第一章：有理数的知识点及练习18页

1、济宁疯狂英语内部资料第一章 有理数及其运算知识点归纳：1相反意义的量 向东和向西，零上和零下，收入和支出，升高和下降，买进和卖出。2正数和负数 像+，+12，1.3，258等大于0的数（“+”通常不写）叫正数。像-5，-2.8，-等在正数前面加“”（读负）的数叫负数。【注】0既不是正数也不是负数。3有理数（1）整数：正整数、零和负整数统称为整数。分数：正分数和负分数统称为分数。有理数：整数和分数统称为有理数。（2）有理数分类1) 按有理数的定义分类 2）按正负分类 正整数 正整数 整数 0 正有理数有理数 负整数 有理数 正分数 正分数 0 负整数 分数 负有理数 负分数 负分数【注】有限循环

2、小数叫做分数。（3）数集 把一些数组合在一起，就组成了一个数的集合，简称数集。所有的有理数组成的数集叫做有理数集，类似的，有整数集，正数集，负数集，所有的正整数和零组成的数集叫做自然数集或叫做非负整数集，所有负数和零组成的数集叫做非负数集。4数轴（1）规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。【注】1）数轴的三要素：原点、正方向、单位长度缺一不可。 2）数轴能形象地表示数，所有的有理数都可用数轴上的点表示，但数轴上的点所表示的数并不都是有理数（2）在数轴上比较有理数的大小 1）在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。 2）由正、负数在数轴上的位置可知：正数都有大于0，负数都小于0，正数

3、大于一切负数。5相反数（1）只有符号不同的两个数称互为相反数，如5与5互为相反数。 （2）从数轴上看，位于原点两旁，且与原点距离相等的两点所表示的两个数叫做互为相反数。（几何意义） （3）0的相反数是0。也只有0的相反数是它的本身。 （4）相反数是表示两个数的相互关系，不能单独存在。（5）数a的相反数是a。（6）多重符号化简 多重符号化简的结果是由“”号的个数决定的。如果“”号是奇数个，则结果为负； 如果是偶数个，则结果为正。可简写为“奇负偶正”。 6绝对值（1）在数轴上表示数a的点离开原点的距离，叫做数a的绝对值。（2）一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零

4、（3）绝对值的主要性质 一个数的绝对值是一个非负数，即a0，因此，在实数范围内，绝对值最小的数是零 (4)两个相反数的绝对值相等 (5)运用绝对值比较有理数的大小 两个负数，绝对值大的反而小. （6）比较两个负数的方法步骤是： 1）先分别求出两个负数的绝对值； 2）比较这两个绝对值的大小； 3）根据“两个负数，绝对值大的反而小”作出正确的判断 7有理数的加法(1)有理数加法法则1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。3）互为相反数的两个数相加得零。4）一个数与0相加，仍得这个数。（2）有理数加法

5、的运算律加法交换律：abba加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)8. 有理数的减法减去一个数等于加上这个数的相反数。a-b=a+(-b)9有理数的加减混合运算（1）省略加号和的形式：在一个和式里，通常把各个加数的括号和它前面的加号省略不写。例如：把-8+（+10）+（-6）+（-4）写成省略加号和的形式为-8+10-6-4。读作“负8，正10，负6，负4的和”也可读作“负8加10减6减4。（2）适当的应用加法运算律。10有理数的乘法（1）有理数的乘法法则两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与零相乘都得零。（2）几个不等于零的数相乘，积的正负号由负因数的个数决定，当负号的个

6、数为奇数时，积为负；当负号的个数为偶数时，积为正。 几个数相乘，有一个因数为零，积就为零。（3）乘法运算律乘法交换律： ab=ba乘法结合律：(ab)c=a(bc)乘法对加法的分配律：a(b+c)=ab+ac11有理数的除法（1）倒数：乘积为1的两个数互为倒数。【注】0没有倒数。（2）有理数除法法则1：除以一个数等于乘以这个数的倒数。【注】0不能做除数。（3）有理数的除法法则2：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。零除以任何一个不等于的数，都得零。12有理数的乘方（1）求几个相同因数积的运算，叫做乘方。 个（2）乘方的结果叫做幂，a叫做底数，n叫做指数。（3）有理数乘方法则：正数的任

7、何次幂都是正数，负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，0的任何非0次幂都是零。13科学记数法（1）一般的，10的n次幂，在1的后面有n的0。（2）一个大于0的数就记成的形式。其中n是正整数。像这样的记数法叫做科学记数法。（3）用科学记数法表示一个数时，10的指数等于原数的整数位数减1。（或等于小数点向右移动的位数。14有理数的混合运算（1）先算乘方，再算乘除，最后算加减。（2）同级运算，按照从左至右的顺序进行。（3）如果有括号，就先算小括号里的，再算中括号里的，然后算大括号里的。15近似数和有效数字（1）准确数：完全符合实际的数。（2）近似数：和准确数非常接近的数。近似数和准确数接近的程度叫

8、做精确度。（3）一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位，这时，从左边第一个不是0的数字起到精确到的位数止，所有的数字都叫做这个数的有效数字。（4）近似数的精确度有两种形式：1）精确到哪一位，2）保留几个有效数字。有理数及其运算知识总结一、重点知识归纳及讲解 1、正数和负数的概念 比0大的数叫做正数；在正数前面加上“”号的数叫做负数；0既不是正数，也不是负数.为了突出数的符号，可以在正数前面加“”号，一般地“”号往往省略不写，但负数前面的“”号不能省略.对于正数和负数的概念，不能简单地理解为：带“”号的数是正数，带“”号的数是负数.2、有理数的概念及分类 整数和分数统称为有理数

9、：正数、负数和零也统称为有理数整数包括正整数、零和负整数、分数包括正分数和负分数；正数包括正整数和负整数；负整数包括负整数和负分数 到目前为止，我们学过的数细分有五类：正整数、正分数、零、负整数、负分数，因为有限小数和无限循环小数可以化为分数，所以把有限小数和无限循环小数都看作分数有时为了研究的需要，整数也可以看作是分母为 1的分数，但本章中的分数是指不包括分母是1的分数. 通常把正整数和零统为非负数；负数和零统称为非正数；正整数和零统称为非负整数，即为自然数；负整数和零统称为非正整数.3、数轴的概念及画法规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴.数轴的概念中包含有三层含义：一是说数轴是一条

10、直线，可以向两端无限延伸；二是说数轴具有原点，正方向和单位长度三要素，三者缺一不可；三是说数轴原点的选定，正方向的取向、单位长度大小的确定，是根据实际需要规定的.画数轴的步骤：（1）画一条直线，一般画成水平的直线；（2）在直线上选取一点为原点，用实心点表示，在原点下边标上0；（3）用箭头表示正方向，一般规定向右为正；（4）选取适当的长度为单位长度，用细短线画出，并在下边标上对应的数.4、相反数的概念如果两个数只有符号不同，那么称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数，特别地，0的相反数是0.在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的两侧，且与原点的距离相等，这就是相反数的几何意

11、义.一般地，数a的相反数是a，这里a表示任意一个数，可以是正数、负数或零，还可以代表任意一个代数式，表示或求一个数的相反数，只要在这个数的前面添上一个“”号就可以了.相反数是成对出现的，不能单独存在，单独的一个数不能说是相反数；不能理解为只要符号不同的两个数就互为相反数，只有符合不同的两个数是说除了符号不同以外完全相同.5、绝对值的概念在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值，数a的绝对值记作“|a|”.正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0，这就是绝对值的代数意义，也可表示为：6、绝对值的有关性质（1）对任意有理数a，都有|a|0； （2）若|a|=0

12、，则a=0； （3）若|a|=|b|，则a=b或a=b； （4）若|a|=b（b0），则a=b； （5）若|a|b|=0，则a=0且b=0； （6）对任意有理数a，都有|a|=|a|. 7、有理数大小的比较法则 在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大； 正数都大于 0，负数都小于0，正数大于一切负数； 两个负数，绝对值大的反而小 . 8、有理数加法法则 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加 . 异号两数相加，绝对值相等时和为 0；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并把较大的绝对值减去较小的绝对值. 一个数同 0相加，仍得这个数. 9、有理数加法运算律 加法交换律： ab=ba

13、加法结合律： (ab)c=a(bc) 10、有理数减法法则 对于有理数的加减混合运算中的减法，可以根据有理数减法法则将减法转化为加法。减去一个数，等于加上这个数的相反数，即： ab=a(b). 11、代数和的意义 几个正数或负数的和叫做代数和，代数和一般用省略加号、括号的和的形式来表示，代数和不仅表示有理数相加的结果，而且还可表示加法运算. 12、有理数加减混合运算步骤 （1）把加减混合运算统一成加法； （2）写成省略加号、括号的代数和； （3）利用加法法则及运算律进行计算. 13、有理数乘法法则两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘，任何数同零相乘都得014、多个非零因数相乘，积的符号

14、规律n个不等于零的有理数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数的个数为偶数个时，积为正n个数相乘，有一个因数为0，积就为015、有理数乘法的运算律(1)交换律：两个因数相乘，交换因数的位置，积不变即abba；(2)结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变，即(ab)ca(bc)；(3)分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两数相乘，再把所得的积相加即a(bc)abac16、倒数的概念乘积为1的两个有理数互为倒数.即当ab1时，a与b互为倒数由于任何一个有理数与0的积为0，不可能是1，所以0没有倒数.倒数还可以说成是：1除以

15、一个数(除数不等于0)的商叫做这个数的倒数，如a0，a的倒数为17、有理数的除法法则除以一个数等于乘以这个数的倒数两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除，0除以任何一个不等于0的数都得018、利用除法化简分数除法可以写成几种不同的形式，例如：63可以写成，还可写成63.说明除法可以表示成分数和比的形式;反过来,分数和比可化为除法,由于除法、分数和比可以互化，所以可以利用除法化简分数.19、乘方的概念求几个相同因数的积的运算，叫做乘方，即在中，a叫做底数，n叫做指数，叫做幂的读法有两种：(1)读作a的n次幂(2)读作a的n次方20、有理数的乘方法则正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数

16、，负数的偶次幂是正数21、科学记数法把一个大于10的数记成的形式，其中a的整数位数只有一位，这种记数的方法，叫做科学记数法22、有理数的混合运算有理数的运算中，加减为一级运算，乘除为二级运算，乘方（及开方乘方的逆运算，以后将讲到）为三级运算.对于有理数的混合运算，要特别注意运算顺序及正确使用符号法则确定各步运算结果的符号.有理数的运算顺序是：先算乘方，再算乘除，最后算加减，对于同级运算，一般从左到右依次进行.如果有括号，就先算括号内的，且一般先算小括号内的，再算中括号内的，最后算大括号内的.如果能利用运算律简化计算，可变更上面的运算顺序，灵活处理.二、难点知识剖析 1、负数的产生及其意义 正数

17、和负数通常表示具有相反意义的量，若正数表示某种意义的量，则负数就表示其相反意义的量，反之亦然 . 2、数集的概念 把一些数放在一起，就组成一个数的集合，简称数集、所有的有理数组成的数集叫做有理数集，类似地，所有整数组成的数集叫做整数集，所有正数组成的数集叫做正数集，所有负数组成的数集叫做负数集，等等 . 3、多重符号的化简规律 单独一个有理数前面的“”号和“”号，一般都是性质符号，读作“正”号或“负”号 . 括号前是“”号时，去掉括号和“”号后，括号内的数不变，括号前是“”号时，去掉括号和“”号后，括号内的数就变成它的相反数 . 在一个数的前面添加一个“”号，仍然与原数相同；在一个数的前面添加

18、一个“”号，就成为原数的相反数 . 4、两个负有理数的大小比较 两个负有理数的大小比较与其它数一样，可以利用数轴找准两个负有理数在数轴上的对应点，右边的数总比左边的数大 . 两个负有理数的大小比较，还可以利用绝对值，求这两个数的绝对值，比较两个数绝对值的大小，绝对值大的反而小 . 5、有关绝对值的计算及化简 灵活正确运用绝对值的代数意义及有关性质 . 6、积的符号的确定方法有理数乘法与算术中的乘法的区别在于积的符号.几个正数与负数相乘时积的符号法则：几个不等于0的有理数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个数，积为负；当负因数有偶数个数，积为正；几个数相乘，有一个因数为0，积为0，

19、根据积的符号法则，在有理数乘法中，不管有多少个不为0的数相乘，都应该首先根据负因数的个数一次性地先确定积的符号，这样做的好处是既简练又准确.7、几个非0的有理数相除，商的符号的确定几个非0的有理数相除，商的符号由负数的个数决定：当负数的个数为奇数时，商为负；当负数的个数为偶数时，商为正8、有理数混合运算中应注意的问题（1）要注意运算顺序；（2）要灵活运用运算定律进行简便运算，不要搞错符号，特别是乘方的符号；（3）要灵活进行小数、分数的互化；（4）互为相反数的和，互为倒数的积，有因数为零，特殊运算先行结合.有理数相关知识点梳理1、大于0 的数叫做正数.2、小于0的数叫做负数.在正数前面加“-”的

20、数叫做负数.3、0既不是正数也不是负数，0是整数不是分数.4、有理数的分类：按定义分类： 按正负分类： 5、整数和分数统称有理数.能够写成分数形式的数都是有理数.6、规定了原点 正方向 单位长度的直线叫做数轴.7、数轴的三要素：原点 正方向 单位长度8、任何有理数都能用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数.9、正数都在原点的左边，负数都在原点的右边.10、字母a既可以表示正数，也可以表示负数，还可以表示0，所以-a不一定是负数.11、只有符号不同的两个数叫做互为相反数.12、在数轴上，分别位于原点两旁，到原点的距离相等的两个点所表示的数，叫做互为相反数.13、一个数的相反数只有一个.14

21、、数轴上表示a的点与原点的距离叫做数a的绝对值.15、时，；时， =-.16、一个数的绝对值只有一个，并且一定是非负数.17、互为相反数的两个数，绝对值相等.18、绝对值等于同一正数的两个数，互为相反数.19、两个负数比较大小，绝对值大的反而小.20、绝对值最小的有理数是021、乘积是1的两个数互为倒数.22、0没有倒数.23、如果，那么；如果，那么.24、数轴上表示的有理数，左边的数小于右边的数.25、两个正数比较大小，绝对值大的数较大.26、0的相反数是0.相关习题第一章 有理数及其运算测试题一、填空题（每小题3分，共30分）1、 在数轴上，若点A与表示2的点相距5个单位, 则点A表示的数

22、是 2、某地某天的最高气温为5，最低气温为-3，这天的温差是 。3、最小的正整数是_，最大的负整数是_，绝对值最小的整数是_4、观察下列数：-2，-1，2，1，-2，-1，从左边第一个数算起，第99个数是 。5、若|a-2|+|b+3|=0，则3a+2b= .6、水池中的水位在某天8个时间测得的数据记录如下（规定上升为正，单位：cm）：+3、-6、-1、+5、-4、+2、-3、-2，那么这天中水池水位最终的变化情况是 。7、已知芝加哥比北京时间晚14小时，问北京时间9月21日早上8：00，芝加哥时间为9月 日 点。8、若a0,b0，则a-(-b)一定是 （填负数，0或正数）9、比较大小：，-1

23、00 0.01，99a 100a（a0）10、（1）2n+（1）2n+1=_（n为正整数）二、选择题（每小题3分，共30分）11、如图所示，A、B两点所对的数分别为a、b，则AB的距离为（ ）AB0abA、a-bB、a+bC、b-aD、-a-b12、在-（-5），-(-5)2，-|-5|，(-5)3中负数有（ ）A、0个B、1个C、2个D、3个13、一个数的平方是81，这个数是（ ）A、9B、-9C、+9D、8114、若baa-bB、a-baa+bC、aa-ba+bD、a-ba+ba15、如果一个数的平方等于它的倒数，那么这个数一定是（ ）A、0B、1C、-1D、1或-116、下列说法正确的是

24、（）A有理数的绝对值为正数B只有正数或负数才有相反数C如果两数之和为0，则这两个数的绝对值相等( )D如果两个数的绝对值相等，则这两个数之和为017. 学校、小明家、书店依次座落在一条南北走向的大街上，学校在小明家的正南2千米，书店在小明家的正北边10千米。规定向北走为正。小明骑车从家出发，向北走了5千米，接着又向北走了7千米，此时张明的位置在 （ ）（A）在家 （B） 学校 （C） 书店 （D） 不在上述地方18下面四种说法：(1)在+5与+6之间没有正数;(2)在-1与0之间没有负数；(3)在+5与+6之间有无穷多个正分数；(4)在-1与0之间没有正分数，其中( )A仅(3)正确； B仅(

25、4)正确；C仅(3)，(4)正确; D仅(1)，(2)，(4)正确19. a，b，c在数轴上的位置如图所示，则a+b+c为 A.负数 B.正数 C.非负数 D.非正数20、点M、N是数轴上的两点，m、n分别表示点M、N到原点O的距离.如果nm，那么下列说法中正确的有( ). 点M表示的数比点N表示的数小； 点M表示的数比点N表示的数大； 点M、N表示的数肯定不相等.A、3个 B、2个 C、1个 D、0个三、计算题（每题5分，共20分） 四、（本大题24分，每小题8分）20、有四个有理数3，4，-6，10，运用“二十四点”游戏规则，写出两种不同的方法的运算式，使其结果等于24。21、某天，小明和

26、小亮利用温差法测量紫金山一个山峰的高度，小明测得山顶温度为-1.1,同时，小亮测得山脚温度是1.6，已知该地区高度每增加100m，气温大约降低0.6，问这个山峰的高度大约是多少米？22、把下列各数填在相应的大括号内15，0.81，-3，-3.1,-4，171，0，3.14, 正数集合 负数集合 正整数集合 负整数集合 有理数集合 五、（本大题共18分，每小题9分）23、小明早晨跑步，他从自家向东跑了2千米到达小彬家，继续向东跑了1.5千米到达小红家，然后向西跑了4.5千米到达中心广场，最后回到家。（1）以小明家为原点，以向东的方向为正方向，用1 个单位长度表示1千米，你能在数轴上表示出中心广场

27、，小彬家和小红家的位置吗？（2）小彬家距中心广场多远？（3）小明一共跑了多少千米？六、（本大题共10分）24、小红爸爸上星期五买进某公司股票1000股，每股27元，下表为本周内每日该股票的涨跌情况。（单位：元）星期一二三四五每股涨跌+4+4.5-1-2.5-6（1）通过上表你认为星期三收盘时，每股是多少？（2）本周内每股最高是多少？最低是多少元？（3）用折线统计图表示本周内每日该股票的涨跌情况相关练习二：一、 有理数加法（9）+（13） （12）+27 （28）+（34） 67+（92） (27.8)+43.9（23）+7+（152）+65 |+（）| （）+|38+（22）+（+62）+（78） （8）+（10）+2+（1） （）+0+（+）+（）+（） （8）+47+18+（27） （5）+21+（95）+29 （8.25）+8.25+（0.25）+（5.75）+（7.5）6+（7）+（9）+2 72+65+（-105）+（28） （23）+|63|+|37|+（77）19+（195）+47 （+18）+（32）+（16）+（+26） （0.8）+（1.2）+（0.6）+（2.4）（