2*hax+cx)*mdelta=atan(z/z_asm) d=m*z db=d*cos(alpha) da=d+2*ha*cos(delta) df=d-2*hf*cos(delta) hb=(d-db)/(2*cos(delta) rx=d/(2*sin(delta) theta_a=atan(ha/rx) theta_b=atan(hb/rx) theta_f=atan(hf/rx) delta_a=delta+theta_a delta_b=delta-theta_bdelta_f=delta-theta_f ba=b/co

30、s(theta_a) bb=b/cos(theta_b)bf=b/cos(theta_f) d1=d/(2*tan(delta) 第一组关系式 sd17=df/2sd16=db/2sd15=d/2sd12=da/2sd18=b sd11=delta sd10=90 第 二 组 关 系 式 sd0=d/cos(delta)sd1=da/cos(delta) sd2=db/cos(delta) sd3=df/cos(delta) 第 三 组 关 系 式 sd0=(d-2*b*sin(delta)/cos(delta)sd1=(da-2*ba*sin(delta_a)/cos(delta) sd2=

31、(db-2*bb*sin(delta_b)/cos(delta) sd3=(df-2*bf*sin(delta_f)/cos(delta) 直齿圆锥齿轮(大圆)齿廓渐开线 生成方程 /* 为笛卡儿坐标系输入参数方程 /*根据 t (将从 0 变到 1) 对 x, y和 z /* 例如:对在 x-y平面的一个圆，中心在原点 /* 半径 = 4，参数方程将是 :/*x = 4*cos(t*360)/*y = 4*sin(t*360)/*z = 0/*-r=df/cos(delta)/2theta=t*60 x=r*cos(theta)+r*sin(theta)*theta*pi/180y=r*si

32、n(theta)-r*cos(theta)* theta*pi/180 z=0 直齿圆锥齿轮 (小圆)齿廓 渐开线生成方程 /* 为笛卡儿坐标系输入参数方程 /* 根据 t (将从 0 变 到 1) 对 x, y和 z /* 例如 :对在 x-y平面的一个圆，中心在原点 /* 半径 = 4，参数方程将是 :/* x = 4*cos(t*360)/* y =4*sin(t* 360)/* z =0/* -r=(db-2*bb*sin(delta_b)/cos(delta)/2theta=t*60 x=r*cos(theta)+r*sin(theta)* theta*pi/180y=r*sin(t

33、heta)-r*cos(theta)* theta*pi/180 z=0 镜像参照平 面生成旋转角度 90*cos(delta)/z180*cos(delta)/z 有理函数曲线的渐近 线求法第卷 第期月宁 波 高 等 专 科 学 校 学 报二 洲年 有 理 函 数 曲线 的 渐 近 线 求 法贝颂 民公 安海 誉高 等专 科 学 校 浙 江 宁波摘 要 文 章 阐述 了 求 有 理 函 数 曲 线 的 渐 近 线 不 仅 可 用 常规 的通 过 求 极 限 值 的 方 法 来 确 定 还 可 用 初 等 方 法 来确定 .,关键词 有理 函 数 曲线 渐 近 线 求 法中 图分 类号文 献标 识 码文章 编 号一一一引 言 在 直 角 坐 标 系 中 描 绘 函 数 图形 的 过 程 时 对 函 数 图 形 无 限 远 离 原 点 的 情 形,往 往 借助于 渐 近