二,三阶系统瞬态响应和稳定性概要

1、专业：班级：学号：姓名：自动控制原理实验报告 （4）2011- 2012 学年第 1 学期2011 年 11 月 15 日实验题目：二、三阶系统瞬态响应和稳定性实验目的：1. 了解和掌握典型二阶系统模拟电路的构成方法及型二阶闭环系统的传递函数标 准式。2. 研究型二阶闭环系统的结构参数 -无阻尼振荡频率 n、阻尼比 对过渡过程的影 响。3. 掌握欠阻尼型二阶闭环系统在阶跃信号输入时的动态性能指标Mp 、tp、ts 的计算。4. 观察和分析型二阶闭环系统在欠阻尼，临界阻尼，过阻尼的瞬态响应曲线，及在 阶跃信号输入时的动态性能指标Mp、tp 值，并与理论计算值作比对。5. 了解和掌握典型三阶系统模

2、拟电路的构成方法及型三阶系统的传递函数表达式。6. 了解和掌握求解高阶闭环系统临界稳定增益 K 的多种方法 （劳斯稳定判据法、 代数 求解法、 MATLAB 根轨迹求解法） 。7. 观察和分析型三阶系统在阶跃信号输入时，系统的稳定、临界稳定及不稳定三种 瞬态响应。8. 了解和掌握利用 MA TLAB 的开环根轨迹求解系统的性能指标的方法。9. 掌握利用主导极点的概念，使原三阶系统近似为标准型二阶系统，估算系统的时 域特性指标。三实验内容及步骤二阶系统瞬态响应和稳定性1型二阶闭环系统模拟电路见图3-1-7，观察阻尼比 对该系统的过渡过程的影响。改变 A3 单元中输入电阻 R 来调整系统的开环增益

3、 K ，从而改变系统的结构参数。2改变被测系统的各项电路参数，计算和测量被测对象的临界阻尼的增益K ，填入实Mp ，峰值时间 tp，T=R 2*C 2=0.1S3改变被测系统的各项电路参数，计算和测量被测对象的超调量填入实验报告，並画出阶跃响应曲线。验报告。K 的关系式为： =1， K=2.5 ， R=40k 01，设 R=70k，K=1.43 =1.321惯性环节（ A3 单元）的惯性时间常数阻尼比和开环增益临界阻尼响应：欠阻尼响应： 过阻尼响应：实验步骤： 注：S ST用“短路套”短接！（1）将函数发生器（ B5 ）单元的矩形波输出作为系统输入 R。（连续的正输出宽度足够大 的阶跃信号 ）

4、 在显示与功能选择（ D1 ）单元中，通过波形选择按键选中矩形波 亮）。 量程选择开关 S2 置下档，调节“设定电位器 1”，使之矩形波宽度 显示）。 调节 B5 单元的“矩形波调幅”电位器使矩形波输出电压 （2）构造模拟电路：按图 3-1-7 安置短路套及测孔联线。（a）安置短路套= 3V （ D1矩形波指示灯3 秒（ D1 单元左单元右显示） 。模块号跨接座号1A1S4， S82A2S2， S11，S123A3S8， S104A6S2， S65B5S-ST3）运行、观察、记录： 运行 LABACT 程序，选择 自动控制1信号输入 r（t）B5 （ OUT ） A1 （H1）2运放级联A1（

5、OUT） A2（H1）3运放级联A2A（ OUTA ）A3（H1）4负反馈A3（OUT） A1（H2）5运放级联A3（OUT） A6（H1）67跨接元件4K 、 40K 、70K元件库 A11 中直读式可变 电阻跨接到 A3（H1 ）和 （IN ）之间8示波器联接A6（OUT） B3（CH1）91档B5（OUT） B3（CH2）b）测孔联线菜单下的 线性系统的时域分析 下的 二阶典型系统瞬态响应和稳定性 实验项目 ， 就会弹出虚 拟示波器的界面，点击 开始即可使用本实验机配套的虚拟示波器（B3）单元的 CH1 测孔测量波形。也可选用普通示波器观测实验结果。 分别将（ A11）中的直读式可变电阻

6、调整到 4K、 40K、70K，等待完整波形出来后， 点击停止，用示波器观察在三种增益 K下，A6 输出端 C（t）的系统阶跃响应。二阶系统瞬态响应和稳定性实验结果：调整输入矩形波宽度 3 秒，电压幅度3V。 计算和观察被测对象的临界阻尼的增益K。阻尼比：12 Ti KT ， 因为是临界阻尼，所以 =1，有因为 Ti=1S,T=0.1S可计算 K 为：积分常数 Ti惯性常数 T增益 K 计算值10.12.50.21.250.30.830.50.11.250.20.5实验截图：R=4K 时， = 0.3162，系统处于欠阻尼状态R=40K 时， = 1，系统处于临界阻尼状态R= 70K时，= 1

7、.3229，系统处于过阻尼状态 画出阶跃响应曲线，测量超调量 Mp ，峰值时间 tp。用Matlab 计算测量的结果和理论值：k=25,25,25,20,20,40;T=0.1,0.2,0.3,0.1,0.1,0.1;Ti=1,1,1,0.5,0.2,0.2;%实际输出 MpA=4.102,4.570,4.766,4.375,4.844,4.961;% 实际输出 essB=3.086,3.086,3.086,3.086,3.047,3.047;%自然频率、阻尼比、超调量、峰值时间计算值wn=sqrt(k./(Ti.*T)kesi=1/2.*sqrt(Ti./(k.*T)Mp=exp(-pi.*

8、kesi./(sqrt(1-kesi.*kesi)*100tp=pi./(wn.*sqrt(1-kesi.*kesi)ts=3./(kesi.*wn)%超调量测量值clMp=(A-B)./B*100;%测量的峰值时间可直接由截图读取实验结果：wn =15.811411.18039.128720.000031.622844.7214kesi = 0.31620.22360.18260.25000.15810.1118Mp =35.092048.639755.801044.434460.467970.2256tp = 0.20940.28830.35000.16220.10060.0707ts =

9、0.60001.20001.80000.60000.60000.6000clMp = 32.9229 48.0881 54.4394 41.7693 58.9760 62.8159增益 K （A3）惯性常数 T（A3）积分常数 Ti（A2）自然频率 n 计算值阻尼比 计算值超调量 Mp（%）峰值时间 tP计算值测量值计算值测量值250.1115.810.316235.09 32.920.2094 0.2100.211.180.223648.63 48.090.2883 0.2800.39.1280.182655.80 54.440.3500 0.360200.10.520.000.250044

10、.43 41.770.1622 0.1700.231.620.158260.46 58.980.1006 0.1004044.720.111870.22 62.820.0707 0.070K=25,T=0.1,Ti=1K=25,T=0.2,Ti=1K=25,T=0.3,Ti=1K=20,T=0.1,Ti=0.5K=20,T=0.1,Ti=0.2K=40,T=0.1,Ti=0.2三阶系统瞬态响应和稳定性型三阶闭环系统模拟电路如图 3-1-8 所示。图 3-1-8 型三阶闭环系统模拟电路图积分环节（ A2 单元）的积分时间常数 惯性环节（ A3 单元）的惯性时间常数 惯性环节（ A5 单元）的惯性

11、时间常数 该系统在 A5 单元中改变输入电阻Ti=R 1*C 1=1S；T1=R3*C 2=0.1S，K1=R3/R2=1 ；T2=R4*C 3=0.5S，K=R4/R=500K/RR 来调整增益 K，R 分别为 30K 、41.7K 、225.2K1）观察和分析型三阶系统在阶跃信号输入时，系统的稳定、临界稳定及不稳定三 种瞬态响应。型三阶闭环系统模拟电路图见图3-1-8，分别将（ A11 ）中的直读式可变电阻调整到30K （ K=16.7 ）、 41.7K （ K=12 ）、 225.2K （K=2.22 ），跨接到 A5 单元（ H1）和（ IN） 之间，改变系统开环增益进行实验。改变被测

12、系统的各项电路参数，运用劳斯（Routh）稳定判据法、 MA TLAB 的开环根轨迹法、代数求解法，求解高阶闭环系统临界稳定增益K ，填入实验报告。运用 MATLAB 的开环根轨迹法，求解闭环系统超调量 Mp 为 30%的稳定增益，填入实验报告，並画出其系统模拟电路图和阶跃响应曲线。实验步骤： 注：S ST用“短路套”短接！（1）将函数发生器（ B5 ）单元的矩形波输出作为系统输入R。（连续的正输出宽度足够大的阶跃信号 ） 在显示与功能选择（ D1 ）单元中，通过波形选择按键选中矩形波 （矩形波指示灯 亮）。 量程选择开关 S2 置下档，调节“设定电位器 1”，使之矩形波宽度 6 秒（ D1

13、单元左 显示）。 调节 B5 单元的“矩形波调幅”电位器使矩形波输出电压 = 2.5V （ D1 单元右显示） 2）构造模拟电路：按图 3-1-8 安置短路套及测孔联线。模块号跨接座号1A1S4，S82A2S2，S11，S123A3S4，S8，S104A5S7，S105B5S-STa）安置短路套3）运行、观察、记录：1信号输入 r（t）B5（ OUT ） A1（H1）2运放级联A1 （ OUT ） A2（H1）3运放级联A2A（OUTA ）A3（ H1）4运放级联A3 （ OUT ） A5（H1）5负反馈A5B（OUTB ）A1（ H2）67跨接元件30K、41.7K、225K元件库 A11

14、中直读式可变 电阻跨接到 A5 （H1）和 （IN）之间89示波器联接 1 档A5A（ OUTA ） B3（CH1 ）B5（ OUT ）B3（CH2）b）测孔联线 运行 LABACT 程序，选择 自动控制 菜单下的 线性系统的时域分析 下的 三阶典型系 统瞬态响应和稳定性 实验项目 ，就会弹出虚拟示波器的界面， 点击开始 即可使用本实验机配 套的虚拟示波器（ B3 ）单元的 CH1 测孔测量波形（时间量程放在 4 档）。也可选用普通示波器观测实验结果。 分别将（ A11）中的直读式可变电阻调整到 30K 、41.7K 、 225.2K ，等待完整波形出 来后，点击 停止， 用示波器观察 A5A

15、 单元信号输出端 C（t ）的系统阶跃响应。K=2.22 时的（衰减振荡）K =12 临界稳定（等幅振荡）K = 16.7 不稳定（发散振荡）2）观察和验证等效于原三阶系统（图3-1-8 ）的二阶单位反馈闭环系统根据主导极点的概念，建立等效于原三阶系统（图 3-1-8 ）的型二阶闭环系统模拟电 路图， 观察等效后的系统输出及原三阶系统输出， 分析其响应曲线的相同点及区别， 探讨其 区别产生的原因。图 3-1-9等效于原三阶系统（图 3-1-8 ）的二阶单位反馈闭环系统实验步骤： 注：S ST用“短路套”短接！（1）将函数发生器（ B5 ）单元的矩形波输出作为系统输入R。（连续的正输出宽度足够大

16、的阶跃信号 ） 在显示与功能选择（ D1 ）单元中，通过波形选择按键选中矩形波（矩形波指示灯亮）。 量程选择开关 S2 置下档，调节“设定电位器 1”，使之矩形波宽度 6 秒（ D1 单元左 显示）。 调节 B5 单元的“矩形波调幅”电位器使矩形波输出电压 = 2.5V （D1 单元右显示） 。 （2）构造模拟电路：按图 3-1-9 安置短路套及测孔联线。（a）安置短路套（b）测孔联线模块号跨接座号1A1S4，S82A2S2，S11，S123A5S10，S114B5S-ST3）运行、观察、记录：1信号输入 r（t）B5（OUT） A1（H1）2运放级联A1 （OUT ） A2 （H1 ）3跨接

17、元件元件库 A11 中直读式可变电阻跨接到/4119KA2A （OUTA ）和 A5（IN）之间5跨接元件元件库 A11 中直读式可变电阻跨接到/6337KA5 （IN ）和（ OUTA ）之间7负反馈A5A （OUTA ）A1（H2）8示波器联接A5B （ OUTB ） B3（CH1 ）91 档B5（OUT） B3（CH2 ） 运行 LABACT 程序，选择 自动控制 菜单下的 线性系统的时域分析 下的 三阶典型系统瞬态响应和稳定性 实验项目 ，就会弹出虚拟示波器的界面， 点击开始 即可使用本实验机配 套的虚拟示波器（ B3 ）单元的 CH1 测孔测量波形（时间量程放在 4 档）。也可选用普

18、通示 算系统的性能指标是可行的。 但是两图的过渡弧度不完全一样， 导致上升时间有差别。 这是 由于两者相差了一个非闭环主导极点所造成的。波器观测实验结果。 等待完整波形出来后，点击 停止， 用示波器观察 A5B 单元信号输出端 C（ t）的系 统阶跃响应。示波器的截图详见虚拟示波器的使用。实验结果分析：实验结果表明上图阶跃响应曲线与衰减震荡阶跃响应图非常接近，证明利用主导极点估三阶系统瞬态响应和稳定性实验结果改变图 3-1-8 所示的实验被测系统（三阶单位反馈闭环系统）的惯性时间常数T1、 T2分别改变模拟单元 A3 和 A5 的反馈电容 C2、C3）。（输入矩形波宽度 6 秒，电压幅度 =

19、2.5V)1 计算和观察被测对象临界稳定的增益K（R 值）。运用劳斯（ Routh ）稳定判据法、 MATLAB 的开环根轨迹法、代数求解法，求解高阶闭环系统临界稳定增益 K ：闭环系统的特征方程为：劳斯（ Routh ）稳定判据法：1 G(S) 0,0.05S3 0.6S2 S K 03-1-7)特 征 方 程 标 准 式 ：a0S3 a1S2 a2S a3 03-1-8)把式（ 3.1.7 ）各项系数代入式（3.1.8）建立得Routh 行列表为S3a0a2S30.051S2a1a3S20.6KS1a1a2 a0a30S10.6 0.05K0a10.6S0a30S0K0由 ROUTH稳定判

20、据判断，得系统的临界稳定增益 K=12 。即：0 K 12R 41.7K 系统稳定K 12R 41.7K 系统临界稳定K 12R 41.7K 系统不稳定为了保证系统稳定，劳斯表中的第一列的系数的符号都应相同，所以0.6 0.05K00.6K0代数求解法：系统的闭环特征方程 D（S）=0 中，令 S=j，其解即为系统的临界稳定增益 K 。 用 j取代式（ 3-1-7 ）中的 S，则可得：0.05（ j ）3 0.6（ j ）2 j K 0令： 虚部 0 0.05 3 0实部 0 K 0.6 2 0K 12得系统的临界稳定增益 K=12。用 MATLAB 根轨迹求解法： 反馈控制系统的全部性质，

21、取决于系统的闭环传递函数， 而闭环传递函数对系统性能 的影响，又可用其闭环零、极点来表示。在 MA TLAB 的开环根轨迹图上反映了系统的全 部闭环零、极点在 S 平面的分布情况，将容易求得临界稳定增益K。线性系统稳定的充分必要条件为：系统的全部闭环极点均位于左半 S 平面，当被测 系统为条件稳定时，其根轨迹与 S 平面虚轴的交点即是其临界稳定条件。模拟电路的各环节参数代入式（ ），该电路的开环传递函数为：G(S)KS(0.1S 1)(0.5S 1)K0.05S3 0.6S2 S3-1-6)据式（ 3-1-6 ）化简为：20KS3 12S 2 20S根轨迹增益 K g 20K该电路的闭环传递函

22、数为：(S)KgS3 12S2 20S K3-1-9)进入 MATLAB- rlocus(num,den)num=20;，按式 （ 3-1-9）设定：den=1 12 20 0; rlocus(num,den) v=-11.5 0.5 -6 6;axis(v)grid得到 按式 （3-1-9）绘制的 MATLAB 开环根轨迹图，如图 3-1-18 所示图 3-1-18 MATLAB 的开环根轨迹图 在图 3-1-18 的根轨迹上找到虚轴的交点（实轴值为0），即为系统的临界稳定增益：K（Gain）=12 。当 Ti ，T 为其他值时的 K 的理论值计算方法一样，不再一一详述2 运用 MATLAB

23、 的开环根轨迹法， 求解闭环系统超调量 Mp 为 30%的稳定增益， 並画出 其系统模拟电路图和阶跃响应曲线（调整被测对象的增益K （R值）来改变增益） 。G(S)20K S3 12S2 20S用 Matlab 画图计算临界增益T1=0.1， T2=0.5 时，等幅震荡num=20; den=1 12 20 0; rlocus(num,den) v=-11.5 0.5 -6 6; axis(v)超调量 Mp30% 使，为其阶跃响应曲线为：(此时为闭环传递函数) num=20*2.29;den=1 12 20 20*2.29;step(num,den)当 T1=0.1， T2=1 时，等幅震荡G

24、(S)10KS3 11S2 10S用 Matlab 画图计算临界增益num=10;den=1 11 10 0; rlocus(num,den) v=-11.5 0.5 -6 6;axis(v)超调量 Mp30% 使，其阶跃响应曲线为：(此时为闭环传递函数) num=10*1.4;den=1 11 10 10*1.4;step(num,den)当 T1=0.2， T2=0.5 时，等幅震荡G(S)10K S3 7S2 10S用 Matlab 画图计算临界增益num=10; den=1 7 10 0; rlocus(num,den) v=-11.5 0.5 -6 6; axis(v)超调量 Mp30% 使，其阶跃响应曲线为：（此时为闭环传递函数） num=10*1.71;den=1 7