全等三角形压轴题和分类解析

1、完美.格式.编辑七年级下三角形综合题归类一、双等边三角形模型1. （ 1）如图7点0是线段AD的中点，分别以 A0和DO为边在线段AD的同侧作等边三角 形OAB和等边三角形 OCD连结AC和BD,相交于点 E,连结BC.求/ AEB的大小；（2）如图8, OAB固定不动，保持 OCD的形状和大小不变， 将厶OCD绕着点O旋转（ OABDA OCD不能重叠），求/ AEB的大小.图7DA专业.资料.整理2. 已知：点C为线段AB上一点， ACMACBN都是等边三角形，且 AN BM相交于O. 求证：AN=BM 求/ AOB的度数。 若AIN MC相交于点P, BM NC交于点Q,求证：PQ/ A

2、B（湘潭中考题）同类变式：如图a,AABC和厶CEF是两个大小不等的等边三角形，且有一个公共顶点C,连接AF和BE.线段AF和BE有怎样的大小关系？请证明你的结论；（2）将图a中的 CEF绕点C旋转一定的角度，得到图b, （1）中的结论还成立吗？作出判 断并说明理由；（3）若将图a中的 ABC绕点C旋转一定的角度，请你画出一个变换后的图形c（草图即可），（1）中的结论还成立吗？作出判断不必说明理由.CD =BE , AMN是等边三角形.(1)当把 ADE绕A点旋转到图10的位置时,CD二BE是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由;(2)当厶ADE绕A点旋转到图11的位置时,AMN是

3、否还是等边三角形？若是，请给出证明，若不是，请说明理由.图9图10同类变式：已知，如图所示，在 ABC和 ADE中,AB = AC , AD = AE ,.BAC =/DAE ,且点B, A, D在一条直线上，连接BE, CD, M , N分别为BE, CD 的中点.(1) 求证： BE 二 CD : AM = AN ；(2) 在图的基础上，将 ADE绕点A按顺时针方向旋转180，其他条件不变，得到图所示的图形.请直接写出(1)中的两个结论是否仍然成立ACNMA图4.如图，四边形 ABCD四边形 AEFG匀为正方形，连接 BG与 DE相交于点H(1) 证明： ABG 望 ADE;(2) 试猜想

4、.BHD勺度数，并说明理由；(3) 将图中正方形 ABCD点A逆时针旋转(0 Z BAE 180 ),设厶ABE勺面积 为S , ADG勺面积为S2，判断3与S2的大小关系，并给予证明.C5.已知：如图， ABC是等边三角形，过 AB边上的点D作DG / BC ,交AC于点G , 在GD的延长线上取点 E，使DE二DB，连接AE, CD .(1)求证： AGEDAC ；(2)过点E作EF / DC，交BC于点F，请你连接AF，并判断 AEF是怎样的三角形，试证明你的结论.二、垂直模型(该模型在基础题和综合题中均为重点考察内容)考点1:利用垂直证明角相等1. 如图， ABC中，/ ACB= 90

5、, AC= BC AE是BC边上的中线，过 C作CF丄AE,垂足 为F,过B作BDL BC交CF的延长线于D.求证：(1) AE= CD(2)若 AC= 12 cm，求 BD的长.完美.格式.编辑2.的一条直线,且B、（西安中考）如图 ， 已知 ABC中,/ BAC=90, AB=AC, AE是过AC在 A E的异侧,BD丄AE于D, CE丄AE于E。图图(1)试说明：BD=DE+CE.（2）若直线AE绕A点旋转到图如何？写结论，并说明理由。位置时（BDCE）,其余条件不变，BD与 DE、CE的关系专业.资料.整理图93. 直线 CD经过N BC A的顶点C, CA=CB E、F分别是直线 C

6、D上两点，且BEC CFA 二：.（1）若直线CD经过.BCA的内部，且E、F在射线CD上，请解决下面两个问题： 如图 1,若 NBCA=90：,Na =90，贝U EF|BE AF （填或“二”号）; 如图2,若0：BCA ： 180 ,若使中的结论仍然成立， 贝U :与.BCA应满足的关玄阜系是（2）如图3,若直线CD经过.BCA的外部,Z- - ZBCA，请探究EF与BE AF三条线段的数量关系，并给予证明.图1图2图3考点2:利用角相等证明垂直1. 已知BE, CF是厶ABC的高，且BP=AC CQ=AB试确定AP与AQ的数量关系和位置关系2. 如图，在等腰 Rt ABC中，/ ACE

7、=90BF/ AC交DE的延长线于点 F,连接CF.(1) 求证：CD=BF求证：AD丄CF;连接AF,试判断 ACF的形状.D为BC的中点，DEL AB垂足为 E,过点B作拓展巩固：如图9所示， ABC是等腰直角三角形，/ ACB= 90, AD是BC边上的中线，过C作AD的垂线，交 AB于点E,交AD于点F,求证：/ ADC=Z BDEAB（提示：对比此题的条件和上面那题的条件，对比此题的图形和上题的图像，有什么区别和联系？）3. 如图1，已知正方形 ABCD的边CD在正方形DEFG的边DE上，连接AE ， GC .（1）试猜想AE与GC有怎样的位置关系，并证明你的结论；（2） 将正方形D

8、EFG绕点D按顺时针方向旋转，使E点落在BC边上，如图2,连接AE和GC .你认为（1）中的结论是否还成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由4. 如图1， ABC的边BC在直线1 上, AC _ BC,且AC = BC,厶EFP的边FP也 在直线I上，边EF与边AC重合，且EF二FP（1） 在图1中，请你通过观察、测量，猜想并写出AB与AP所满足的数量关系和位置关系；（2） 将EFP沿直线I向左平移到图2的位置时，EP交AC于点Q,连接AP, BQ .猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想；（3） 将 EFP沿直线I向左平移到图3的位置时，EP的延长线交 AC的延

9、长 线于点Q,连结AP,BQ ,你认为（2）中所猜想的BQ与AP的数量关系和位置关系和位置 关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由完美.格式.编辑等腰三角形（中考重难点之一）考点1等腰三角形性质的应用1.如图， ABC 中，AB 二 AC，- BAC =90 ， d 是 BC 中点，ED _ FD，ED 与 AB 交于 E， FD 与 AC 交于 F .求证：BE = AF , AE =CF .2. 两个全等的含30 , 60角的三角板ADE和三角板ABC，如图所示放置，E,A,C三点在 一条直线上，连结 BD，取BD的中点M ,连结ME,MC .试判断EMC的形状，并说 明理由

10、.C压轴题拓展：（三线合一性质的应用）已知Rt.ABC中，AC =BC , C =90 , D为AB边的中点， EDF =90 , . EDF绕D点旋转，它的两边分别交 AC、CB （或它们的延长线） 于 E、F .1当.EDF绕D点旋转到DE _ AC于E时（如图1）,易证S def S cef =1 S abc .当.EF 绕 2D点旋转到DE和AC不垂直时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，SDEF , S.CEF，SABC又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明.CF B图2提示：此题为上面题目的综合应用，思路与第一题相似。3. 已知：如图，

11、 ABC中，/ AB(=45, CDLAB于 D, BE平分/ ABC 且 BE!AC于 E 与1CD相交于点F,H是BC边的中点，连结DH与 BE相交于点 GBF=AC(2) CE=BF(3) CE2与BC的大小关系如何。考点2:等腰直角三角形(45度的联想)1. 如图1,四边形ABCD是正方形，M是AB延长线上一点。直角三角尺的一条直角边经过点D,且直角顶点E在AB边上滑动(点 E不与点A, B重合)，另一条直角边与/ CBM 的平分线BF相交于点F.如图14 1,当点E在AB边的中点位置时： 通过测量DE EF的长度，猜想DE与EF满足的数量关系是 ; 连接点E与AD边的中点N,猜想NE

12、与BF满足的数量关系是 ; 请证明你的上述两猜想. 如图142,当点E在AB边上的任意位置时，请你在AD边上找到一点 N,使得NE=BF进而猜想此时 DE与EF有怎样的数量关系并证明A E B MV1J 整理完美.格式.编辑发生改变.(本小题直接写出结论，不必证明)2. 在 Rt ABC中，AC= BC,Z ACB= 90, D是 AC 的中点，DGL AC交 AB于点 G.(1) 如图1, E为线段DC上任意一点，点 F在线段DG上，且DE=DF连结EF与CF,过点F作FH丄FC交直线 AB于点H. 求证：DG=DC 判断FH与FC的数量关系并加以证明.(2) 若E为线段DC的延长线上任意一

13、点，点 F在射线DG上, (1)中的其他条件不变， 借(1)中得出的结论是否助图2画出图形。在你所画图形中找出一对全等三角形，并判断你在专业.资料.整理同类变式：(期末考试原题哦)图1图2已知： ABC为等边三角形，M是BC延长线上一点，直角三角尺的一条直角边经过点A,且60o角的顶点E在BC上滑动，(点E不与点B C重合),斜边与/ ACM勺平分线CF交于点F(1) 如图(1)当点E在BC边得中点位置时 猜想AE与EF满足的数量关系是 连结点E与AE边得中点N,猜想EE和CF满足的数量关系是 . 请证明你的上述猜想;(2) 如图(2)当点E在EC边得任意位置时，AE和EF有怎样的数量关系，并

14、说明你的理由？图(2)图(1)四、角平分线问题1. 如图：E在线段 CD上，EA EB分别平分/ DAB和/ CBA, / AEB=90 ,设AD= X, BC= y ,且 x,y 满足 x2 y2 -6x-8y 25 =0(1 )求AD和 BC的长；(2)你认为AD和BC还有什么关系？并验证你的结论；(3) 你能求出AB的长度吗？若能，请写出推理过程；若不能，请说明理由FE与FD之间的数量关系；(1)中的其它条件不变，请问，你2. 如图，OP是/ MON勺平分线，请你利用该图形画一对以 OP所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题:,AD CE分别是/ BA

15、C / BCA的(1) 如图，在 ABC中，/ ACB是直角，/ B=60平分线，AD CE相交于点F。请你判断并写出(2)如图，在 ABC中，如果/ ACB不是直角，而3. (北京市中考模拟题)如图，在四边形 ABCD中，AC平分 BAD，过C作CE _ AB于E ,1并且AE (AB AD)，则 ABC ADC等于多少？4.如图， ABC中，AD平分/ BAC，DGL BC且平分（1）说明BE=CF的理由；（2）如果AB=a , AC=b ,五、中点问题1.在厶ABC中，D为BC的中点,过D点的直线BC, DEL AB于 E,求AE、BE的长.GF交AC于F ,BG于点G。 DE _ GF

16、 ,并交AB于点E.连结EG .（1）求证：BG =CF ；（2）请猜想BE CF与EF的大小关系，并加以证明2.3.DF丄 AC于 F.F交AC的平行线如右下图，在 UABC中，若.B =2. C，AD _BC， E为BC边的中点.求证:AB=2DE .已知.ABC中，AB二AC , BD为AB的延长线，且的中线求证CD =2CE （提示：倍长中线试试）BD =AB , CE 为:ABC 的 AB 边上以. ：ABC的两边 AB、AC附加思考题：（此题有很好地思维训练价值，值得深入思考探究）为腰分别向外作等腰 Rt.lABD和等腰Rt.lACE , . BAD =. CAE =90 .连接D

17、E , M、N分 别是BC、DE的中点探究：AM与DE的位置关系及数量关系.如图 当 ABC为直角三角形时，AM与DE的位置关系是 ;线段AM与DE的数量关系是;将图中的等腰 RLABD绕点A沿逆时针方向旋转 二(0 u :：: 90 )后，如图所示，问 中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由.图E图1判断与说理EC DB分别平分/ AED(1)如图 11- 1 , ADE中，AE=AD且/AEDM ADE / EAD=90 , /ADE交AD AE于点C、B,连接BC.请你判断AB AC是否相等，并说明理由;(2) ADE的位置保持不变，将 ABC绕点A逆时针旋转至图11-2的位置，AD

18、BE相交于O,请你判断线段 BE与CD的关系，并说明理由.2 某课外学习小组在一次学习研讨中，得到如下两个命题: 如图12-1，在正三角形 ABC中，M N分别是 AC AB上的 点，BMW CN相交于点 O,若/ BON = 60。，贝U BM = CN. 如图12-2 ,在正方形 ABCD中, M N分别是CD AD上的点， BM与 CN相交于点 O 若/ BON= 90。，贝U BM = CN.学习小组成员根据上述两个命题运用类比.的思想又提出了如 下的命题：图 12 3图 12 4 如图12-3，在正五边形 ABCDE中, M N分别是 CD DE上的点，BM与 CN相交于点 0,若/

19、 BON= 108。，贝U BM = CN.(友情提示：正多边形的各边相等且各内角也相等)(1 )请你从、三个命题中选择一个.说明理由;(2) 请你继续完成下面的探索： 如图12-4，在正n边形(n6)中，M N分别是CD DE上的点，BM与 CN相交于 点0,问当/ B0N等于多少度时，结论 BM = CN成立？(不要求证明) 如图12-5，在正五边形 ABCDE中, M N分别是DE、AE上的点，BM与 CN相交于点 0,当/ B0N= 108时，请问结论 BM= CN是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立， 请说明理由.解：(1)我选.(仅填写、中的一个)理由如下：(2)图 12 5图

20、94.如下几个图形是五角星和它的变形.(1)图 中是一个五角星形状，求/A+Z B+Z C+Z D+Z E=3. 如图9所示， ABC是等腰直角三角形，/ ACB= 90, AD是BC边上的中线，过 C作AD 的垂线，交AB于点E,交AD于点F。请你猜想/ ADC和/ BDE关系，并证明你的猜想。(2)图中的点 A向下移到 BE上时(如图)五个角的和(即ZCAD+Z B+Z C+Z D+Z E)有 无变化？说明你的结论的正确性；(3) 把图中的点 C向上移动到 BD上时(如图)，五个角的和(即Z CAD+Z B+Z ACE+Z D+ Z E)有无变化？说明你的结论的正确性.(4) 如图，在 A

21、BC中，CD BE分别是AB AC边上的中线，延长 CD到F,使FD=CD 延长BE到G,使EG=BE那么AF与AG是否相等？ F、A G三点是否在一条直线上？说说你 的理由.5、操作实验:图（1）图（2）图（3）如图，把等腰三角形沿顶角平分线对折并展开，发现被折痕分成的两个三角形成轴对称.所以 ABDA ACD 所以/ B=Z C.图归纳结论：如果一个三角形有两条边相等，那么这两条边所对的角也相等.根据上述内容，回答下列问题：思考验证：如图（4）,在厶ABC中，AB=AC试说明/ B=ZC的理由.探究应用：如图（5）, CBL AB 垂足为 A, DAL AB 垂足为B. E为AB的中点，A

22、B=BC CEL BD图（5）（1）BE与AD是否相等？为什么？（2）小明认为 AC是线段DE的垂直平分线，你认为对吗？说说你的理由。（3）/ DBC与/ DCB相等吗？试说明理由.6.如图13-1，在边长为5的正方形ABCD中，点E、F分别是BC、DC边上的点，且AE _ EF , BE =2.（1 ）求EC : CF的值；（2）延长EF交正方形外角平分线 CP于点P （如图13-2 ），试判断AE与EP的大小关系, 并说明理由;（3）在图13-2的AB边上是否存在一点 M，使得四边形 DMEP是平行四边形？若存在, 请给予证明；若不存在，请说明理由.图 13-1图 13-2“CD7.团体购

23、买某 “素质拓展训练营”的门票，票价如表（a为正整数）团体购票人数15051 100100以上每人门票价a元(a-3 )元(a_6)元某中学高一（1 ）、高一（2）班同学准备参加“素质拓展训练营”活动，其中高一（1）班人数不超过50,高一（2）的人数超过 50但不超过80。当a=48时，若两班分别购 票，两班总计应付门票费 4914元；若合在一起作为一个团体购票， 总计支付门票费4452 元。问这两个班级各有多少人？某校学生会现有资金 4429元用于购票，打算组织本校初三年级团员参加该项活动。为了让更多的人能参加活动，学生会统一组织购票，购票资金恰好全部用完，且参加人数超过了 100人，问共有

24、多少人参加了这一活动？并求出此时a的值。8. 如下图，在 ABC中，AD平分/ BAC AB+BD=AC则/ B：/C的值为9. 如左下图，AB/ CD AD/ BC OE=OF则图中全等三角形的组数是A. 3B. 4C. 5D. 610. 两个全等的含30： 60 0角的三角板ADE和三角板ABC如图所示放置，E,A,C三点在一条直线上，连结 BD取BD的中点连结 ME MC试判断 EMC的形状, 并说明理由.完美.格式.编辑11、(1)不用量角器，只利用刻度尺就能画出一个角的平分线，下面是小明的画法，你认为他的画法对吗？ 请你按照小明的画法，画出图形，说明理由。利用刻度尺在/ AOB的两边

25、上分别取OC= OD连结CD利用刻度尺画出 CD的中点E画射线OE射线OE即为/ AOB 的角平分线。(2)请你探索只利用你的三角尺(可以量长度、.画直角)画出一个角的平分线的画法。(要求：画出图形；简要说明画法；说明理由。)12. (1)如图(1),正方形 ABCD中, E为边CD上一点，连结 AE过点A 作AF丄AE交CB 的延长线于F,猜想AE与AF的数量关系，并说明理由；(2) 如图(2),在(1 )的条件下，连结 AC,过点A作AM丄AC交CB的延长线于 M,观察 并猜想CE与 MF的数量关系(不必说明理由);(3) 解决问题： 王师傅有一块如图所示的板材余料，其中Z A= Z C=

26、90, AB=AD王师傅想切一刀后把它拼成正方形请你帮王师傅在图(3)中画出剪拼的示意图； 王师傅现有两块同样大小的该余料，能否在每块上各切一刀，然后拼成一个大的正方形 呢？若能，请你画出剪拼的示意图；若不能，简要说明理由.专业.资料.整理13. 下图是按一定规律排列的方程组集合和它解的集合的对应关系图，若方程组集合中的方 程组自左至右依次记作方程组1、方程组2、方程组3、方程组n.(1) 将方程组1的解填入图中；(2) 请依据方程组和它的解变化的规律，将方程组n和它的解直接填入集合图中；x+nv=1x = 10(3) 若方程组丿 7的解是丿，求m n的值，并判断该方程组是否符合(2)xmy

27、= 16y = -9中的规律？14. 某工厂用如图甲所示的长方形和正方形纸板，做成如图乙所示的竖式与横式两种无盖 的长方体纸盒.(长方形的宽与正方形的边长相等 )(1)现有正方形纸板50张，长方形纸板I 00张，若要做竖式纸盒x个，横式纸盒備式城盒个)y正方旳纸板张)3工根据题意，完成以下表格:图甲张式纸盒橫式址盒若纸板全部用完，求 x、y的值；(2)若有正方形纸板80张，长方形纸板a张，做成上述两种纸盒，纸板恰好全部用完已 知162n 172,求 n 的值.15. (1)如图1,图2，图3,在 ABC中，分别以AB, AC为边，向 ABC外作正三角形，正四边形，正五边形，BE, CD相交于点

28、O .(说明：每条边都相等，每个角都相等的多边形叫做正多边形)如图1，求证： ABE ADC ；s K2 C E 183(；如图3,乙BOC二探究：如图 1 , - BOC二；如图2, BOC =（2）如图4，已知：AB, AD是以AB为边向 ABC外所作正n边形的一组邻边； AC, AE是以AC为边向 ABC外所作正n边形的一组邻边.BE, CD的延长相交于点 O .猜想：如图4, . BOC二 （用含n的式子表示）：根据图4证明你的猜想.16按照指定要求画图（1）如下图1所示，黑粗线把一个由18个小正方形组成的图形分割成 两个全等图形，请在图2中，仿图1沿着虚线用四种不同的画法， 把每图形

29、分割成两个全等 图形.16个小正方形组成的图形,（2）请将下面由用两种不同的画法沿正方形的网格线用粗线把它分割成两个全等图形17. 用两个全等的等边三角形 ABC和AACD拼成四边形ABCD把一个含60角的三角尺与 这个四边形叠合，使三角尺的60角的顶点与点 A重合，两边分别与 AB AC重合，将三角尺绕点A按逆时针方向旋转。（1）当三角尺的两边分别与四边形的两边BC CD相交于点E、F时（如图a）,通过观察或测量 BE、CF的长度，你能得出什么结论？并说明理由；（2）当三角尺的两边分别与四边形的两边BG CD的延长线相交于点 E、F时（如图b）,你在（1）中得到的结论还成立吗？简要说明理由。

30、（本题12分）A18. 如图，在下列网格中， ABC和DEF全等，且DE与AB是对应线段，则符合条件的 F 点的个数为（）.A.1个B.2个C. 3个D.4个（本题満分8分）如图，已包梯形/ECQ中，ABCD=O厘米.恥=8厘米，ZS=ZC. 点EAB的申点点P在经段上由0点向C点运动同时，点0在上由（?点向 点运动* 若点F与Q都以2厘米/秒的相同速度运动，经过1. 5秒后.胡虫与Q0P長否全等？请 说明理由 若点P的遠度为3屋米F秒*当点。的运动速度为多少时*能够使AEPE与（?全等？DB p C19、已知：如图所示，在 ABC 和厶 ADE 中，AB =AC , AD =AE，/ BAC

31、=/ DAE=a,且点B, A, D在一条直线上，连接 BE, CD, M, N分别为BE, CD的中点.（1）求证：BE 二 CD ；（2）在图的基础上，将 ADE绕点A按顺时针方向旋转180，其他条件不变，得到图所示的图形请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立;（3）在旋转的过程中，若直线 BE与CD相交于点P,试探究/ 由。（结果用含a的代数式表示）APB与/ MAN的关系，并说明理ME图CA完美.格式.编辑27. （本題淆分 10 分）在中，AB=ACt ABCACB.点 D 是fiSE fiC一点不与 B. Q重合）*以兄D为一边在*0的右侧作ZDE*使AEAD. ZDAE ZBA

32、C.连ft C.设 ZBAC= a ZJC= B 1）如图，当点0在线段FC上时， 如果 ZB JflijZJC= | 如果 Z册U=I- 忖 Ij E -D :二广亠L111411C-（2）当点D在直鏡上移动时.则口、B之鳳有怎样的敬董黄蠶？谓在冬用图上両出图形井 直接写出你的结论.21. 如右图所示，方格纸中有A B、C、D E五个格点（图中的每一个方格均表示边长为1个单位的正方形），以其中的任意3个点为顶点，画出所有的三角形，数一下，共构成个三角形，其中有 对全等三角形，它们分别请选取一对非直角全等三角形，说明全等的理由.22. 已知/ AOB=90,在/ AOB的平分线OM上有一点C,

33、将一个三角板的直角顶点与 C重合, 它的两条直角边分别与 OA OB（或它们的反向延长线）相交于点D E.当三角板绕点 C旋转到CD与 OA垂直时（如图1），易证：CD=CE当三角板绕点 C旋转到CD与 OA不垂直时，在图2、图3这两种情况下，上述结论是否 还成立？若成立，请给予证明；若不成立，请写出你的猜想，不需证明.23. 如图， DACD EBC均是等边三角形， 专业.资料.整理完美.格式.编辑N,有如下结论： ACEA DCB CMk CN;EM= BN 其中，正确结论的个数是( )A. 3个 B . 2个 C . 1个 D . 0个24. 锐角为45的直角三角形的两直角边长也相等，这样的三角形称为等腰直角三角形.我们常用的三角板中有一块就是这样的三角形， 也可称它为等腰直角三角板. 把两块全等 的等腰直角三角板按如图 1放置，其中边 BC FP均在直线I上，边EF与边AC重合.将厶EFP沿直线I向左平移到图2的位置时，EP交AC于点Q连结AP, BQ猜想并写 出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想；(2)将厶EFP沿直线I向左平移到图3的位置时，E