几何最值问题习题及答案

1、几何最值问题（习题）例题示范例1:如图，折叠矩形纸片ABCD，使点B落在边AD上，折痕EF的两端分别在AB，BC上（含端点）.若AB=6cm, BC=10cm,则 AB的取值范围是.BF CEA BD【思路分析】1. 明确目标，分析定点、动点要求AB的取值范围，即求AB的最大值与最小值，定点是A,动 点是B;2. 分析动点的形成因素，寻找不变特征动点B是由点B折叠得到的，所以BE =BE，BF =BF，因为AE+BE=6, CF+BF=10,所以AE BE =6, CF BF =10 （不变特征）. 先求AB的最大值：把AE, BE , AB放在一个三角形中，根据三角形三边关系： 两 边之和大

2、于第三边，可得：AB AE BE，即AB 6 ,如果AB 有最大值，则三角形三个顶点应该共线，即点 E与点A重合， 此时AB=6，由此可得，AB 6，即AB的最大值是6.再求AB的最小值：转化为求BD的最大值，考虑把BD放入RtA BDC中，只需 BC最大即可，把CF, BF , BC放在一个三角形中，根据三 角形三边关系，类比上面求解AB最大值的方法得到BC的最大值为10,由此得到BD的最大值是8,即AB的最小 值是2.综上，AB的取值范围是：2cm AB 6cm.3.作出图形，验证是否符合题意.BFCBC(F)EA(E)BDA BD图1图2巩固练习1 如图，在 ABC中，/ BAC=120

3、 AB=AC=4，点M，N分别在边AB, AC上，将厶AMN沿MN翻折，点A的对应点为A ,连接BA，则BA长度的最小值为 .AMNABC2 如图，在三角形纸片ABC中，已知/ ABC=90AC=5,BC=4.过点A作直线I平行于BC,折叠三角形纸片ABC，使直角顶点B落在直线I上的点P处，折痕为MN.当点P在直线I上移动 时，折痕的端点M，N也随之移动，若限定端点M，N分别在 AB，BC边上（包括端点）移动，则线段AP长度的最大值与最 小值之差为.BN C第3页3 在锐角 ABC中，AB=4, BC=5，将 ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到 AiBCi.若E为线段AB的中点，则在 ABC绕

4、点 B按逆时针方向旋转的过程中，线段ECi长度的最大值 是，最小值是_.CiBC4 如图，在 ABC 中，AB=5，AC=12，BC=13, P 为 BC 边上任一点，PE丄AB于点E，PF丄AC于点F，M为EF中点，则线 段PM长度的最小值为.5 正方形ABCD的边长为a，P是BC边上任意一点（可与B，C重合），B，C，D三点到射线AP的距离分别是hi, h2，h3，设hi+h2+h3=y，贝U y的最大值是，最小值是6 如图，已知AB=10, P是线段AB上任意一点，在AB的同侧分 别以AP和PB为边作等边 APC和等边 BPD，则线段CD长度的最小值为.CAPB7 如图，在Rt ABC

5、中，/ ACB=90 AC=6, BC=4,在厶 ABC 内部以AC为斜边任意作RtAACD，连接BD，则线段BD长度的 最小值为.BCA8 如图，正方形ABCD的边长是2,以正方形ABCD的边AB为边，在正方形内作等边三角形ABE，P为对角线AC上的一动点 ，贝卩PD+PE的最小值为.ADBC9 如图，在菱形ABCD中，AB=2，Z A=120若P，Q，K分别 为线段BC，CD，BD上的任一点，则PK+QK的最小值为ADBP C思考小结1 几何最值问题的处理思路 分析定点、动点，寻找不变特征； 若属于常见模型、结构，调用模型、结构解决问题；若不属于常见模型，要结合所求目标，根据不变特征转化为 基本定理或表达为函数解决问题.2 转化原则：尽量减少变量，向定点、定线段、定图形靠拢，或使用同一 变量表达所求目标.3. 基本定理：两点之间，线段最短（已知两个定点）垂线段最短（已知一个定点、一条定直线）三角形三边关系（已知两边长固定或其和、差固定）4. 常用模型、结构示例:轴对称最值模型求PA+PB的最小值，对称至异侧B BAl B求|PA-PB|的最大值，对称至同侧M N固定长度线段MN在直线I上滑动，求AM+MN + BN的最小值，需 平移BN （或AM）,转化为AM MB解决.折叠求最值结构M NAB C求BA的最小值