概率论与数理统计期末考试试题及解答

1、、填空题(每小题 3分，共15 分)2.设随机变量X服从泊松分布，且P(X 1)4P(X2)，则 P(X3)3.答案:解答:P(X由 P(X1)1) P(X 0)4P(X 2)知0 解得P(X1,1)P(X3),P(X 2)X在区间(0,2)上服从均匀分布,密度为fY (y) .答案：设随机变量则随机变量2Y X在区间(0,4)内的概率1.设事件 代B仅发生一个的概率为，且P(A) P(B) 0.5，则代B至少有一个不发生的概率为答案：解：P(ABAB) 0.3即0.3 P(AB) P(AB) P(A)P(AB) P(B) P(AB) 0.5 2P(AB)所以P(AB) 0.1P(A B)P(

2、AB) 1 P(AB) 0.9.0 y 4,fY(y) Fy(y) fx(7V)4J72小0 ,其它.解答：设丫的分布函数为FY(y), X的分布函数为Fx(x)，密度为fx(x)则Fy(v) P(Y y) P(X2 y) P( .y X 环 Fx(J) Fx( .y) 因为 X U (0, 2)，所以 Fx( . y) 0，即 FY(y) FXG. y)所以fY(y)另解 在(0,2)上函数y2x严格单调，反函数为4- 0 y4,0 ,其它h(y) , yfY(y)0 y 4,P(X 1) e 2，则0 ,其它.答案：2，Pmin( X,Y)411 e4解答：P(X 1)1 P(X1)ee

3、2，故2Pmi n(X,Y) 11Pmin( X,Y)11P(X 1)P(Y1)14 e4.设随机变量 X,Y相互独立，且均服从参数为的指数分布,，Pmin(X,Y) 1 =5.设总体X的概率密度为(1)x ,0x1,1f(x)0,其它Xi ,X2, ,Xn是来自X的样本，则未知参数的极大似然估计量为答案:In xi 1解答:似然函数为L(Xi ,L ,Xn；)n(1)Xi(i 1ln L nln(d ln L n1)n(x1,L ,Xn)n1) 吓i 1n ln x 0解似然方程得的极大似然估计为$1In xi1.、单项选择题（每小题 3分，共15分）1 设A, B,C为三个事件，且 A,

4、B相互独立，则以下结论中不正确的是（A）若P（C） 1，则AC与BC也独立（B）若P（C） 1，则AUC与B也独立（C）若P（C） 0，则AUC与B也独立（D）若C B，则A与C也独立（）答案：（D）A），（ B），（ C）解答：因为概率为1的事件和概率为 0的事件与任何事件独立，所以（都是正确的，只能选（D）事实上由图可见A与C不独立.2设随机变量X N(0,1), X的分布函数为 (x)，则P(|X | 2)的值为(A) 21(2) .(B) 2 (2) 1.(C) 2(2)(D) 1 2 (2).()答案：(A)解答：XN(0,1)所以 P(| X | 2)1 P(|X | 2)1P(

5、2 X 2)1(2)(2) 1 2 (2) 1 21 (2)应选（A）.3.设随机变量 X和Y不相关，则下列结论中正确的是(A) X 与 Y 独立.(B) D(X Y) DX DY .(C) D(X Y) DX DY .(D) D(XY) DXDY .( )答案：(B)解答：由不相关的等价条件知，xy 0 COV (x, y) 0D(X Y) DX DY+2cov(x, y)应选(B).4设离散型随机变量 X和Y的联合概率分布为(X,Y)(1,1) (1,2) (1,3) (2,1) (2,2) (2,3)P111169183若X,Y独立，贝U ,的值为6(A)(C)19.1(A)(D)181

6、8答案：（A）解答：若X,Y独立则有123i111169183112331112918P(X 2, Y 2) P(X 2)P(Y 2)11、21 、(-)(-)-匕 )3939219，9故应选(A).5设总体X的数学期望为,Xi , X2,L正确的是（A） Xi是的无偏估计量.（C） Xi是 的相合（一致）估计量,Xn为来自X的样本，则下列结论中（B） Xi是的极大似然估计量.（D） Xi不是的估计量.（）答案：（A） 解答:EXi ，所以Xi是 的无偏估计，应选（A）三、（7分）已知一批产品中90%是合格品，检查时，一个合格品被误认为是次品的概率为, 一个次品被误认为是合格品的概率为，求（i

7、） 一个产品经检查后被认为是合格品的概率；（2） 个经检查后被认为是合格品的产品确是合格品的概率解：设A 任取一产品，经检验认为是合格品B 任取一产品确是合格品则（i） P（A） P（B）P（A|B） P（B）P（A|B）0.9 0.95 0.i 0.02 0.857.(2)P(B|A)P(AB)P(A)0.9 0.950.8570.9977 .四、（i2分）从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是 2/5.设X为途中遇到红灯的次数，求X的分布列、分布函数、数学期望和方差.五、解：X的概率分布为X的分布函数为P(X k) C3k(5)k(

8、|)3k0,123.P 27125F(x)EXDX 3541253612581250 ,27125 ,81125 ,117125 1 ,0,3.1,2,3,25356J51825(x,y)|x(10分)设二维随机变量(X,Y)在区域均匀分布求(1)(X,Y)关于X的边缘概率密度；(2)0,0, x y 1上服从Y的分布函数与概率密度.fx(X)(1) (X ,Y)的概率密度为f(x,y)0,(x, y)其它.f (x, y)dy(2)利用公式fZ (z)f (x, zx)dx其中f(x,zx) 0,0其它1,02,0,2x,00其它.1,fz (z)0 x 1其它x z 1.fz(z) 2zd

9、x02x0 2z812z, 0 z 1,0,其它.故Z的概率密度为Z的分布函数为0,z00 ,z0,zfZ (z)fZ(y)dyz0 2ydy,0z 12z ,0z 11,11 ,z1.z或利用分布函数法fz(Z)z)2dxdy,0z1,D11,z1.z0,0z1,z1.2z,0z1,Fz (z)0 ,其它.Fz(z)P(Z z) P(X Y0 ,2Z ,1 ,fz(z)0, z 0,六、（10分）向一目标射击，目标中心为坐标原点，已知命中点的横坐标X和纵坐标Y相互独立，且均服从N（0,22）分布.求（1）命中环形区域 D （ x, y） |1 x2 y2 2的 概率；（2）命中点到目标中心距

10、离 Z X2 Y2的数学期望.(1)PX,Y) Df (x, y) dxdy解： y2 2x y8 dxdyr22e 8rdrd12r2ed(r2e 8(2)EZ E(.、X2 Y2)ydxdy0 re严8 rdrd严8 r2dr2七、（11分）设某机器生产的零件长度（单位： cm X N （,），今抽取容量为16的样本，测得样本均值 x 10,样本方差s 0.16 . （ 1 ）求 的置信度为的置信区间；（2）检验假设H。：0.1 （显著性水平为）（附注）如5（16） 1.746, to.o5（15） 1.753,如25（15）2.132,2 2 20.05 (16) 26.296,0.05

11、(15) 24.996,0.025 (15) 27.488.解: (1)的置信度为1下的置信区间为（X t/2（n 1） , X t/2 （n 1）VnJnX10, s 0.4, n 16,0.05, t.025(15)2.132所以的置信度为的置信区间为（，）2 2 2（2）H。：0.1的拒绝域为（n 1）.215S215 1.6 24 ,05(15) 24.9960.1 .因为2 22424.9960.05(15)，所以接受 H。.概率论与数理统计期末考试试题（A）专业、班级：姓名：学号：单项选择题(每题3分 共18分)1. D 2 . A 3 . B 4 . A 5 . A 6 . B题

12、号一一一二二二四五六七八九十十一十二总成绩得分、单项选择题(每题3分共18分) (1)(2)设随机变量X其概率分布为X -10 1 2P则 PX 1.5()。(A)(B) 1(C) 01(D)2(3)设事件Ai与Az同时发生必导致事件A发生，则下列结论正确的是()(A)P(A)P(AA)(B)P(A)P(AJP(A2)1(C)P(A)P(A1 A2)(D)P(A)P(AJPS2)1(4)设随机变量X N(3,1), Y N(2,1),且X与Y相互独立，令ZX 2 Y7,贝y z().(A) N(0, 5);(B)N(O, 3);(C)N(0,46);(D) N(0, 54).(5)设 X1,X

13、2, 未知，贝U(n(A)X i2i 1,Xn为正态总体N(,)是一个统计量。(B)2)的一个简单随机样本，其中2,n(Xi )i 1(3)(D)(C) X(6)设样本Xi,X2,Xn来自总体X N(,2), 2未知。统计假设为Ho：0已知)H1：则所用统计量为(A)UX/ Vnf(B)S n(C)(n 1)S22(D)1 n22(Xii 1)2、填空题(每空3分共15分)(1) 如果 P(A) 0, P(B) 0, P(A B) P(A)，则 P(BA)(2) 设随机变量X的分布函数为0,x 0,F(x)x1 (1 x)e x, x 0.,P(X 2)则X的密度函数f(x)XiX9,丫12丫

14、92(4) 设总体X和丫相互独立,且都服从N(0,1) , X1,X2, X9是来自总体X的样本，丫1,丫2, 丫9是来自总体丫的样本，则统计量服从分布(要求给出自由度)。、填空题（每空3分共15分）1. P(B)小xex 02. f(x)3e 23.1 4.t(9)0x 0三、（6分）设代B相互独立，P(A) 0.7，P(AB)0.88，求 P(A B)解：=P（AB) P(A) P(B)P(AB)P(A) P(B) P(A)P(B) ( 因为A, B相互独立).2分0.7 P(B) 0.7P(B)3 分贝UP(B) 0.6 .4 分P(A B) P(A) P(AB) P(A) P(A)P(

15、B)0.7 0.7 0.60.28 6 分四、（6分）某宾馆大楼有4部电梯，通过调查，知道在某时刻 T,各电梯在运行的概率均为，求在此时刻至少有 1台电梯在运行的概率。解：用X表示时刻T运行的电梯数，则Xb（4, 0.7） .2分所求概率.6分五、（6分）设随机变量X的概率密度为f（x）xe0,x 0其它，C0(0.7)0(10.7)4 =求随机变量丫=2X+1的概率密度。解:因为y 2x 1是单调可导的,故可用公式法计算.1分当X 0时，丫 1.2分由y 2x 1，得x从而丫的密度函数为fY（y）x 12y 1叫).5分.6分.4分111(2)因为 PXO,YO OPXOPYO -224所以

16、 X与丫不相互独立8分七、（8分）设二维随机变量（X,Y）的联合密度函数为12e (3x 4y), x O,yO,求:(1)P(OX 1,O Y2） ；（ 2）求X的边缘密度。解：（1）P(O X1,O Y 2)1 2dx 12e (3x 4y)dyO.2分13e 3xdxO24eO4ydy =e4y 2f (x, y)O,其他.4分.6分 8分=1 e 3 1 e8(2)fx(x)12e (3x4y)dy3e3x x OO x O八、（6 分） 一工厂生产的某种设备的寿命 X （以年计）服从参数为1的指数分4布。工厂规定，出售的设备在售出一年之内损坏可予以调换。若工厂售出 一台设备盈利100

17、元，调换一台设备厂方需花费 300元，求工厂出售一台 设备净盈利的期望。1解：因为X e（）11_ Xe 4 x 0得 f(x)4.2分40x0用Y表示出售台设备的净盈利100X 1Y3分100 300 0 X 1则P(Y100)14e 4dXe4x1P Y2001 1_e 4dx 1e 40411所以EY100 e4 (200)(1 e 4)1300e 420033.64（元）x1九、（8 分）设随机变量X与Y的数学期望分别为.4 分.6 分2和2,方差分别为1和4,而相关系数为0.5，求E（2X Y）, D（2X Y）解：已知 EX 2, EY 2, DX 1, DY 4, XY 0.5贝

18、U E(2X Y) 2EX EY 2 ( 2) 26.4 分D(2X Y) D(2X) DY 2cov(2X,Y).5 分2DX DY 4 cov( X, Y).6 分2DX DY 4、DX、DY xy=12 .8 分十、（7分）设供电站供应某地区1 000户居民用电，各户用电情况相互独立。 已知每户每日用电量（单位：度）服从 0 , 20上的均匀分布，禾I用中心极限定理求这1 000户居民每日用电量超过10 100度的概率。（所求概率用标 准正态分布函数 （x）的值表示）.解：用Xi表示第i户居民的用电量，贝U Xi U 0,20 020 “(20 0)2 100EXi10DXi212310

19、00则1000户居民的用电量为X Xi，由独立同分布中心极限定理i 1P X 101001 P X 10100=1 P X. 1000 10 10100 1000 1010001001000 10010100 1000 101 ()100V1000 2.6分卜一、（7分）设X1,X2, ,Xn是取自总体X的一组样本值，X的密度函数为f(x)(1)x ,0 X 1,0,其他，其中0未知，求解：最大似然函数为的最大似然估计=(1)n(X1,Xn)ln L(X1,Xn,)n ln(1)ln (X1,Xn)0X1, Xn1令 d ln Lnln (x1,Xn)0d1于是的最大似然估计:.2分.4分.5

20、分.7分nnL(X1 , Xn, )f (Xi)(1)Xii 1i 1n1 In In(X1,Xn)十二、（5分）某商店每天每百元投资的利润率 X N（ ,1）服从正态分布，均值为，长期以来方差2稳定为1,现随机抽取的100天的利润，样本均值为x 5，试求 的置信水平为95%的置信区间。（t0.05（100）1.99,(1.96)0.975)X解:因为已知，且N(0,1)Zn依题意X0.05,U 1.96, n 100,21, x则的置信水平为95%勺置信区间为x U ,x U4 分2 J n n即为 ,5分概率论与数理统计课程期末考试试题（B）专业、班级：姓名：学号：题号一一一二二二-三四五

21、六七八九十十一十二总成绩得分一、单项选择题（每题3分共15分）(1)(2)离散型随机变量X的分布律为P X k b）的充分必要条件是（）.(A) b 0 且 0 1 ;(B) b 1 且1 1(C) b 1 且 1 ;(D)且1 b（3）连续随机变量X的概率密度为f(x)X,2 x,0,则随机变量X落在区间， 内的概率为（）.(A) ；(B) ；(C) ；(D).设随机变量XN( 3, 1), YN(2, 1),且X立，令 Z X 2Y 7 ,贝 V Z().(A) N(0, 5);(B) N(0, 3);(C)N(0, 46);(k 1, 2,0 0.0 x 11 x 2其它与Y相互独(D)

22、 N(0, 54).(5):、填空题(每空2分共12分)(1)(2)(3)设样本（Xi, X2， , Xn）抽自总体XN（ , 2）.均未知.要对 作假设检验，统计假设为 H 0:（0已知）,Hi：0，则要用检验统计量为 给定显著水平 ，则检验的拒绝区间为 三、(7分) 已知 P(A) 0.5, P(B) 0.6，条件概率 P(B|A) 0.8,试求 P(AB).四、（9分）设随机变量X的分布函数为F（x） A Barctan x, x求：（1）常数A, B ；（2）P（凶 1） ；（ 3）随机变量X的密度函数。五、（6分）某工厂有两个车间生产同型号家用电器， 第1车间的次品率为，第2 车间的

23、次品率为.两个车间生产的成品都混合堆放在一个仓库中，假设1、2车间生产的成品比例为2： 3,今有一客户从成品仓库中随机提台产品，求该产品合格的概率.六、（8分）已知甲、乙两箱装有同种产品，其中甲箱中装有3件合格品和3件次品，乙箱中仅装有3件合格品，从甲箱中任取3件产品放入乙箱后，求乙 箱中次品件数的分布律及分布函数 F（x）.七、（7分）设随机变量X的密度函数为f(x)0,x 0其它求随机变量的函数Y ex的密度函数fY（y）八、（6分）现有一批钢材，其中80%勺长度不小于3 m现从钢材中随机取出100 根，试用中心极限定理求小于 3 m的钢材不超过30的概率。（计算结果用标 准正态分布函数值

24、表示）求：（1） P（0 X否相互独立九、（10分）设二维随机变量（X,Y）的联合密度函数为12e (3x 4y), x 0,y0,f (x, y)0,其他.1,0 Y 2) ；( 2)求X, Y的边缘密度；(3)判断X与丫是十、(8分)设随机变量(X,Y )的联合密度函数为212y ,0 y x 1,f(x,y)0, 其他求E(X), E(Y), E(XY),进一步判别X与丫是否不相关。卜一、（7 分）.设X1,X2,为f(x,)0 x,Xn是来自总体X的一个简单随机样本，总体X的密度函数0,其他,求的矩估计量100的样本均值X十二、（5分）总体X N（ ,1）测得样本容量为数学期望 的置信

25、度等于的置信区间。（怕.05（100）1.99,(1.96)0.975)解：（1）由1F()AB20F()A B2得A1, B12F(x)1 1arcta n x21F( 1)2（2）P(X)i F(1)（3）f(x)F (x)1 2、(1 x )四、（9分）一、单项选择题：（15分）1、D2、D3、B4、A5、C二、填空题：（12分）1、t, 9;2、-13、2更X_s s4、-, （X t /2（n 1） S ,X t /2（n 1） S ）；SI、nn、n三、(7分)解：P(AB) P(A)P(B| A)4分= 0.5 0.8 = 0.47分1分2分3分4分6分( x )9 分五、（6分）解：B 从仓库随机提出的一台 是合格品A 提出的一台是第i车间生产(i 1,2)23P(A) c, P(A2)匚2分55P(B|A) 1 0.15 0.85, P(B|A0 1 0.12 0.88分则 P(B) P(A)P(B|A) P(Ae)P(B| A2)分23=0.85+0.88=0.868分55六、（8分）解：设用X表示乙箱中次品件数，贝U X的分布律为P(XP(X0)2)C3Cc；c3120920P(XP(X1)3)c3cc3c9201204分x 00