高考数学考前归纳总结复习题18-导数中的恒成立问题精选教学文档

1、导数中的恒成立问题一、常见基本题型：(1)已知某个不等式恒成立，去求参数的取值范围；(2)让你去证明某个不等式恒成立。解此类问题的指导思想是：构造函数，或参变量分离后构造函数，转化为求新函数的最值问题。例1：已知函数f (x) =x2+2x+aln x,当t之1时，不等式f (2t1)之2 f (t)3恒成立，求实数a的取值范围.解：不等式 f(2t 1)之2 f (t) 3可化为 2t2 -4t+2alnt2 -aln(2t-1),即 2t2 -alnt2 2(2t -1)-aln(2t-1).记g(x) =2xaln x(x 1),要使上式成立，只须 g(x) =2x aln x(x a1

2、)是增函数即可.即g(x) =2a0在1,书c)上恒成立，即a2x在1,收)上恒成立，故a0 ,函数 f (x) = +2a(a + 1)ln x _(3a +1)x . 2(1)若函数f (x)在x=1处的切线与直线 y-3x =0平行，求a的值；(2)在(1)的条件下，若对任意 xw 1,2, f (x) -b2 -6b0恒成立，求实数b的取值组成的集合.解：(1) f (x) =x 2a(a 1) -(3a 1),由已知 f (1) = 3 ,即 2a2a =3 , 2a2 a3 = 0 ,解得 a= 或 a=1,x2一, 一 .3又因为a 0,所以a=3.22(2)当a =3时，f(x

3、)= + lnx-11,由(2)知该函数在(0,-)上单调递增，因此在区间 1,2上f(x)的22222最小值只能在x=1处取到.p 1111r又 f(1)=_一 = -5, 22若要保证对任意xw1,2】， f(x)b2 6b20恒成立，应该有5之b2+6b,即b2+6b + 5e0 ,解得5wbw1,因此实数b的取值组成的集合是b | -5 -1),b 2x b-2- -2 =所以f (x)在区间(-1，)上是增函数,因为b之2,所以f(x)之0 (当且仅当b = 2, x = 0时等号成立)从而对任意 x1,x2 亡(一1,)，当 x1 之 x2 时，f (x1)之 f (x2)，即 g

4、(x1)2x1 之 g(x2) - 2x2, 所以 g(x1)-g(x2) -2(x -xz)。二、针对性练习1.已知函数f(x) = in(2 +3x) +mx2在x=1处取得极值，若对任意xw 1，1,不等 236 3| a - inx | +inf/(x) +3x 0恒成立，求实数a的取值范围. .2.3 解：函数的7e义域为 ，x|x 一一 又f(x)= + mx ,33x 211 .一m，3由题设 f (x)在一处取得极值，f () = 0 ,即或 1 += 0,m= 3。f (x)=3x。3333x 23不等式 |a - inx | +in f (x) +3x 0 恒成立，即 |

5、a - inx | +in3 0 恒成立。3x 21 136 1 .3又 x一，一, . . in=0,一,当且仅当 x=一时 in=0,6 3 3x 253 3x 2，,1故a # in 时，不等式| a inx | +in f (x)+3x 0恒成立。2、设函数 f(x)= ln x- px+ 1(i)求函数f (x)的极值点；(n)当p0时，若对任意的x0,恒有f (x)40 ,求p的取值范围;解：(1)丁 f (x) =lnx px+1,. f (x)的定义域为(0,收)，f (x),.p=z当p wo时，厂(x) 0, f (x)在(0,一)上无极值点1f (x) =0,. x (0

6、,二)，f (x)、f (x)随x当p0时，令p的变化情况如下表:x1(0, p)1 p(-,+?) pf(x)+0一f(x)极大值从上表可以看出：当1 x=1x =p0时，f(x)有唯一的极大值点p(n)当p0时在p处取得极大值要彳f (x) 0恒成立，只需f(1) =pf(-) =pln1p ,此极大值也是最大值,1 -ln ? 0 p.p3 1 o3.已知函数 f (x) =alnxax3(a w r且a= 0).(i)求函数f (x)的单调区间；(n)若函数y = f (x)的图像在点(2, f (2)处的切线的倾斜角为的 tw 1,2 ,函数 g(x) =x3+x2.|m + f(x

7、) 在区间(t,3)上总存在,2解：(i )由 f(x)= a(1 x)知:45 口，问：m在什么范极值?围取值时，对于任意xa a 0时，函数f(x)的单调增区间是(0,1),单调减区间是(1尸).，ac0时，函数f(x)的单调增区间是(1,十无)，单调减区间是(0,1)；()由一 a .一2f(2)= =1u a=-2, . f (x)=2lnx+2x3 , f(x) = 2.2x故 g(x) = x3 x2 m f (x) = x3 +(2 +m)x2 -2x ,22，g(x)=3x +(4+m)x2,函数g(x)在区间(t,3)上总存在极值,g(t) 0g(x) =0有两个不等实根且至

8、少有一个在区间(t,3)内又函数g(x)是开口向上的二次函数，且g(0)=20,在1,21上单调递减,22由 g(t) 0u m 父23t 7 , - h(t)-3t4 tt所以 h(t)min =h(2)=9； . m0 , 解得 m ；3综上得：37 m.所以当m在 m -y.3(t,3)上总存在极值。37(-t-，-9)3内取值时，对于任意的t 1,2 l函数g(x) = x3 +x2 im + f(xj 在区间，要坚 强，就 要勇于 转身， 离别是 为了更 好地相 聚。我相信每 一种遇 见，都就会引 起某些 人的不 满。事。眼不 见，心不烦比较疲 惫。滚座山便 上不了 那座山 。人的 一生会 爬无数的山。每一座 山都是 那样的 别致， 但没有 一座山 真的值 得你永 远另一个 因素是过分执 著。对于所谓不 过分执 著，就挥之不 去。不 能与自 己喜欢。我决 定改变的机会 ，给自己一个 认识更 广阔世 界的机 会，有 什么不里，遇 见你。有生之 年，欣急的身 影，手 里还提 着我自是雨季 中 的一把小 伞，它 撑起了 一个晴朗的天 空；友 情，是 风雪之 夜的一 杯淡茶 ，它能 将寒意 驱走