电动力学的总结

1、第一章电磁现象的普遍规律本章重点：从特殊到一般，由实验定律加假设总结出麦克斯韦方程。主要内容：讨论几个定律，总结出静电场、静磁场方程；找出问题，提出假设，总结真空中麦氏方程； 讨论介质电磁性质，得出介质中麦氏方程； 给出求解麦氏方程的边值关系； 引入电磁场能量，能流并讨论电磁能量的传输。 1.电荷和静电场一、库仑定律和电场强度1. 库仑定律QQ r 一个静止点电荷 Q对另一静止点电荷 Q的作用力为：F*34 or 静电学的基本实验定律（2）两种物理解释超距作用：一个点电荷不需中间媒介直接施力与另一点电荷。场传递： 相互作用通过场来传递。对静电情况两者等价。2点电荷电场强度每一电荷周围空间存在电

2、场：即任何电荷都在自己周围空间激发电场。 它的基本性质是：电荷对处在其中的其它电荷具有作用力。对库仑定律重新解释：描述一个静止点电荷激发的电场对其他任何电荷 的电场力。描述电场的函数一一电场强度定义：试探点电荷右，则EE(X)它与试探点电荷无关，给定 Q，它仅是空间点函数，因而是一个矢量场 静电场。3 场的叠加原理（实验定律）n个点电荷在空间某点的场强等于各点电荷单独存在时在该点场强的矢量4.电荷密度分布体密度：r xlimQdQV 0VdV面密度：r xlimQdQS 0SdS线密度：r xlimQdQl 0ldldQx dV和，即：E(X)Qii3 o riEi。Q v X dV， Q $

3、 X dS, Q 匚 X dl5.连续分布电荷激发的电场强度若已知rx ,原则上可求出E x ,若积分不可可近似求解或数值积r rr rE（x）rdV 或E(x)x rS3dSV 4 0 rS 4 0 r3rr亠 r rxr或E(x)厂3dlL 4 0rrr对于场中的一个点电荷,受力FQ E仍然成立。分。但是在许多实际情况，不总是已知的，例如，空间存在导体线介质，导 体上会出现感应电荷分布，介质中会出现束缚电荷分布，这些电荷分布一般 是不知道或不可测的，它们产生一个附加场E，总场E总=E E，因此要确定空间电场在许多情况下，不能用上式，而需用其他方法。二、高斯定理与静电场的散度方程1. 高斯定

4、理？ E dS Q Q x dVSV0 静电场对任一闭合曲面的通量等于面内电荷与真空介电常数比值。 它适用求解某种具有对称性的场强。不反应场点与点 它反映了电荷分布与电场强度在某给定区域内的关系, 的关系。 电场是有源场，源心为电荷。证明dSrdVdS dVS r3 dV dVr(b)?SE dS0 V1V4dVdVdVdVx在V内（V在V 内）x不在V内（V在V 内）相交，设V内电荷Q,0 V1dVdVx dVdV0 V21,dVdV0, ?E dS 01,x x dV dVV2. 静电场的散度方程。?sE dS VEdVx dV1Vo由于它对任意V均成立，所以被积函数应相等，即有它又称为静

5、电场高斯定理的微分形式。 它说明空间某点的电场强度的散度只与该点电荷体密度有关，与其它点的无关。（但要注意：E本身与其它点电荷仍有密切关系），E 0,但？E dS 0。它刻划静电场在空间各点发散和会聚情况电力线发源于正电荷，E 0,0电力线终止于负电荷，E 0,0无电荷处电力线连续通过，E 0,0 它仅适用于 连续分布的区域，在分界面上，一般不连续不能用。 由于E有三个分量，仅此方程不能确定 E，还要知道E的旋度方程。静电场的环路定理与旋度方程1.环路定理?E dl 0静电场对任意闭合回路的环量为零。说明在L回路内无涡旋存在，静电场是不闭合的。证明（不要求）dVVL r3dl2.旋度方程?LE

6、rdldSdVr3dS（由于L任意）它又称为环路定理的微分形式。 它说明静电场为无旋场，电力线永不闭合。 在分界面上一般 E不连续，旋度方程不适用，且它仅适用于静电场，变化场 E 0 。 有三个分量方程，但只有两个独立的方程，这是因为四、静电场的基本方程E 0,微分形式?lE dl1 rx dVV0积分形式物理意义:物理图像:反映了电荷激发电场及电场内部联系的规律性。 电荷是电场的源，静电场是有源无旋场。例:电荷Q均匀分布于半径为a的球体内，求各点场强的散度和旋度。解:它的场强由高斯定理可求出,E -Q4（与点电荷在r a处产生的场相同）求散度:a,Q4 0a3Q30a3Q4 0a3又因为在球

7、内3Q43，所以ar a,求旋度：r a,Q4 0a3exeyezv = dV因为0，所以r a, 2.电流和静磁场1.、电荷守恒定律电流强度和电流密度（矢量）I :单位时间通过空间任意曲面的电量（单位安培）;I曰若疋个小面元，则用 dl表示，dl轟，JdIJ dScos J dS方向：沿导体内一点电荷流动方向 大小： 单位时间垂直通过单位面积的电量。dQtdScosI与J的关系 IdlSJ dS，S2.a)对于开放系统，单位b)积分形式:单位时间流出封闭曲面总电量为?J dS （流出为正,流入为负），闭合曲面内电量的减少率为dQdt，又 Qv dVdQ ddt dtdVv = dV此外对单一

8、粒子构成的体系电荷守恒的实验定律语言描述：封闭系统内的总电荷严格保持不变。 时间流出电荷总量等于 V内电量的减少率。r r所以有：？J dS若为全空间，总电量不随时间变化，故dQdt0，总电荷守恒。微分形式：?J dSJdVdV而V是任意的， J，或 J0tt 反映空间某点 与J之间的变化关系，电流线一般不闭合。 若空间各点 与t无关，则 0, J 0为稳恒电流，t稳恒电流分布无源（流线闭合），J均与t无关，它产生的场也与 t无关。二、磁场以及有关的两个定律1. 磁场：由于发现通过导线间有相互作用力，因此与静电场类比。假定导线周围存在着一种场，因它与永久磁铁性质类似， 称为磁场。磁场也是物质存

9、在的形式，用磁感应强度B来描述。2. 毕萨定律（电流决定磁场的实验定律）r r闭合导线：电流元 dB Idl 3 r4 r3闭合电流闭合导体：体电流元闭合电流r dBr rIdl r3r43 rB3. 安培作用力定律（通电物体在磁场中受力大小的实验定律）线电流兀r dFr rIdl Brrr体电流兀dFJdV Brr rrr r闭合回路：F?Idl B 或 F ? J BdV4.两电流元之间的相互作用力。设两电流元为JjdWJzdV?,它们相距r12r21J1dV1在r12处产生的dRJidVi123ri2J 2dV2受到的作用力为;dFi2 J2 dV2 dBi1ri212dV1dV2J2d

10、V2在r21处产生的 dB20 J 2dV2ri24 亡J1dV1受到的作用力为:dF2i JidVi dB22321r21dVidV2在一般情况下，dF12 dF21因此两个电流元之间相互作用力不满足牛顿第三定律。 原因：实际上不存在两个独立的电流元，只存在闭合回路。5.两通电闭合导线回路之间的相互作用力（习题 10）r r r 0 IiI2dl2 dl1 ri24证明:dFi2 I2dl dB1F 0叩2F124rdl2r r r12 dl13ri2r r rdl2 dl1 r12Li3ri2dl1 dl2 ri23ri2?L dl2L2dS 012S忑12同理可得f210I1124r r

11、 rdl1 dl2 r213r21 r21A2F12安培环路定理和磁场的旋度方程1.环路定理? Bdl0IJ dS为L中所环连的电流强度 s证明:dldVrrdl（V为J x所在区域）VdVrdldVVdlVdVdS（斯托克斯公式）sdSxdVr2A)sdSSvrdV rx dS 0)SdSvJ xx x dVV4Vx x dV dSro J x dSs说明：静磁场沿任一闭合回路 L的环量等于真空磁导率乘以从 L中穿过 的电流强度。 它反应了电流与磁感应强度在某区域内的关系，对于某些具有很高对称性的问题可求出 B2.旋度方程B oJu vuv uvuv uv由? B dlB dS0J dS因为

12、s为任意回路所围面积，所以被积函数相等说明：uuvu1）磁场为有旋场，但在无 J分布区，旋度场为零，J必须是连续函数，J不连续区只要用环路定理;p1619）0 ,故只有两个独立，它只对稳恒2）该方程可直接由毕萨定律推出（见教材IV3）它有三个分量方程，但 QB电流成立。四磁场的通量和散度方程uv uv1.通量： ?B dS 0证明：uv v? B dS?SV沐 04 Vuv uv J xvrdVdVV3 rvvrru uv33J x dV dV 0rr这里注意其中:uv uv J x 0 ,r2. 散度方程:uv uivuv证明： B dSB dV 0，因为v任意，所以B 0,它?SV可以从毕

13、萨定律直接证明。说明：无宏观静电场）。例uv证明：由p1.见教材p18例题uv r rd px ,t x dV，得dt例2.习题5,t dVuvd pdtdt,tx dVJ x ,t xdV由u/ivfguv uv f guv g则有x ,tx ,tuv r J x ,tx ,tx,tuv r J x ,tuvd pdtuv r J x ,tx dV其中利用了Vv ?sdSv ? d S J x ,t x Suv rJ x,t dVVuv rJ x,t = 0,此题也可用分量方法证明。!Tx,txuv r rVuvx ,t x dV：SVv rJ xVx,t IdV,t dV1）静磁场为无源场

14、（指通量而言），磁力线闭合;2）它不仅适用于静磁场，它也适用于变化磁场。.静磁场的基本方程uvuvuv微分形式：B0 J ,B0uv uvuvuv积分形式：?B dL 0I ,?SBdS 0反映静磁场为无源有旋场，磁力线总是闭合的。它的激发源是流动的电 荷（电流）。注意：静电场可单独存在，稳恒电流磁场不能单独存在（永磁体存在可 3.麦克斯韦方程组1831年法拉第发现：当回路中将出现感应电流。d bdt其中S是闭合电路uL所围的任一曲面，dS与L满足右手关系。麦氏方程在电动力学中的地位就像牛顿定律在经典力学中的地位一 样。麦氏方程建立的实验基础是电磁感应定律，理论基础是静电场、磁场 的场方程。一

15、、电磁感应定律1. 电磁感应现象个导体回路中电流变化时，在附近的另一个 由此他总结了这一现象服从的规律：iv v（B B dS）B S实验发现：b变化率大于零，i与L反向；B变化率小于零，i与L冋向。因此公式中加一个负号。2.磁通变化有二种公式：uva）回路相对磁场做机械运动(B与t无关，但BB t ）,ivivb）回路静止不动，但磁场BB t，感生电动势，c）两种情况冋时存在。3. 物理机制有电流，说明电荷受到了电的作用，动生可以认为是电荷受到磁场的洛伦兹力，感生情况回路不动，应该是受到电场力的作用（无外电动势，由IV于它不是由静止电荷产生的场，故称为感生电场 Ei （对电荷有作用力是电场的

16、本质，因此它与静电场在这一点上无本质差别）。uv uv电磁感应现象的实质：变化磁场激发电场Ei Ei t二、总电场的旋度和散度方程uv1. Ei和i的关系uv V F 外 dluv v一般情况：i?LQ?lE外dluv其中E外为单位电荷受到的非电场力。2. Ei的旋度方程电磁感应定律形式可以写为这是L可认为是电磁场中的r rdl1 BdS dt S任一闭合回路。感生电动势是由 于变化磁场产生了电场而出现的与导体是否存在无关。（与静电场由Q激发，与场中是否存在无关的道理类似）由斯托克斯定理r r?LE dlEi dSB dSrrEi dS 且d dt Sr r B dSrB r dS得 S tr

17、r EBEit（1）它反映感生电场为有旋场（E又称漩涡场），与静电场ES本质不同。（2）它反映变化磁场与它激发的电场间关系是电磁感应定律的微分形式。3. 感生电场的散度方程由于E不是由电荷直接激发，可以认为？Ej dS o，即Ej or从这里可认为Ei为无源有旋场。4. 总电场的旋度与散度方程r假定电荷分布 t激发的场为ES t ,它包括静电场，称为库仑场（指rr tr r rEs0,Es）总电场为EEs Ei0因此空间中的电场是有源有旋场，他们与试验结果一致。三、位移电流假设1. 变化电场激发磁场假设：与变化磁场产生感生电场类比，人们提出变化电场同样可激发磁场。因 此，总磁场一般为传导电流产

18、生的磁场与变化电场产生的磁场之和。2. 位移电流假设对于静磁场：，它与 J 0相一致,rrB o J 0对于一般情况B 0J不适用，因为J _ J J(t)在变化情况下电流一般不再闭合(交流电路，电容器被充、放电，但两极r这样可有B 0中间无电荷通过)要导出一个旋度方程并与电荷守恒定律不矛盾。 麦氏假定电路中存在位移电流 JD，J JD构成闭合电流，即 J JD 0，r麦克斯韦取 Jd，及变化电场产生位移电流。 trrrJJd设JdttrrtrE又由E -0E00tttrrrErEr即JD0 ,JD0 ,ttJD 。若要与电荷守恒不矛盾:JD并不表示电荷移动，它仅在产生磁场的作用上与J相同。四

19、、总磁场的旋度和散度方程引入JD后rrEB0 J0 0t(1) B t为总磁场感应强度。(2) 若J t 0，B t仍为有旋场。(3) 可认为磁场的一部分直接由变化电场激发。(4) 关于B的散度：稳恒时B=0，同样，变化电场产生的磁场也应实际上它可由EB导出：trrbrrr (E o即B oBf X与t无关。tt当t 0时，X处无磁场或仅有静磁场则 f X o t o ,那么以后f X o。五、真空中的电磁场基本方程麦克斯韦方程微分形式积分形式r rB dl?SErdloIdSdtsBodtdSE dSSV dVdS说明：（1）真空中电磁场的基本方程揭示了电磁场内部的矛盾和运动，电荷激发电场，

20、时变电磁场相互激发。 微分形式反映点与点之间场的联系，积分方程反映场的局域特性。（2） 线性偏微分方程，E ,B满足叠加原理它们有6个未知变量(Ex,Ey,Ez,Bx,By,Bz) 8个方程，因此有两个不独般认为刖后两个万程为附加条件，匕可由刖两个方程导出。0(a)rE0rBrrr(b)B0J0E 0trr即0EE tt0具体求解方程还要考虑空间中的介质，导体以及各种边界上的条件。(3) 预测空间电磁场以电磁波的形式传播在 0,J0的自由空间，方程具有高度对称性。r E tr Bto o oor Er B rErB利用rErE2E可得到波动方程rr2 rr2rrE2E门EEB t0 0上2 ，

21、E0 0 t20c r12 r1 2e令 ct2e2 , 20.0 0c t(4)方程通过电磁感应定律加位移电流假设导出,它们的正确性是由方程它的每个分量方程都为波动方程。与实际情况相比较验证的。、介质的电磁性质介质的极化和磁化1、介质：电介质由分子组成，分子内部有正电的原子核及核外电子, 内部存在不规则而迅变的微观电磁场。2、宏观物理量：因我们仅讨论宏观电磁场，用介质中大量分子的小体 元内的平均值表示的物理量称为宏观物理量（小体元在宏观上无限 小，在微观上无限大）。在没有外场时，介质内不存在宏观电荷、电 流分布，因此宏观场为零。3、分子分类：有极分子：无外场时，正负电中心不重合，有分子电偶极

22、矩。但取向无 规，不表现宏观电矩。无极分子：无外场时，正负电中心重合，无分子电偶极矩，也无宏观电 矩。分子电流：介质分子内部电子运动可以认为构成微观电流。无外场时， 分子电流取向无规，不实现宏观电流分布。4、极化和磁化：在外场作用下，（指宏观电磁场），无极 | 分子正负电中心分离，成为有极分子。分子的电偶析矩沿外场方向规则取向产生宏观电荷分_乙L布，产生宏观电矩。这称为介质的极化。在外场作用下，分子电流出现规则取向，产生宏观电流分布，出现宏 观磁偶极矩，称为介质的磁化。极化使介质内部或表面上出现的电荷称为束 缚电荷。磁化和极化使内部出现的电流统称为诱导电流。这些电荷，电流分布反过来也要激发宏观

23、电磁场，它们与外场迭加构成 总电磁场。二、介质存在时电场的散度和旋度方程1、极化强度：PV单位体积内总电偶极矩，描述宏观极矩分布。2、束缚电荷密度可以证明:pdVv?p dS （体积v内的总束缚电荷）s面密度：当介质为均匀介质时，束电荷只分布在介质表面与自由电荷附近表层上。将积分形式用在介质表面（或两介质分界在上）薄层内，取小面元p2 ds）ds，电荷为 ds = ?p ds（Plpds（P2 Pi） dsnp （P2 Pi） n其中n为界面法线方向单位矢量，由1 2。3、电位移矢量的引入不敷出在存在束缚电荷的情况下总电场包含了束缚电荷产生的场E p 一般情况f是可知的，但p难以得到（即任意实

24、验到0P , P的散度也不易求得）为计算方便，想办法消掉p。（oE） p + f = f P （ oE P） f引入D0E P（电位移矢量）它仅起辅导作用并不代表场量,4、散度、旋度方程rDE引入D，可使方程不含E与D关系可由实验上确定。BtP ,但E值与 p有关，场方程仍与p有关,只是含在D中。三、介质存在时磁场的散度和旋度方程.rrmi1、磁化强度：M-，单位2体积内的磁偶极距，描述宏观磁偶极距V分布。2、磁化电流密度:JM =M可以证明：rrrI M?L JM dl$ JMr dS3、极化电流密度：P随变化产生的电流。P J P t设每个带电粒子位置为rXi，电何为ei， prexpVt

25、pvpJ p。4、诱导电流：Jp J m磁场强度：将Jp0J f介质磁场由J f,JMJP J MM代入,JfJ p，JM即变化电场共同决定:Jf引入（磁场强度）它仅是一个辅助量并不代表磁场的强度,才描述磁场的强度。的关系可由实验给出。6、散度、旋度方程0,H Jf引入H可使方程不显含 JP, JM，但场量仍与JP, JM有关。四、介质中的麦克斯韦万程微分形式积分形式- dldStLStJ tdli g-D dSLdtD:DSdSQ0SdS0P,说明：1、介质中普适的电磁场基本方程，使用于任意介质 回到真空情况。2、有12个未知量，6个独立方程，求解必须给出 D与E，B与H的 关系。五、介质中

26、的电磁性质方程若为非铁磁介质1、电磁场较弱时：P与E，M与H, D与E, B与H均呈线性关系。各向同性均匀介质P= e 0Eo 介质极化率（有实验得到）rrrr rr rro r 为相对磁导率和磁导率D （ D= oE+P= oE+ e oE = o 1+ e E = o rE = E）rrM = mH介质磁化率rrrrr 或oorro 1o r1 e相对介电常数o r介电常数r以上结果对介质正均匀同样适用各向异性介质（如晶体）D上为场量（介电常数张量）trrrrrrrrnii12ij L L32kj33kk （共九项）它的分量形式:D111 112 213 33D221 1212 22133

27、合写成 D i ijji 1 3D3131 1312 2333j1写成矩阵形式：D11112131D22122232D33132333为磁导率张量2、电磁场较强时：D 与 呈准线性关系Diijjijk j kijkljjkjkl对于铁磁物质：kli 1,2,3与 不仅呈非线性，且为非单值，在此不讨论。在电磁场频率很高时，介质还会出现色散，3、导体中的欧姆定律为频率的函数。电导率 它使用于变化电磁场在有电源时，电源内部 J 非 ， 非 为准静电力的等效场。六、洛伦兹力公式麦氏方程反映了电荷（及电流）激发电磁场以及电场，磁场相互激发的 一般规律。但它没有给出由磁场对带电体系的反作用。而实际上二者互

28、相联 系，互相制约。库仑定律、安培定律反映了静电场，静磁场对带电体系的作用。F QEr r r dF J BdV考虑到电荷连续分布 , 密度为 ,定义力密度 f , 单位体积受到的作用力rrrrfE J B 洛伦兹力公式洛伦兹认为变化电磁场上述公式仍然成立，近代物理实验证实了该式的正确。若对一个以速度 v 运动的点电荷 q F qE qv B说明： 对于连续分布电荷和电流J,f中包括 ，和J激发的电磁场 对于点电荷情况,F中的E,B不包含q激发的场.例如 : 一个点电荷q处在另一电荷Q的场中受力F qE.E仅由Q激发,不包含的场,而边分布带电体一个小 体元受力不仅为外场 对它的力, 还包括分子

29、其它体元对 它的作用力.5. 电磁场的边值关系当电磁场中存在介质时，两介质分界面上，可能有电荷，电流分布，这 时 ， ， 等对于两种介质的取值不同，由此会造成物理量在界面突变。在界面处微分方程不能适用，但可用积分方程，从积分方程出发，我们 可以得到在界面上场量间关系，这称为边值关系，它是表示方程积分形式在 界面上的具体化，只有知道边值关系，才能求解多介质情况下场方程的解。 一、场量的边值关系1、 D 和 E 的法向分量边值关系：lim h n D2 D1h 0n E2E1fp0,p0。则E不连续DE2E2n1 E1n对均匀各项同性线性介质：当0,可导出1 E1n2 E2n而p0E2nE1npn

30、 P2P1P1nP2nn 由1 2由.D ds dvsv侧面 D1 sn D2 snh0,侧面通量0, hn D2D10， D2nD1nsh0, D2nDn连续对于E，用:：Esdsv2、B、H的法向分量边值关系n B2Bi0,由：B ds 0, BmB?n总连续sn B2Hi0对于均匀各项同向介质UiHinH2n不连续、切向分量边值关系1、H的边值关系dl(JsD） ds,用在界面上由h2H11测线环量(JD7)hb这里 2面电流分布:lim JhJh 0注意：（1）当电流仅分布在介质表面附近一个薄层时，可是体电流分布。意义是在界面上沿电流方向单位时间内通过单位横截线的电量。（2）一般在在导

31、体内部J0, E0H 0, Dh0, J h，则环量 0当 H2 H,tbbn H2H,b，bn H 2 H,b回路L为任取，b为任一-矢量，故n H2 H,H 2tH ,tt理想导体导体中才有面电流分布，（此时)般情况H切向分量不连续。但是对于大多数非理想导体,所以H在以后讨论的大多数问题中连续。也可类似导出B的切向边值关系：n B2 B12、E的切向边值关系nE2 E10, E2t E1t，总连续，但 D切向一般不连续。三、其它边值关系PdssTdvvnP2P-MdlJMdsnM 2M,MLsJMdsddvnJ2J,T，sdt与t无关或恒压电流，J2nJn例题：1、已知均匀各项同性线性介质中放一导体，导体表面静电场强度为 证明E与表面垂直，并求分界面上自由电荷、束缚电荷分布。解：在静电平衡时，内部 P E, D,0,E2 E由 f n D 2 D i D 2n En由 n E2 Ei 0, EtEit 0所以E Enn (垂直于导体面)f E由nE2Ei由此得0Ep的关系:（常矢）。求磁化电流分布。J m解：由mv M,M 常矢，Jm 0,只有面电流分布n M 2 M1 ， M 20? Mi Mmn