二叉树定价模型

1、WORD整理版期权定价的二叉树模型Cox、Ross和Rubinstein 提出了期权定价的另一种常用方法=二叉树(binomial tree )模型，它假设标的资产在下一个时间点的价格只有上升和下降两种可能结果，然后通过分叉的树枝来形象描述标的资 产和期权价格的演进历程。本章只讨论股票期权定价的二叉树模型，基于其它标的资产如债券、货币、股 票指数和期货的期权定价的二叉树方法，请参考有关的书籍和资料。8.1 一步二叉树模型我们首先通过一个简单的例子介绍二叉树模型。例8.1假设一只股票的当前价格是 $20，三个月后该股票价格有可能上升到$22，也有可能下降到$18.股票价格的这种变动过程可通过图8

2、.1直观表示岀来。股价$2空期权价搭图二灭树示例在上述二叉树中，从左至右的节点(实圆点)表示离散的时间点，由节点产生的分枝(路径)表示可能出现的不同股价。由于从开始至期权到期日只考虑了一个时间步长，图8.1表示的二叉树称为一步(one-step )二叉树。这是最简单的二叉树模型。Sf一般地，假设一只股票的当前价格是，基于该股票的欧式期权价格为。经过一个时间步(至到期日T)后该股票价格有可能上升到fU相应的期权价格为；也有可能下降到相应的期权价格为.这种过程可通过一步 (one-step )二叉树表示出来，如图8.2所示。我们的问题是根据这个二叉树对该欧式股票期权定价。为了对该欧式股票期权定价，

3、我们采用无套利( no arbitrage )假设，即市场上无套利机会存在。构造一 个该股票和期权的组合(portfolio )，组合中有、股的多头股票和1股空头期权。如果该股票价格上升到，则该组合在期权到期日的价值为;如果该股票价格下降到，则该组合在期 权到期日的价值为。根据无套利假设，该组合在股票上升和下降两种状态下的价值应该相等, 即有由此可得爲(驰-d)(8.1)上式意味着-是两个节点之间的期权价格增量与股价增量之比率。在这种情况下，该组合是无风险的。(uSf-A f)_rr表示无风险利率，则该组合的现值(the present value )为,又注意到该组合的当前价值是-，故有4侶

4、賤4一 Q严U恥7汕-W将(8.1)代入上式，可得基于一步二叉树模型的期权定价公式为(8.2)(8.3)u-d需要指出的是，由于我们是在无套利(no arbitrage )假设下讨论欧式股票期权的定价，因此无风险利率应该满足：股价uS0 期权价值爲股价dSo 期权价值矗图8 2 步二叉树现在回到前面的例子中，假设相应的期权是一个敲定价为$21 ,到期日为三个月的欧式看涨权，无风险的年利率为12%，求该期权的当前价值。= 20,已知：22-20r = 0.12s mT = 0,25,且专业资料学习参考在期权到期日，当：2时，该看涨权的价值为1U-IU- i! -而当為皿时，该看涨权的价值为fd

5、= max(琨-X0) = 0o根据(8.3)和(8.2)，可得12X0J5-0.91.1-0.9= 0.6523f =严沧叱0.朋23 xl + (l-0.6523) x 0 = 0.633.上述期权定价公式(8.2)和(8.3)似乎与股价上升或下降的概率无关，实际上，在我们推导期权价值时它已经隐含在股票价格中了。不妨令股价上升的概率为望股票价格为则股价下降的概率就是，在时间 的期如果我们假设市场是风险中性的(risk neutral )，则所有证券的价格都以无风险利率增加，故有Ef于是，我们有g叫+(1-q炒佔凡尹由此可得-dg=丁u-d与(8.3)比较，我们发现：，这就是参数的含义，我们

6、称之为风险中性状态下股价上升的概率。8.2 两步二叉树模型在一步二叉树模型中，股票和期权的价格只经过一个时间步的演化，如果初始时间距期权到期日的时间间隔太长，有可能造成计算误差太大的缺陷。因此，在初始时间与期权到期日之间增加离散的时间点，缩短 计算的时间步长，有助于提咼计算精度。现在我们将初始时间距期权到期日的时间T分成两个相等的时间步，则每个时间步长一。假设一只股票的初始价格是，基于该股票的欧式期权价格为，且每经过一个时间步，该股票价格或者增加到当前价格的u (u 1)j ( d 1)倍，或者下降到当前价格的 赵倍。股票和期权价格的演化过程可通过如图8.3所示的二叉树表示出来，这种含有两个时

7、间步长的二叉树称为两步二叉树(Two-stepbinomial trees)模型。我们的问题是根据这个二叉树对该欧式股票期权定价。类似于一步二叉树模型的期权定价方法，采用无套利(no arbitrage )假设，由前向后(backward )逐步计算期权价值，我们得到=已处?X+ 2凶- Q扎+g - Py几(8.4)其中，股价Sof*特定股价说禺 期权价值站股价udSo 期权价值3宀d(8.5)在(8.4)p2i 2p(l-p)和(1 ：中，分别是风险中性状态下最后一个时间步股价到达上节点，中间节点和下节点的概率。因此，期权的初始价值可认为是期权在到期日的期望价值贴现。图3两歩二叉树模型例8

8、.2假设一只股票的初始价格是 $50，且每过1年该股票价格或者上升 20%，或者下降20%，无风险 利率为5%，现有一个基于该股票，敲定价为 $52且2年后到期的欧式看跌权，试用二叉树模型确定该期 权的价值。分析 将初始时间到期权到期日的 2年时间分成相等的两个时间步，则股票和期权价格的演化进程可通过图4直观表示岀来。依题意，已知：50 = 50! u =1+0 =1.2.=10.2 = 0.8 r = 0,05 T -Y = 52 St =1且u2S. =72在期权到期日，当时，该看跌权的价值为几=max(Jf -0) = 0当门时，该看跌权的价值为= inax(AT - udS 0) =

9、4当J 1 _ 时，该看跌权的价值为- max(AT-rf3S0,O) = 20根据(8.5)，可得严河-0$1.20.8=0.6282再由(8.4)，即可求得该看跌权的初始价值为f =血662呂2戈 x0 + 2x0.6282xQ -0.6282)x1 + Q-0.6282) x 20=4.1923 *f4d=20S.4例8,2对应的二灭树模型8.3 多步二叉树模型一步和两步二叉树模型太简单了，实际使用的二叉树要求具有多个离散的时间步长来计算期权的价值。通 常从初始时间到期权到期日需要分成30或更多个时间步长。两步二叉树模型的欧式股票期权定价公式容易推广到多步二叉树模型的情形。如果我们将初始

10、时间距期权到期日的时间T分成- ： -个相等的时间步，则每个时间步长R。令股票的初始价格为1A 1 )，且每经过一个时间步，股价或向上增加到当前价格的-倍，或向下下降到当前价格的企心1倍，无风险利率为的，则在期权到期日，股票价格有种可能结果:川护広,udS0 r，2%,它们在风险中性状态下岀现的概率分别是:必P5。，%。沽其中(8.6)f对应的为与-种股票价格期权价值，L为期权的敲定价，则在无套利假设下，股票看涨权在到期日的价值为_打=Tnax(un_!Wo 亠兀 0)，】=0丄/股票看跌权在到期日的价值为_汀二瓦心扌弘0), A0丄/将该期权在到期日的期望价值贴现，我们即可得到期权的(初始)

11、价值为(8.7)关于参数岚的取值，Cox，Ross和Rubinstein 给出了由股票价格波动率口确定的公式:U(8.8)8.4 二叉树模型的美式股票期权定价上面我们讨论了应用二叉树模型给欧式股票期权定价。实际上，二叉树模型还可给美式股票期权定价。美式和欧式股票期权在到期日的价值是相同的。不同的是，美式股票期权的定价过程要求在到期前每一个 离散时间点上判断提早执行(early exercise)是否最优，并计算对应的期权价值。假设股票价格经历了个时间步的演化到达期权到期日，且每一个时间步长为二叉树描述(图形省略)。若股票的初始价格为，且每经过一个时间步，股价或向上增加到当前价格的1倍，或向下下

12、降到当前价格的d =-饥倍，无风险利率为的，则在第k 1)个时间步后，二叉树上产生n 个节点，自上而下分别用 九 J1表示，则节点 对应的股票价格为期权价值用启表示。如果在处期权没有被提早执行，则期权价值 ，可通过式(8.2)和(8.3)来计算，即Y皿：；爲+ 生冋糾】u-d(8.9)(8.10)A1 -如果在节点处期权被提早执行是最优的,则期权价值(payoff )，令为期权的敲定价，对股票看涨权，有A-*；二宀 - x(8.11)对股票看跌权，有f爲二X-旷4%(8.12)才；-和人-显然，美式股票期权在节点:处的价值应该取 中的较大者，即(8.13)久灯二皿捉人-,厂由于美式股票期权在期

13、权到期日的价值是已知的，因此美式股票期权的定价应该由前向后逐步计算，这也称作向后推演(backwards induction )。先由第步(期权到期日)的个节点上的期权价值通过公式(8.9) .、(8.13)推出第门一 I步对应的个节点上的期权价值，依此下去，我们可以得到初始时间上 的期权价值。下面通过一个例题具体介绍美式股票期权的二叉树定价过程。例8.3若例7.2考察的股票期权是美式的，试对该美式股票期权定价。分析 股票价格的演化进程见图8.5。与欧式股票期权一样，在期权到期日，该美式看跌权的价值自上而下分别为。卞 fud =耳、fdd = 2。(8.12) ，可得根据式(8.9)严1 一 0$1.2-0.8=0.6282f： = e5xl0.6282x0 + (1- 0.6282) x 4 = 1.4147刀=0.6282x4 + (L-0.6282)x 20 = 9.4636州=5270 = 12故有fu =山凉(几 Q = max(l .4147.-8)-14147fd 二刀)= max(9.4636J2) = 12(8.12) ，可得再由式(8.9)=0.6282x1.4147+(1-0.6282)x12 = 5.0894厂=/一却=52 50 =