数学中考压轴题旋转问题(经典)

1、旋转、选择题1.（广东）如图，把一个斜边长为 2且含有300角的直角三角板 abc绕直角顶点c顺时针旋转900到2 1b1c,则在旋转过程中这个三角板扫过的图形的面积是【a.兀 b币 c3:+?d 曹+f2.（湖北）如图，。是正 abc内一点，oa=3 ob=4 oc=5将线段bo以点b为旋转中心逆时针旋转 60得到线段 bo ,下列结论：4 bo a 可以由 boc绕点b逆时针旋转60得到；点。与o的距离为4;/aob=150 ;小-q9 3s四边形aobo =6+3寸3 ；sjaoc +sjaob =6+4.其中正确的结论【a. b . c . d .3.（四川）如图，p是等腰直角 abc

2、外一点，把bp绕点b顺时针旋转90到bp ,已知/apb=135 ,pa:pc=1:3,贝upa:pb=【】。a. 1: & b .1:2 c .73:2 d .1：t34 .（贵州）点p是正方形abcdfe ab上一点（不与a、b重合），连接pd并将线段绕点p顺时针旋转90 ,得线段pe,连接be,则/cbe等于1】a. 75b , 60 c . 45 d , 305 .（广西）如图，等边bc的周长为6兀，半径是1的。0从与ab相切于点d的位置出发，在 abc外部按顺时针方向沿三角形滚动，又回到与 ab相切于点d的位置，则。0自转了：【】a. 2周b. 3周c. 4周d. 5周、填空题6.（

3、四川）如图，四边形abcdh /badw bcd=900,ab=ad,若四边形abc曲面积是24cm2.则ac长是 cm.7.（江西南昌）如图，正方形 abcdw正三角形aef的顶点a重合，将 aef绕顶点a旋转，在旋转过程中，当be=df时，/bae的大小可以是8 .（吉林省） 如图，在等边 abc中，d是边ac上一点，连接 bd.将 bcd绕点b逆时针旋转60得到 bae连接 ed若bc=1q bd=9,则aed的周长三、解答题9 .(北京市)在 4abc 中，ba=bc , /baca, m是ac的中点，p是线段bmh的动点，将线段 pa绕点p顺时针旋转2a得到线段pq（1）若白且点p与

4、点m重合（如图1）,线段cq的延长线交射线 bm于点d,请补全图形,并写出/ cdb的度数;(2)大小（用含(3)在图2中，点p不与点b, m重合,口的代数式表示），并加以证明;对于适当大小的 a,当点p在线段线段cq的延长线与射线 bm交于点d,猜想/ cdb的bm上运动到某一位置（不与点b, m重合）时，能使得线段cq的延长线与射线 bm交于点d,且pq=qd请直接写出a的范围。10 .(福建)在平面直角坐标系中，矩形 oabq口图所示放置，点 a在x轴上，点b的坐标为(m 1) ( m 0),将此矩形绕o点逆时针旋转90 ,得到矩形 oa b c.(1)写出点a a、c的坐标；(2)设过

5、点a a、c的抛物线解析式为 y=ax2+bx+c,求此抛物线的解析式；(a、b、c可用含m的式子表示)(3)试探究：当 m的值改变时，点b关于点。的对称点d是否可能落在(2)中的抛物线上？若能，求出此时 m 的值.11 .(江苏)(1)如图 1,在 4abc 中，ba=bc d, e 是 ac 边上的两点，且满足 / dbe=1 / abc(o v / cbec - zabc 22以点b为旋转中心，将 bec按逆时针方向旋转/ abc得.到be a (点c与点a重合，点e到点e处)，连接 de 。求证：de =de.(2)如图2,在4abc中，ba=bc / abc=90 , d, e是ac

6、边上的两点，且满足/ dbe=1/abc(o /cbm 45。).求证：de=ae)+ec2.212 .（四川德阳）在平面直角坐标 xoy中，（如图）正方形 oabc勺边长为4,边oa在x轴的正半轴上，边 0% y轴的正半轴上，点 d是oc勺中点，bh db交x轴于点e.求经过点h b、e的抛物线的解析式；将/dbe绕点b旋转一定的角度后，边 be交线段oa于点f,边bd交y轴于点g交中的抛12 一*1八，、一一、，一一，物线于m （不与点b重合），如果点m的横坐标为一，那么结论 of=-dg能成立吗？请说明理由.52过中的点f的直线交射线 cb于点巳 交中的抛物线在第一象限的部分于点q,且使

7、4pfe为等腰三角形，求q点的坐标.13 .（辽宁）（1）如图，在4abc 和4ade中，ab=ac ad=ae / bacw dae=90 .当点d在ac上时，如图1,线段bq ce有怎样的数量关系和位置关系？直接写出你猜想的结论；将图1中的4ade绕点a顺时针旋转a角（0 v a 等边三角形。de=bd=9 . aed 的周长=de+ ae+ ad=9+ 10=19。9【答案】 解：(1)补全图形如下：/ cdb=30。(2)作线段cq勺延长线交射线 bm于点d,连接pg ad,. ab=bc m是 ac的中点，. . bmlag . . ad=cd ap=pc pd=pd在4apd与4c

8、pd中， ad=cd pd=pd, pa=pc- aapid acpd( sss。.ap=pc /adbw cdb /padw pcd又pq=pa pq=pc / adc=2 cdb / pqc= pcd= pad /pad廿 pqd=pqc+pqd=180。 . . / apq+adc=360 ( / pad廿 pqd)=180 。 .adc=180 -z apq=180 2“，即 2/cdb=180 2“。cdb=90 a。(3) 45 v a /pad z mad，2 a 180 2a , . 45 v a 0),，a (m, 0), c (0, 1)。矩形 oabc由矢i形oabo车9

9、90 而成，a( 0,m),c(1, 0)。(2)设过点a、a、c的抛物线解析式为 y=ax2+bx+c,. a ( m0),a (0,m),c( 1,0),2am bm c =0c =ma -b +c =0a - -1,解得b=m1。，此抛物线的解析式为:y= x2+ ( m 1) x+(3)二点b与点d关于原点对称，b (m, 1),，点d的坐标为:假设点 d( m, 1)在(2)中的抛物线上，0= ( m) +2(m- 1) x ( m) + m=1,即 2m 2m+ 1=0,.= ( 2) 24x2x2= 4v0, 此方程无解。，点d不在(2)中的抛物线上。【分析】(1)先根据四边形

10、abc皿矩形，点b的坐标为(m, 1) (m 0),求出点a、c的坐标，再根据图形旋转的性质求出 a、c的坐标即可。(2)设过点a、a、c的抛物线解析式为 y=ax2+bx+c,把a、a、c三点的坐标代入即可得出abc的值，进而得出其抛物线的解析式。(3)根据关于原点对称的点的坐标特点用m表示出d点坐标，把d点坐标代入抛物线的解析式看是否符合即可。be =be / e ba=/ ebc -/ dbe=1 , 一1 / abc211【答案】 证明：（1） be a是 bec按逆时针方向旋转/ abc得至l1 , _, _ 1 / abcabdf z ebc =2 ./abd+ /e ba = 1

11、 /abc,2即 /e bd= 12/abc。./e bd4 dbe 在 bd 和 aebd中,. be =be /e bd4 dbebd=bd， bdaebd( sas)。. de=de（2）以点b为旋转中心，将 bec按逆时针方向旋转/ abc=90 ,得到abe a （点c与点a重合，点e到点e处），连接de 由（1）知 de =de 由旋转的性质， 知 e a=ec / e ab=/ ecb 又; ba=bc2,dead+ecj。z abc=90 , / bacw acb=45。./e ad=z e ab+/bac=90。 在 rtad a 中，de 2=aj+e【分析】（1）由旋转的

12、性质易得 be =be /e ba=z ebc由已知/ dbe=abc经等量代换可得2/e bd=/ dbe 从而可由 sas导 bd ebd 得到 de =de（2）由（1）的启示，作如（1）的辅助图形，即可得到直角三角形de a,根据勾股定理即可证得结论。12【答案】 解：（1） .be! db交x轴于点e, oab%正方形，/ dbc=eba在 bcd与 bae 中，/bcdw bae=90 , bc=ba , / dbcw eba ,.bc国abae( asa。ae=cd .oabc是正方形，oa=4 d是oc的中点,a (4, 0), b (4, 4),c (0, 4), d (0,

13、 2), . .e (6, 0).设过点 d (0, 2), b (4,4）, e （6, 0）的抛物线解析式为 y=ax2+bx+c,则有: c =2416a +4b +c =4 ,解得36a 6b c =05a 二 一12，b=136c =2，经过点 d b、e的抛物线的解析式为:y= -ax2 + x+2o1262 af=cg x m=,5（2）结论of=1dg能成立.理由如下：由题意，当/ dbe52 13 24 - ym = - xm + xm +2=1265绕点b旋转一定的 角度后，同理可证得 bc降abaf12 24、m (,)。 ，一,12 24设直线mbw解析式为ym=kx+

14、b, .”(上，2455),b (4,4),122441k+b=k=-二 v 55 ,斛得 v2 -y me= x+64k+b=4ib=6 g (0,6)。.cg=2 dg=4 .1. af=cg=2 of=oa- af=2, f (2, 0)。of=2dg=4 论 of=1 dg成立。2(3)如图，4pfe为等腰三角形，可能有三种情况，分类讨论如下:若pf=fe .fe=4, bc与oa平行线之间距离为 4,，此时p点位于射线 cb上。f (2, 0), p (2, 4)。5 o1314此时直线 fpx 轴。来，x 2。yq= _2xq2 + 13xq+2=14 ,1263.qi (2, 1

15、4 )。若 pf=pe 3如图所示，af=ae=2 ba!fe, bef 为等腰三角形。，此时点p、q与点b重合。2 (4, 4)。若pe=eefe=4, bc与oa平行线之间距离为 4, 此时p 点位于射线 cb上。e (6, 0), p (6, 4)。2k+b=0 /口 k=1设直线ypf的解析式为ypf=kx+b, / f (2,q点既在直线pf上，也在抛物线上，解得xi=丝，x2=-2 (不合题意，舍去)5综上所述，q点的坐标为q (2, 14 )或30), p (6, 4),，解得。-.y pf=x-2o6k+b=4b= - 25132-x2 + -x+2=x -2 ,化简得 5x

16、- 14x-48=0,126.xq=2。7q=xq-2=0.2=史。，q3(空生)。555 524 14q (4, 4)或 q (上，)。55【分析】(1)由正方形的性质和 bc国abae求得e点坐标，然后利用待定系数法求抛物线解析式。(2)求出m点坐标，然后利用待定系数法求直线mb的解析式，令x=0,求得g点坐标，从而得到线段cg、dg的长度；由 bcga baf ,可得af=cg ,从而求得of的长度.比较 of与dg的长度，它们满足of=1dg的关系，所以结论成立；(3)分pf=fe、pf=pe和pe=ef三种情况，逐一讨论并求解。213【答案】 解：(1)结论：bd=ce bdl ce

17、结论：bd=ce bdl ce理由如下：/ bacw dae=90 ,/ bad- / dacw dae- / dac 即 / badw cae在 rtabd与 rtace 中，ab=ac / badw cae , ad=ae. .abaace( sas。，bd=ce 延长 bd交 ac于 f,交 ce于 h。在 abf 与 hcf 中，/abf之 hcf z afb=/ hfc/chfw baf=90 。 b bdl ce(2)结论：乙. ab: ac=ad ae, / bacw dae=90 。【考点】 全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，旋转的性质。【分析】(1)bd=ce bdl

18、ce根据全等三角形白判定定理sas推知 ab里aacte然后由全等三角形的应边相等证得bd=ce对应角相等zabf=/ eca然后在4abd 和4cdf中，由三角形内角和定理可以求得z cfd=90 ,即 bdl cebd=ce bdlce根据全等三角形的判定定理sas推知4ab里aacte然后由全等三角形的对应边相等证得bd=ce对应角相等/ abf之eca作辅助线(延长 bd交ac于f,交ce于h) bh构建对顶角/ abf之hcf再根据三角形内角和定理证得/ bhc=90。(2)根据结论、的证明过程知，/ bacw dfc(或/ fhc=90 )时，该结论成立了，所以本条件中的 /bac

19、wdam90不合适。14【答案】 解：(1)45。不变。理由如下过 b c分别作bdlap于点d, celap 于点 e。. /bac=90 ,，/badf / eac=90。/ bdl ap, . / adb =90 。 . . / abd + /bad=90 。 /abdw eac 又ab=ac / adb =/ cea=90 , .ad军 acea(aas)。ad=ec bd=ae / bd是等腰直角三角形nbm斜边上的高，. bd=dn/bnd=45。 . bn=bd=ae，dn- de=aj de,即 ne=ad=ec. /nec =90 , anc =45 。 (3) / anc

20、=90 1 / bac2【分析】(1): bm=bn / mbn=90 ,/ bmn = bnm=45 。又/can=45, ，/bmn=can 又ab=ac an=anbm/ acain( sas。，/ anc= bnm=4 5。过b c分别作bdlap于点d, celap于点e通过证明 ad军acea从而证明 cen是等腰直角三角形即可。(2)如图，由已知得:/。=18002/abc- z 1 ( ab=ac=1800-z2-z6-z 1 ( . / bac= mbn bm=bn=1180 / 2 /1) / 6=z3+z4+z5-z6 (三角形内角和定理)=z6+z 5-z 6=/ 5

21、(z 3+z 4=/ abcw 6)。点a、b m c四点共圆。 /anc bc =90 1 zbac215解：(1)证明：在rtfcd中，g为df的中点， cg= 1 fd. 分何理，在rtdef中,cg=eg.先(2) (1)中结论仍然成立，即 eg=cg.证法一：连 接ag,过g点作mnlad于m,与ef的延长线交于 n点.eg=- fd. 2分24分, 来源学金橱z#x#2=60, .边 ad 落在 ae 上，旋转角=/ dae=60 ; 当ac=2ab 时， bdd 与 cpd全等.理由如下：由旋转可知， ab与ad重合，. ab=bd=dd =ad .,四边形 abdd是菱形, .

22、/abd =z dbd =-zabd= -0=30, dp / bc ,22. ace 是等边三角形，ac=ae , /ace=60 , ac=2ab , . . ae=2ad ; ./ pcd =/ acd =-z ace=-60=30 ,又 : dp / bc ,22 ./abd =/ dbd =/ bd d= / acd =/ pcd=/ pd c=30 , 在4bdd 与 cpd中，2db二/pcdi bd 二cd, .bddscpd，(asa).lzbd7 d=zpd7 c故答案为：60.17 解答：解：(1) mn=am+cn.理由如下：如图， bc/ ad, ab=bc=cd 梯形abcd是等腰梯形，.a+z bcd=180 ,把 abm绕点b顺时针旋转 90到4 cbm ,则4 abma cbm , am