层次分析法例题

1、莈某物流企业需要采购一台设备，在采购设备时需要从功能、价格与可维护 性三个角度进行评价，考虑应用层次分析法对 3个不同品牌的设备进行综 合分析评价和排序，从中选出能实现物流规划总目标的最优设备，其层次 结构如下图所示。以A表示系统的总目标，判断层中Bi表示功能，B2表示 价格，Ba表示可维护性。Ci，C2，C3表示备选的3种品牌的设备。目标层判断层图设备采购层次结构图羄解题步骤:羅1、标度及描述芀人们定性区分事物的能力习惯用5个属性来表示，即同样重要、稍微重 要、较强重要、强烈重要、绝对重要，当需要较高精度时，可以取两个相 邻属性之间的值，这样就得到9个数值，即9个标度。螇为了便于将比较判断定

2、量化,引入1 9比率标度方法，规定用1、3、5、7、9分别表示根据经验判断，要素 强重要、强烈重要、绝对重要，而i与要素j相比：同样重要、稍微重要、较2、4、6、8表示上述两判断级之间的折衷值羇标度肅定义（比较因素i与j）蚁1葿因素i与j同样重要螆3膄因素i与j稍微重要肂5羇因素i与j较强重要蒅7芄因素i与j强烈重要蒃9虿因素i与j绝对重要薈 2、4、6、8莄两个相邻判断因素的中间值蚀倒数莁因素i与j比较得判断矩阵a ij，则因素j与i相比的判断为aji=1/aij莇注：ajj表示要素i与要素j相对重要度之比，且有下述关系:蔻aj=1/aji ； ah=1 ； i,j=1 ,2,，n肁显然，比

3、值越大，则要素i的重要度就越高。螈2、构建判断矩阵A肆判断矩阵是层次分析法的基本信息，也是进行权重计算的重要依据。 根 据结构模型，将图中各因素两两进行判断与比较，构造判断矩阵：蔻判断矩阵A B（即相对于物流系统总目标，判断层各因素相对重要性比 较）如表1所示；蒁判断矩阵BC（相对功能，各方案的相对重要性比较）如表2所示；薀判断矩阵B2 -C（相对价格，各方案的相对重要性比较）如表3所示；袄判断矩阵Ba -C（相对可维护性，各方案的相对重要性比较）如表4所薄示。袂表1判断矩阵AB羈1袇1/3蚄2罿3蚀1蚆5螄1/2莀1/5膈1蒅表2判断矩阵Bi -c袃1螁1/3袀1/5蒈3羃1膂1/3莈5芇3

4、肃1薃表3判断矩阵B2-C肀1羆2肃7螀1/2蒇1螅5膃1/7膀1/5腿1螇表4判断矩阵B3 -C13l/7l/3:11/97913、计算各判断矩阵的特征值、特征向量及一致性检验指标一般来讲，在AHP法中计算判断矩阵的最大特征值与特征向量，必不需要较高的精度，用求和法或求根法可以计算特征值的近似值。求和法1) 将判断矩阵A按列归一化(即列元素之和为1): bj= aij/砂;2) 将归一化的矩阵按行求和：Ci=3Dj (i=1 , 2, 3.n);3) 将G归一化：得到特征向量 W= (w1, w2,wn ) T, wi=Ci /艺cW即为A的特征向量的近似值；4) 求特征向量W对应的最大特征

5、值：求根法1) 计算判断矩阵A每行元素乘积的n次方根；亦二叮引 (i =1,2,)_wi丁2) 将Wi归一化，得到wi = n _ ; W= (w1, w2,wn ) T即为A的特、wii 征向量的近似值；3) 求特征向量W对应的最大特征值：(1)判断矩阵A-B的特征根、特征向量与一致性检验 计算矩阵A-B的特征向量。计算判断矩阵A - B各行元素的乘积Mi ,并求其n次方根，如1 2 M1 -2=-,*=3 M“=0.874 ,类似地有，W2=3M2 二 2.466 ,33W3 =3 m3 =0.464。对向量 W =W, W2,，WnT 规范化，有类似地有W2 =0.684 , W- =0

6、.122。所求得的特征向量即为： 计算矩阵A-B的特征根类似地可以得到 AW2 =1.948 , AW- = 0.3666。按照公式计算判断矩阵最大特征根： 一致性检验。实际评价中评价者只能对A进行粗略判断，这样有时会犯不一致的错 误。如，已判断比重要，C2比C3较重要，那么，C1应该比C3更重要。 如果又判断5比。3较重要或同等重要，这就犯了逻辑错误。这就需要进行 一致性检验。根据层次法原理，利用A的理论最大特征值 乙諏与n之差检验一致性。一 致性指标：计算 CI 二 max _n = 3.004 _3 = 0.002V0.1, CR = C1 = 0.003 ： 0.1，查同阶平均 n -

7、13 -1RI随机一致性指标(表5所示)知R 0.58 ,(一般认为CIV0.1、CRV0.1时, 判断矩阵的一致性可以接受，否则重新两两进行比较)。表5平均随机一致性指标阶数34567891011121314RI0.580.891.12：1.261.36 :1.411.461.491.52 :1.541.561.58 |(2)判断矩阵Bi C的特征根、特征向量与一致性检验类似于第(1)步的计算过程，可以得到矩阵Bi C的特征根、特征向量与一致性检验如下：W =0.105, 0.258, 0.637丁，入max =3.039 , CR = 0.033c0.1(3) 判断矩阵B2-C的特征根、特

8、征向量与一致性检验类似于第(1)步的计算过程，可以得到矩阵刀：一C的特征根、特征向量与一致性检验如下：W 二0.592, 0.333, 0.075T , max =3.014 , CR =0.012 ： 0.1(4) 判断矩阵B3-c的特征根、特征向量与一致性检验类似于第(1)步的计算过程，可以得到矩阵B3 -C的特征根、特征向量与一 致性检验如下：W -0.149, 0.066,0.785T , max =3.08 , CR =0.069 ： 0.14、层次总排序获得同一层次各要素之间的相对重要度后， 就可以自上而下地计算各级 要素对总体的综合重要度。设二级共有 m个要素c1, c2,m，它们对总值的 重要度为w1, w2，,w ；她的下一层次三级有p1, p2，卫共n个要素，令要素 Pi对Cj的重要度(权重)为Vjj，则三级要素pi的综合重要度为：方案 0的重要度(权重)=0.230 0.105+0.648 S.529+0.122 &149=0.426 方案 C2的重要度(权重)=0.230 0.258+0.648 0.333+0.122 0.066=0.283 方案 C3的重要度(权重)=0.230 0.637+0.648 0. 075+0.122 085=0.291 依据各方案综合重要度的大小，可对方案进行排序、决策。层次总排序如表6所示。表6层次总排序层