医用高数一元函数微分学第四节导数的应用课件

1、医用高数一元函数微分学第四节导数的应用第四节第四节 导数的应用导数的应用一、一、Lagrange中值定理中值定理二、二、LHospitalLHospital三、函数的单调性与极值三、函数的单调性与极值四、曲线的凹凸性与拐点四、曲线的凹凸性与拐点五、函数曲线的渐近线五、函数曲线的渐近线六、函数图形的描绘六、函数图形的描绘医用高数一元函数微分学第四节导数的应用一、一、Lagrange中值定理中值定理 定理定理2-3 如果如果函数函数 在闭区间在闭区间 上连续上连续, ,在开在开区间区间 上可导上可导, ,则在则在 内至少存在一点内至少存在一点 , ,使下面使下面等式成立等式成立 ,ba),(ba)

2、(xf),(ba)()()(abfafbfabafbff)()()(或或ab1 2 xoy)(xfy ABCD几何解释几何解释.,ABCAB线线平平行行于于弦弦在在该该点点处处的的切切一一点点上上至至少少有有在在曲曲线线弧弧医用高数一元函数微分学第四节导数的应用 注意注意 LagrangeLagrange中值定理亦称微分中值定理中值定理亦称微分中值定理, ,它它精精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系内某点处的导数之间的关系.它是沟通导数和函数之间它是沟通导数和函数之间的桥梁的桥梁.推论推论1 1则则有有如如果果对

3、对于于任任意意,0)(),(xfbaxcxf)()( 为常数为常数c推论推论2则则有有如如果果对对于于任任意意),()(),(xgxfbaxcxgxf)()(),(bxac为常数为常数医用高数一元函数微分学第四节导数的应用2arccosarcsinxxxxxfarccosarcsin)(设设0)11(11)(22xxxfCxf)(0arccos0arcsin)0(f又又2022C即即2arccosarcsinxx例例2-342-34 证明证明证明证明医用高数一元函数微分学第四节导数的应用.00)()(lim,)()(,)()(0未未定定式式型型或或称称为为那那末末极极限限于于零零或或都都趋趋于

4、于无无穷穷大大都都趋趋与与两两个个函函数数时时或或如如果果当当xgxfxgxfxxxxax例如例如xxxtanlim0)00(二、二、LHospitalLHospital法则法则洛必达法则洛必达法则型未定式解法型未定式解法型及型及:001)( 2lnlimxxx医用高数一元函数微分学第四节导数的应用定理定理2-4 LHospital法则法则如果函数如果函数 与与 满足下列三个条件满足下列三个条件)(xf)(xg (1) 当当 (或或 )时时,函数函数 与与 都趋于都趋于 或都趋于或都趋于 ;0 xx x)(xf)(xg0 (2) 当当 (或或 )时时,函数函数 与与 都存在都存在,且且 ;0

5、xx x)(xf )(xg0)( xg(3) 存在或者无穷大存在或者无穷大)()(limxgxf则当则当 或或 时时,0 xx x)()(lim)()(limxgxfxgxf医用高数一元函数微分学第四节导数的应用.sinlim30 xxxx求求例例2-352-35解解30sinlimxxxx203cos1limxxx616sinlim0 xxx例例2-362-36.1arctan2limxxx求求22111limxxx221limxxx1解解xxx1arctan2lim)00()00(医用高数一元函数微分学第四节导数的应用例例2-372-37.lnlimxxx求求解解01lim1limlnli

6、m1xxxxxxxx)( 例例2-382-38.limxnxex求求解解)( xnxxnxxnxexnnenxex221) 1(limlimlim0!lim xnxen医用高数一元函数微分学第四节导数的应用)0( 方法方法 将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型型 .),00()( 方法方法,10 .0100 或或型未定式解法型未定式解法00,1 ,0 ,02型型0（1）.lnlim0 xxx求求例例2-392-39解解xxxlnlim0 xxxlnlim0101limxxx0lim0 xx医用高数一元函数微分学第四节导数的应用0101 .0000

7、方法方法型型（2）)( ).tan(seclim2xxx求求例例2-402-40解解)cossincos1(lim2xxxxxxxcossin1lim20sincoslim2xxx医用高数一元函数微分学第四节导数的应用方法方法 ln01ln0ln01000取对数取对数.0 解解)0(0 xxxeln0limxxxelnlim02011limxxxe0e1xxxe1lnlim0型型00,1 ,0（3）.lim0 xxx求求例例2-412-41xxx0lim医用高数一元函数微分学第四节导数的应用解解)1( xxxeln111limxxxe1lnlim111lim1xxe1 e解解)(0 xxxxx

8、exln11limlim011limlnlimln1limxxxxxxxx.lim111xxx求求例例2-422-42xxx111lim.)(lim1xxx求求例例2-432-431)(lim0ln1lim1eexxxxxx医用高数一元函数微分学第四节导数的应用解解 利用利用洛必达法则洛必达法则例例.limxxxxxeeee求求洛必达法则失效洛必达法则失效!注意注意 洛必达法则不是万能的洛必达法则不是万能的xxxxxxxxxxxxxxxeeeeeeeeeeeelimlimlim)( 111limlim22xxxxxxxxeeeeee(两边同乘以两边同乘以 )xe事实上事实上医用高数一元函数微分

9、学第四节导数的应用xyo)(xfy xyo)(xfy abAB0)( xf0)( xfabBA三、函数的单调性与极值三、函数的单调性与极值1函数的单调性函数的单调性 定理定理2-5 若函数若函数 在区间在区间 内可导内可导,且且 (或或 ),则函数则函数 在区间在区间 上单调增加上单调增加(或单调或单调减少减少).)(xf),(ba0)( xf0)( xf),(ba)(xf医用高数一元函数微分学第四节导数的应用证证),(,21baxx任取任取,21xx 且且应用拉氏中值定理应用拉氏中值定理, ,得得)()()()(211212xxxxfxfxf 012 xx, 0)(),( xfba内内，若若

10、在在0)(f则则).()(12xfxf.),()(上上单单调调增增加加在在baxfy , 0)(),( xfba内内，若若在在0)(f则则).()(12xfxf.),()(上上单单调调减减少少在在baxfy 医用高数一元函数微分学第四节导数的应用解解2 , 0, 0cos1)(xxxf例例2-44 2-44 讨论函数讨论函数 在在 内的单调性内的单调性. .xxxfsin)(2 , 0由定理由定理2-5, 2-5, 在在 上单调增加上单调增加xxxfsin)(2 , 0解解2221111xxxy例例2-45 2-45 讨论函数讨论函数 的单调性的单调性. .xxy arctan在函数的定义域在

11、函数的定义域 内内,除除 时时, 外外,恒有恒有 ,),(0 x0 y0122 xx)0,(),0(0yxxy arctan),(在在 内是严格单调减少的内是严格单调减少的.,所以在所以在 及及 内恒有内恒有 ,因此因此,医用高数一元函数微分学第四节导数的应用求单调区间的方法求单调区间的方法.,)()(0)(符符号号然然后后判判断断区区间间内内导导数数的的的的定定义义区区间间不不存存在在的的点点来来划划分分函函数数的的根根及及用用方方程程xfxfxf解解 定义域为定义域为),()3)(1(39123)(2xxxxxf得得，解解方方程程0)( xf. 3, 121xx时时，当当1x, 0)( x

12、f上上单单调调增增加加；在在) 1 ,(时时，当当31 x, 0)( xf上单调减少；上单调减少；在在)3 , 1 (时时，当当 x3, 0)( xf.), 3(上上单单调调增增加加在在.1696)(23的的单单调调区区间间求求函函数数xxxxf例例2-462-46医用高数一元函数微分学第四节导数的应用例例2-472-47 求函数求函数 的单调区间的单调区间.32)2(1)(xxf解解3231)(xxf.,2导数不存在导数不存在时时当当 x时，时，当当2x, 0)( xf上单调减少上单调减少在在), 2( 时，时，当当 x2, 0)( xf上单调增加上单调增加在在)2 ,(医用高数一元函数微分

13、学第四节导数的应用 函数的极大值与极小值统称为函数的极大值与极小值统称为极值极值,使函数取得极值使函数取得极值的点称为的点称为极值点极值点. 定义定义2-3 函数函数 在在 点某邻域内有定义点某邻域内有定义, ,若若 在该邻域内有在该邻域内有)(xfy)()(0 xfxf)(0 xx (或或 ) 则称则称 为为 的一个极大值的一个极大值(或极小值或极小值).并称并称 为为 的极大值点的极大值点(或极小值点或极小值点).)(xf)(0 xf0 x)(xf2函数的极值函数的极值)(xf0 x)()(0 xfxf医用高数一元函数微分学第四节导数的应用oxyab)(xfy 1x2x3x4x5x6xox

14、yoxy0 x0 x极大值点极大值点0 x极小值点极小值点0 x问题问题1 极值点在什么地方取得极值点在什么地方取得? 问题问题2 如何判断在该点取得极大值还是极小值如何判断在该点取得极大值还是极小值?医用高数一元函数微分学第四节导数的应用 定理定理2-6 设函数设函数 在点在点 处可导处可导, ,且在且在 处取处取得极值得极值, ,则则 . .0 x0 x0)(0 xf)(xfy 满足满足 的点的点, ,称为驻点称为驻点. .0)(xf 注意注意 可导函数的的极值点必定是驻点可导函数的的极值点必定是驻点,但函数的驻但函数的驻点不一定是极值点点不一定是极值点.例如例如3xy 00 xy.0不是

15、极值点但 x如何来判断驻点是极值点呢如何来判断驻点是极值点呢? 定理定理2-7 (第一判别法第一判别法) 设函数设函数 在点在点 的某邻域的某邻域内可导内可导,且且 ;)(xfy 0)(0 xf (1) (1)若若 时，时， 时时, , 则则 在在 点取得极大值点取得极大值. .; 0)(xf0)(xf)(xf0 x0 xx 0 xx 0 x医用高数一元函数微分学第四节导数的应用 (2) (2)若若 时，时， 时时, , 则则 在在 点取得极小值点取得极小值. .; 0)(xf0)(xf)(xf0 x0 xx 0 xx xyo0 x xyo0 x (是极值点情形是极值点情形) (3) (3)若

16、当若当 在在 两侧时两侧时, , 符号不变，则符号不变，则 在在 点不取极值点不取极值. .)(xf)(xf0 x0 xxxyo0 x xyo0 x (不是极值点情形不是极值点情形)注意注意 函数的不可导点函数的不可导点,也可能是函数的极值点也可能是函数的极值点.医用高数一元函数微分学第四节导数的应用求极值的步骤求极值的步骤: :);()() 1 (xfxf的定义域和导数的定义域和导数求函数求函数;)2(的的点点求求驻驻点点，和和导导数数不不存存在在;,)()3(判断极值点这些点左右的正负号检查xf .)4(求极值求极值如函数如函数 在在 不可导不可导,但但 取得极小值取得极小值.xxf)(0

17、 x0 xxy xyo医用高数一元函数微分学第四节导数的应用解解33311323232)(xxxxf列表讨论列表讨论31) 1 (f极极小小值值0)0(f极大值例例2-482-48 求求 的极值的极值. .3232)(xxxf0)( xf令1x得驻点得驻点.0;是导数不存在的点xx)0 ,(), 1 ( )1 ,0()(xf )(xf 00 极大值极大值极小值极小值01医用高数一元函数微分学第四节导数的应用 定理定理2-8 (第二判别法第二判别法)设函数设函数 在在 点有二阶点有二阶导数导数,且且 .)(xfy 0 x0)(0 xf(1)若若 ,则则 是是 极大值极大值;0)(0 xf)(0

18、xf)(xf(2)若若 ,则则 是是 极大值极大值;0)(0 xf)(0 xf)(xf(3)若若 ,无法判断无法判断 是否在是否在 处取得极值处取得极值.0)(0 xf)(xf0 x证明证明)1(0000)()(lim)(xxxfxfxfx 0异号与故00)()(xxxfxf，当0 xx ; 0)()(0 xfxf所所以以,函函数数)(xf在在0 x处处取取得得极极大大值值 ，当0 xx 0)()(0 xfxf医用高数一元函数微分学第四节导数的应用，令0)( xf. 1, 1, 0321xxx得驻点得驻点解解22) 1(6)(xxxf, 06)0( f0)0(f故极小值故极小值例例2-492-

19、49 求求 的极值的极值. .1) 1()(32 xxf注意注意. 72,)(,0)( 00 仍仍用用定定理理处处不不一一定定取取极极值值在在点点时时xxfxf) 15)(1(6)(22 xxxf而而当当 时和时和 时时,1x01x)(xf0)( xf故故 时时, 不取极值不取极值.1x当当 时和时和 时时, 1x10 x1x)(xf0)( xf故故 时时, 不取极值不取极值.医用高数一元函数微分学第四节导数的应用oxyoxybaoxyabab.,)(,)( 值与最小值存在上的最大在上连续，则在若函数baxfbaxf3.3.最大值与最小值最大值与最小值求最大值与最小值步骤求最大值与最小值步骤:

20、 :(1)求驻点和不可导点求驻点和不可导点; (2)求区间端点及驻点和不可导点的函数值求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比较大小比较大小,那个最大就是最大值那个最大就是最大值,那个最小就是最小值那个最小就是最小值; 注意注意 如果区间内只有一个极值如果区间内只有一个极值,则这个极值就是最则这个极值就是最值值.(最大值或最小值最大值或最小值)医用高数一元函数微分学第四节导数的应用解解3313213) 1(5) 1)(4(32) 1()(xxxxxxf计算得计算得392)2(f343) 1(f0) 1 (f6)2(f例例2-502-50 求函数求函数 在在 的最值的最值. . 2 , 232)

21、1()4()(xxxf，最最大大值值6)2(f比较得比较得:. 0) 1 (f最最小小值值实际问题求最值应注意实际问题求最值应注意(1)建立目标函数建立目标函数; (2)求最值求最值值值或或最最小小所所求求的的最最大大即即为为值值点点，则则该该点点的的函函数数值值若若目目标标函函数数只只有有唯唯一一极极)( 令令 得驻点得驻点 时时, 不存在不存在.)(xf, 0)( xf1; 1xx医用高数一元函数微分学第四节导数的应用 例例2-51 2-51 肌肉注射或皮下注射药物后肌肉注射或皮下注射药物后,血中的药物浓血中的药物浓度可表示为度可表示为解解)(2112tteeAC 令令 ,可得可得0C)(

22、121212tteeAC 1212lnln t1 )()(2122211222211221121tttteeAeeAC 其中其中 、 是大于零的常数是大于零的常数,且且,问时间问时间 为为 何值时何值时,药物浓度为最大药物浓度为最大,最大浓度是多少最大浓度是多少?A1 2 12 t医用高数一元函数微分学第四节导数的应用121)()lnln(2121212 AC0)lnln(12121)ln(ln11212 eAC故故 时时, 取极大值取极大值1212lnln tC. 由于由于C在在 上只有一个极大值点上只有一个极大值点,且且 , ), 0 t0C1212lnln t121)(212maxAC1

23、21)(212A即当时间即当时间 时时,血药浓度为最大血药浓度为最大,其最大浓度其最大浓度为为.所以所以 时时,C达到最大值达到最大值1212lnln t医用高数一元函数微分学第四节导数的应用xyo1x2x)(xfy xyo)(xfy 1x2x五、曲线的凹凸性与拐点五、曲线的凹凸性与拐点凹凹凸凸)2)()()2(2)()()2(21212121xfxfxxfxfxfxxf或定义定义2-4都都有有任任意意两两点点上上的的如如果果对对于于上上连连续续在在设设,)( 21xxbabaxf则称曲线则称曲线 在在 上是上是凹的凹的(或或凸的凸的).)(xfy,ba医用高数一元函数微分学第四节导数的应用x

24、yo)(xfy xyo)(xfy abAB递递增增)(xf abBA0 y递递减减)(xf 0 y问题问题:如何判断曲线的凹凸性呢如何判断曲线的凹凸性呢?通过观察可知通过观察可知 若曲线在区间若曲线在区间a,b上凹的上凹的,则则 ;若在区间若在区间a,b上凸的上凸的,则则 .因此有下面的定理因此有下面的定理.0)( xf0)( xf医用高数一元函数微分学第四节导数的应用.),()(, 0)(),()2(;),()(, 0)(),() 1 (内内是是凸凸的的在在则则有有对对任任意意若若内内是是凹凹的的在在则则有有若若对对任任意意baxfxfbaxbaxfxfbax 定理定理2-192-19)()

25、,(,)( xfbabaxf 二二阶阶导导数数内内具具有有在在上上连连续续在在如如果果例例2-522-52.3)(3的凹凸性判断曲线xxxf解解233)(xxfxxf6)( 时，当0 x为为凹凹的的；在在曲曲线线)0 ,(, 0)( xf, 0)( xf时，当0 x.), 0(为为凸凸的的在在曲曲线线.)0 , 0(点点是是曲曲线线由由凸凸变变凹凹的的分分界界点点注意到注意到,医用高数一元函数微分学第四节导数的应用;)(,(,)()3(000即为拐点点变号两近旁xfxxfx .)(,(,)(000不是拐点点不变号两近旁xfxxfx 求拐点的求拐点的步骤步骤:);()1 (xf 求0, 0)()

26、2(xxf点点找找出出实实根根和和二二阶阶不不可可导导令令 连续曲线上凹凸的分界点称为连续曲线上凹凸的分界点称为曲线的曲线的拐点拐点. 注意注意 在拐点处二阶导数为零或二阶导数不存在在拐点处二阶导数为零或二阶导数不存在医用高数一元函数微分学第四节导数的应用解解32) 1(35910)(xxxf例例2-532-53 讨论曲线讨论曲线 的凹凸性及拐点的凹凸性及拐点. .352) 1(95)(xxxf3331111910) 1(910910)( xxxxf0)( xf令; 0 x得得.)(,1不不存存在在时时当当xfx x)0 ,(), 1 ( ) 1 , 0()(xf )(xf 0凹的凹的凸的凸的

27、凹的凹的拐点拐点拐点拐点0不存在不存在1故故 和点和点 是曲线的拐点是曲线的拐点.)1,0()95,1(医用高数一元函数微分学第四节导数的应用定义定义2-52-5.)(,)( 的渐近线就称为曲线直线那么的距离趋向于零如果动点与某一直线远离原点时限上的一动点沿着曲线无当曲线xfyllxfy六、函数曲线的渐近线六、函数曲线的渐近线1.1.垂直渐近线垂直渐近线)(轴轴的的渐渐近近线线垂垂直直于于 x)(lim)(lim00 xfxfxxxx或如果.)(0的的一一条条垂垂直直渐渐近近线线就就是是那那么么xfyxx,21 xy例如例如2 x有垂直渐近线有垂直渐近线: :医用高数一元函数微分学第四节导数的

28、应用2.2.水平渐近线水平渐近线)(轴轴的的渐渐近近线线平平行行于于 x)()(lim)(lim为常数或如果AAxfAxfxx例如例如xyarctan有水平渐近线两条有水平渐近线两条: :.2,2 yy.)(的一条水平渐近线就是那么xfyAy0yx22医用高数一元函数微分学第四节导数的应用3.3.斜渐近线斜渐近线.)(limbaxxfx .)(的的一一条条斜斜渐渐近近线线就就是是曲曲线线那那么么xfybaxy 如果如果 且且,)(limaxxfx 112lim)(lim22xxxxxfaxx的的斜斜渐渐近近线线为为曲曲线线所所以以)(2xfxy例例2-542-54 求求 渐近线渐近线. .xx

29、xxf12)(2xxxx12lim20解解故故 是曲线的垂直渐近线是曲线的垂直渐近线.0 x212lim12lim)(lim2xxxxxxaxxfbxxx医用高数一元函数微分学第四节导数的应用极值点；上下降，在什么地方有区间上上升，哪个区间哪个，可以确定函数图形在借助于一阶导数的符号 拐点；上为凸，在什么地方有区间上为凹，哪个区间哪个，可以确定函数图形在借助于二阶导数的符号 . 准确得比较态，并把函数的图形画也就可以掌握函数的性点后，、凹凸以及极值点和拐知道了函数图形的升降.数数的的导导数数描描绘绘函函数数图图形形因因此此，我我们们可可以以利利用用函函七、函数作图七、函数作图医用高数一元函数微

30、分学第四节导数的应用利用函数特性描绘函数图形步骤利用函数特性描绘函数图形步骤第二步第二步判断函数的周期性与奇偶性判断函数的周期性与奇偶性; 求函数求函数 的定义域的定义域,以确定描绘的范围以确定描绘的范围;第一步第一步)(xfy 第四步第四步 确定这些区间上确定这些区间上 、 的符号的符号,并由此并由此讨论曲线的升降和凹凸讨论曲线的升降和凹凸,以及极值点和拐点以及极值点和拐点;)(xf)(xf第三步第三步 求求 的一阶导数的一阶导数 和二阶导数和二阶导数 ,并并在定义域内在定义域内,求出使求出使 、 为零的点和导数不存在的为零的点和导数不存在的点点.把这些点由小到大排序把这些点由小到大排序,从

31、而把定义域分成若干区间从而把定义域分成若干区间,然然后列表；后列表；)(xf)(xf)(xf)(xf)(xf第五步第五步 确定渐近线确定渐近线,并根据需要补充一些辅助点的并根据需要补充一些辅助点的坐标坐标.最后按照曲线的性态逐段描绘最后按照曲线的性态逐段描绘,得到函数的图形得到函数的图形.医用高数一元函数微分学第四节导数的应用例例2-552-55 描绘函数曲线描绘函数曲线 的图像的图像. .23) 1() 1()(xxxf 解解 函数函数 的定义域为的定义域为 . ), 1 () 1 ,()(xf4) 1() 1(24)( xxxf32) 1()5() 1()(xxxxf令令 得得令令 得得

32、;0)( xf1x0)( xf51xx和和x) 1,(), 5( )1 , 1()5 , 1 ()(xf )(xf 0)(xf 1 拐点拐点51 0极小值极小值0 不存不存在在不存不存在在不存不存在在227医用高数一元函数微分学第四节导数的应用2311) 1() 1(lim)(limxxxfxx则则 为曲线为曲线 的垂直渐近线的垂直渐近线.1x)(xf1) 1() 1(lim)(lim23xxxxxfaxx的的斜斜渐渐近近线线为为所所以以)(5xfxy5) 1(125lim) 1() 1(lim)(lim2223xxxxxxaxxfbxxx医用高数一元函数微分学第四节导数的应用227)5(, 0) 1(ff,补充补充16