竖直平面地圆周运动与能量综合题含问题详解

1、竖直平面内的圆周运动和能量综合题1如图，固定于小车上的支架上用细线悬挂一小球线长为L.小车以速度 V)做匀速直线运动，当小车突然碰到障障碍物而停止运动时小球上升的高度的可能值是.()2A.等于Vo2g2B.小于VoC.2g2 大于Vo 2gD等于2L2、长为L的轻绳的一端固定在0点，另一端拴一个质量为m的小球，先令小球以0为圆心,在竖直平面内做圆周运动，小球能通过最高点，如图则()A.小球通过最高点时速度可能为零B. 小球通过最高点时所受轻绳的拉力可能为零；.okC. 小球通过最低点时速度大小可能等于2jgL/D. 小球通过最低点时所受轻绳的拉力一定不小于6mgR的四分之一光滑圆弧轨3、如图所

2、示，0点离地面高度为 H以0点为圆心，制作一半径为 道，小球从与 0点等高的圆弧最高点滚下后水平抛出，试求：小球落地点到 0点的水平距离S;要使这一距离最大，R应满足什么条件？最大距离为多少？(2) R= 2时，s最大,最大水平距离为Smax=H解析:(1 )小球在圆弧上滑下过程中受重力和轨道弹力作用, 可求得小球平抛的初速度 V0.但轨道弹力不做功，即只有重力做功，机械能守恒,根据机械能守恒定律得设水平距离为S，根据平抛运动规律可得1=2)（2）因H为定值，则当R=H-R即R=2时，s最大,最大水平距离为4、（10分）如图7所示，质量m=2kg的小球，从距地面 h=3.5m处的光滑斜轨道上由

3、静止开 始下滑，与斜轨道相接的是半径R=1 m的光滑圆轨道，如图所示，图7试求：（1）小球滑至圆环顶点时对环的压力；（2 ）小球应从多高范围内由静止滑下才能使小球不脱离圆环。2（g = 10m/ s ）（1） 40N（2） h 2.5m 或 h fl 4 I ! d -i ria -fe 4- l 升的為 jQ if S 4.2/tl f+m fifty(/pi厮口帀块能高开梢门的次豔为盲伙1以上齐加+用耳它方注球得诂果.合理的给问强的井爼18.某兴趣小组设计了如图所示的玩具轨道，它由细圆管弯成，固定在竖直平面内。 左右两侧的斜直管道 PA与PB的倾角、高度完全相同，粗糙程度均匀且完全相同，管

4、口A、B两处均用很小的光滑小圆弧管连接(管口处切线竖直)，管口到底端的高度 H=0.4m。中间“8”字型光滑细管道的圆半径R=10cm(圆半径比细管的内径大得多)，并与两斜直管道的底端平滑连接。一质量n=0.5kg的小滑块从管口 A的正上方H2=5m处自由下落,第一次到达最低点 P的速度大小为10m/s。此后小滑块经“ 8”字型和PB管道运动到B处竖直向上飞出，然后又再次落回，如此反复。小滑块视为质点,时因碰撞造成的能量损失，不计空气阻力，g取10m/s2。(1 )求滑块第一次由 A滑到P的过程中，克服摩擦力做的功；(2) 求滑块第一次到达“ 8”字型管道顶端时对管道的作用力；(3) 求滑块能

5、冲出两槽口的总次数；(4) 若仅将“8”字型管道半径变到 30cm能从B 口出来几次？ 从A、B 口出来的总次数是几次？忽略小滑块进入管口(1)滑块第一次滑到P的速度计为由A滑到P的过程中克服摩擦力做功计为1 2my2 1mg(H1 H2) -W118. ( 12 分)W=2J(2)滑块第一次滑到顶端的速度计为V212 12 mv2mv14mgR2 21Fn =455N,滑块管道对的弹力大小为455N,方向向上分1(3)滑块第一次由 A到B克服摩擦力做的功 W=2W=4J 1分二 mgH2W2= 6.251所以滑块能离开槽口的次数为6次分(4)要想达到“ 8”字型管道最高点，在P点的动能临界值

6、为 E临=4mgR=6J滑块具有的初始能量mg(H+H0=27J第6次经过P处(Vp向右)的动能Ek6=27-11W=5J，由于5JmgH+W = 2+2=4J，还能第4次从B冲出。第4次从B冲出再回到P处(Vp向右)的动能为1J，再无法冲出 所以，冲出B 口的次数为4次，1 分冲出A 口的次数为2次，1 分冲出的总次数为 6次。1 分9、( 20分)如图所示的“ S”形玩具轨道，该轨道是用内壁光滑的薄壁细圆管弯成，放置在 竖直平面内，轨道弯曲部分是由两个半径相等的半圆对接而成，圆半径比细管内径大得多，轨道底端与水平地面相切，轨道在水平面上不可移动。弹射装置将一个 小球(可视为质点)从 a点水

7、平弹射向b点并进入轨道，经过轨道后从最高 点d水平抛出。已知小球与地面 ab段间的动摩擦因数 口 =0.2，不计其它机械能损失，ab段长L=l.25m，圆的半径R=0.1m,小球质量m=0.01kg，轨道质量2为 M=0.26kg , g=10m/s，求：(1) 要使小球从d点抛出后不碰轨道，小球的初速度V。需满足什么条件？(2) 设小球进入轨道之前，轨道对地面的压力大小等于轨道自身的重力，当Vo至少为多少时，小球经过两半圆的对接处c点时，轨道对地面的压力为零。9. (20 分)(1)设小球到达d点处速度为vd,由动能定理，得_mgL4mgR =1 mvd2 _丄 mv022 2如小球由d点做

8、平抛运动刚好经过图中的 O点，则有1 23Rgt2 2R 二Vdt 联立并代入数值得13.1m/s小球的初速度V0需满足v0(2)设小球到达c点处速度为1- mgL -mg2Rmvcmv2 2由牛顿第二定律得.13.1m/ s Vc,由动能定理，得一 2 1 20 (1)(3 )(4)5)6)当小球通过c点时，2vcN mg = mR要使轨道对地面的压力为零，则有N =Mg 联立并代入数值，解得小球的最小速度V0=6 m/s (3)小球能通过d点，需满足vd -0，由动能定理1 2-mgL-4mgR = 0mv0 28)9)(3) 若V0=3m/s，小球最终停在何处？得：v0 二 13m/s1

9、1)因v0 =3m/ s ：、13m/s，小球过不了 d点而沿轨道原路返回对整个过程由动能定理，有IIc 1212)13)14)-mgx =0 mv0得 x= 2.25m（小球最终停在 a右侧0.25m处 （它由水平轨道和在竖直B C间距与C D间的小球（视为质点），从轨道的左侧 A L1=6.0 m小球与水平轨道间的动摩擦 圆形轨道间不相互重叠。重力加速评分标准：共20分，其中（1） （6）各3分（7） （ 12）各2分，其余各1分。21、过山车是游乐场中常见的设施。下图是一种过山车的简易模型，平面内的三个圆形轨道组成，B C D分别是三个圆形轨道的最低点，距相等，半径 R=2.0m、Ra=

10、1.4m。一个质量为 m=1.0kg点以v=12.0m/s的初速度沿轨道向右运动，A B间距因数口 =0.2，圆形轨道是光滑的。假设水平轨道足够长，2度取g=10m/s，计算结果保留小数点后一位数字。试求（1）小球在经过第一个圆形轨道的最高点时，轨道对小球作用力的大小；（2） 如果小球恰能通过第二圆形轨道，B、C间距L应是多少；A的距离。（3）在满足（2）的条件下，如果要使小球不能脱离轨道，在第三个圆形轨道的设计中, 半径F3应满足的条件；小球最终停留点与起点第一圈轨道L1G第二圈轨道第三圈轨道D 工-121 答案：（1）10.0N ；（ 2）12.5m（3）当 0：R3_0.4m 时， L=

11、36.0m ；当1.0m 乞 & 乞 27.9 m 时，L = 26.0m解析：（1）设小于经过第一个圆轨道的最高点时的速度为V1根据动能定理1 2 1 2 -tlmgL2mgR1mwmv02 2小球在最高点受到重力 mg和轨道对它的作用力 F,根据牛顿第二定律2ViF mg = m&由得F =10.0N（2）设小球在第二个圆轨道的最高点的速度为V2,由题意-Jmg L, L - 2mgR21 2 1 2 mv2 mv0 2 2由得L =12.5m（3）要保证小球不脱离轨道，可分两种情况进行讨论：I 轨道半径较小时，小球恰能通过第三个圆轨道，设在最高点的速度为V3,应满足2v mg = mR3

12、-mg Li 2L _2mgR32mv3 -2mV0由得R3 =04mII .轨道半径较大时，小球上升的最大高度为F3,根据动能定理mg L1 2L 2mgR3 = 0 一扌 mv：解得r3 = 1.0 m为了保证圆轨道不重叠，R最大值应满足(R2 +R3 j = L2 +(R3-R2 丫解得R=27.9m综合I、II，要使小球不脱离轨道，则第三个圆轨道的半径须满足下面的条件0 : R3 -0.4m1.0 m 乞 R3 乞 27.9m当0 R3 0.4m时，小球最终焦停留点与起始点A的距离为L,则-mgL = 0 _1 mlL= 36.0m当hOm乞只3乞27.9m时，小球最终焦停留点与起始点

13、A的距离为L，则L =L -2 L 7 -2L = 26.0m22、倾角为37的光滑导轨，顶端高H=1.45m,下端通过一小段光滑圆弧与薄壁细管做成的 玩具轨道相接于最低端B玩具轨道由间距为X0=1m的若干个相同圆环组成，圆环半径R=0.5m，整个玩具轨道固定在竖直平面内。第一个圆环记作0号，第二个圆环记作1号，其余依次类推，如图所示。一质量m=0.5kg的小球在倾斜导轨顶端 A以v= 2m/s速度水平发射，在落到倾斜导轨上P点后即沿轨道运动(P点在图中未画出)。假设小球落到轨道时平行轨道方向速度不变，玩具轨道圆环部分内壁光滑，水平段的动摩擦因数口 = 0.2，取g =210m/s，求：(1

14、)小球落到倾斜导轨上的P点位置和开始沿倾斜导轨运动的速度大小VP?(2)小球最终停在什么位置？22.解（1）小球从A做平抛运动，经过时间t落到倾斜导轨上的 P点，水平位移X,竖直位 移y，有X =Vot（ 1）八2打 （2）tan 37 = = （ 3）x 4Vy 二 gt（ 4）vP =v0cos37vy sin 37（ 5）由上述式子得t = 3V0 = 0.3s2gx=0.6m 或 y = 0.45mP点位置，即距抛出点l =0.75m（ 6）vP =1.7v0 =3.4m/s（ 7）（2 ）设小球到B点的动能为 压b，从P到B机械能守恒，有1 2EkBmvP mg（H 一 y） = 0

15、.5* 0.5*10*1 = 7.89J（ 9）设小球射入某一圆环低端时动能为压0,则要使小球能通过圆环，必须有Eko 二 mg2R =0.5*10* 2* 0.5 =5J（ 10）小球每次通过水平段轨道时克服摩擦力做功W,有Jmgx0 =0.2* 0.5* 10* 1 = 1J（ 11）设小球通过N号圆环后，剩余能量为 En,共克服水平段轨道摩擦力做功 n*1J，当其能量E 大于1J且小于5J时，就只能到达 N+1号圆环，但不能通过该圆环，它将在 N号圆环与N+1 号圆环间来回运动有 EkB - n 2.89（ 13）即当小球通过2号圆环后就不能通过 3号圆环，只能在2号、3号圆环间来回运动

16、（14）小球刚通过2号圆环时具有的能量曰=7.89-3=4.89J（ 15）曰=口 mgx 即 x=4.89m（16）所以，最终小球将停在 2、3号圆环之间，离2号圆环底端0.11m位置（17）说明：共18分，其中（17）式2分，其余每式1分，即完成（14）式得14分，其余类推。10、如图所示，在同一竖直平面内有两个正对着的相同半圆光滑轨道，相隔一定的距离， 虚线沿竖直方向，一小球能在其间运动。今在最高点A与最低点B各放一个压力传感器,测量小球对轨道的压力，并通过计算机显示出来。当轨道距离变化时，测得两点压力差与 距离x的关系如图所示，g取10 m/s 2，不计空气阻力，求：（1）小球的质量为

17、多少？（2）若小球在最低点 B的速度为20 m/s，为使小球能沿轨道运动，x的最大值为多少?对B点:Fn1 -mg =m2VbR(2)对A点:Fn2 mg2vA二 m一R由（ 1）（ 2）（ 3）式得:两点压力差：FN =Fn1 -Fn2 =6mg 2mgxR(4)由图象得：截距 6mg -3得m = 0.05kg（ 5）（2）因为图线的斜率k二如=1得R=1m （6）（ 3分）R在A点不脱离的条件为：VA_Rg （7）（ 2分）由（1） （5） （ 6） （7）式得：x=17.5m （ 8）（ 2分）11.（ 20分）如图所示，ABCD是处于竖直平面内的光滑轨道，AB是半径为R=15m的丄4

18、圆周轨道，CDO1直径为15m的半圆轨道。AB轨道和CDO 轨道通过极短的水平轨道（长度忽略不计）平滑连接。半径OA处于水平位置，直径 OC处于竖直位置。一个小球 P从A 点的正上方高 H处自由落下，从 A点进入竖直平面内的轨道 运动（小球经过A点时无机械能损失）。当小球通过CDO轨23道最低点C时对轨道的压力等于其重力的 23倍，取g为310m/s2。11.试求高度H的大小；试讨论此球能否到达 CD蹴道的最高点0,并说明理由; 求小球沿轨道运动后再次落回轨道上时的速度大小。P .解:（1 ）在C点对轨道的压力等于重力的2323倍，由牛顿第三定律得，在3C点轨道对小球的支持力大小为23mg32

19、 分。(2)设小球过C点速度vi23mmm2JV_R 2到C过程，由机械能守恒：R、12（H）mv1 2 2H =10m 2O点，由P到O,机械能守恒,1 2=2 m V2V2mg解得:设小球能到达分到 O点的速度V2：mgH设小球能到达轨道的0点时的速度大小为 Vo,则mg = mR/2（20 分）V2 v 0 所以小球能够到达 O点。(3)小球在O点的速度V2 = . 2gH =4R =10 占m/s离开O点小球做平抛运动：水平方向：x =V2t 1 分1 2竖直方向：y = gt 1 分2且有：x2 * y2 二 R22 分解得：t =1s再次洛到轨道上的速度 V3 = V2亠i gt

20、= 10 13m /s2 分12如图3所示，AB是倾角为B的粗糙直轨道，BCD是光滑的圆弧轨道， AB恰好在B点与 圆弧相切，圆弧的半径为 R 个质量为 m的物体(可以看作质点)从直轨道上的P点由静止释放，结果它能在两轨道间做往返运动.已知P点与圆弧的圆心 O等高，物体与轨道AB间的动摩擦因数为 口 求：(1) 物体做往返运动的整个过程中在AB轨道上通过的总路程；(2) 最终当物体通过圆弧轨道最低点E时，对圆弧轨道的压力；(3) 为使物体能顺利到达圆弧轨道的最高点D释放点距B点的距离L应满足什么条 件.12解析:Fn mg=2动.R对整体过程由动能定理得：mgR- cos 0 口 mgpos

21、0 - s= 0,所以总路程为 s = 一(2)对E 过程 mgR( 1 - cos 0 )= ；mV由得对轨道压力：Fn=( 3 2cos 0 ) mg2mv(3)设物体刚好到 D点，贝U mg= R对全过程由动能定理得:, , 1 2 mgL sin 0- 口 mgpos 0 - L mgR( 1 + cos 0 )= -mD由得应满足条件：,3+ 2cos 0L =- R.2(sin 0 口 cos 0 ).R答案：(1)(2)3+ 2cos 0(3 2cos 0 ) mg(3)- R2(sin 0 口 cos 0 )13. (19分)如图(甲)所示，弯曲部分 AB和CD是两个半径相等的

22、四分之一圆弧，中间的BC段是竖直的薄壁细圆管(细圆管内径略大于小球的直径)，分别与上、下圆弧轨道相切连接，BC段的长度L可作伸缩调节。下圆弧轨道与地面相切，其中D A分别是上、下圆弧轨道的最高点与最低点，整个轨道固定在竖直平面内。一小球多次以某一速度从A点水平进入轨道而从 D点水平飞出。今在 A、D两点各放一个压力传感器，测试小球 对轨道A、D两点的压力，计算出压力差 AF。改变BC间距离L,重复上述实验，最后 绘得AF-L的图线如图(乙)所示。(不计一切摩擦阻力，g取10m/s2)(1) 某一次调节后 D点离地高度为0.8m。小球从D点飞出，落地点与 D点水平距离为2.4m,求小球过 D点时

23、速度大小。(2) 求小球的质量和弯曲圆弧轨道的半径大小。(甲)(乙)第24题图13.解:H d =1 小球在竖直方向做自由落体运动，2水平方向做匀速直线运动X二Vpt设轨道半径为r, A到D过程机械能守恒:1 2 1 2mvA =mvD +mg(2r +L)2 2在A点:Fa-mmVA：（2 分）（2 分）（1 分）（3分）（2 分）在D点:Fd mg（2 分）（2分）（2 分）（1 分）（2 分）由以上三式得：F =Fa Fd =6mg 2mgL r由图象纵截距得：6mg=12 得m=0.2kg由 L=0.5m 时 F=17N代入得：r=0.4m14. 如图15所示，水平桌面上有一轻弹簧，左

24、端固定在A点，弹簧处于自然状态时其右端位于B点.水平桌面右侧有一竖直放置的光滑圆弧形轨道MNP其半径R= 0.8 m , 0M为水平半径，ON为竖直半径，P点到桌面的竖直距离也是R,Z PON= 45第一次用质量 m= 1.1kg的物块（可视为质点）将弹簧缓慢压缩到 C点，释放后物块停在B点（B点为弹簧原长位置）, 第二次用同种材料、质量为0.1 kg的物块将弹簧也缓慢压缩到C点释放，物块过 B点后做匀减速直线运动，其位移与时间的关系为& 2t2 m，物块从桌面右边缘D点飞2离桌面后，由P点沿圆轨道切线落入圆轨道. （g = 10 m/s，不计空气阻力）求：（1）BC间的距离；（2）m2由B运

25、动到D所用时间；（3）物块m运动到M点时，m对轨道的压力.14、（1）由 x = 6t - 2t 知vb= 6 m/sa= 4 m/s 2（2 分）m在BD上运动时一mgma解得卩=0.4（1分）设弹簧长为AC时，弹簧的弹性势能为曰 m 释放时 Ep=u mgsBc（1 分）1 2m释放时 Ep=u nigsBc+（1 分）解得 sbc= 0.45 m设H2由D点抛出时速度为 VD,落到P点的竖直速度为Vy 在竖直方向 Vy2 = 2gR,解得 Vy=，；/2gR= 4 m/s(1分)(1Vy 在P点时tan 45 = Vd(1解得 vd= 4 m/s(1m由B到D所用的时间t =VD Vb=

26、0.5 s a(2(3)m2由P运动到M的过程,1 2qHvp + mg(R Rcos 45)由机械能守恒定律得1 2=qHWm + mgR(2在M点时，对m受力分析，由牛顿第二定律得2VMFn= hr解得 Fn= （4 2） N由牛顿第三定律知，小球对轨道的压力为（4 2） N15、（16）如图所示，质量为 m的小球用不可伸长的细线悬于(1（1分）0点，细线长为在0点正下方P处有一钉子，将小球拉至与悬点等高的位置无初速释放，小球刚好绕P处的钉子作圆周运动。那么钉子到悬点的距离0P等于多少？3L/516.如图所示，竖直平面内的3/4圆弧形光滑轨道半径为R, A端与圆心0等高，AD为水平面，B点

27、在0的正上方，一个小球在 A点正上方由静止释放，自由下落至A点进入圆轨道并恰能到达B点。求：释放点距 A点的竖直高度；落点 C与A点的水平距离。(3)小球落到C点的速度。316、( 1) h= R(2) S=(、2 - 1)R217 (18分)如图所示，四分之三周长圆管的半径R=0.4m，管口 B和圆心0在同一水平面上，D是圆管的最高点，其中半圆周BE段存在摩擦，BC和CE段动摩擦因数相同，ED段光滑；直径稍小于圆管内径、 质量mF0.5kg 的小球从距B正上方高H=2.5m处的A处自由下落，到达圆管最低点 C时 的速率为6m/s，并继续运动直到圆管的最高点D飞出，恰能再次进入圆管，假定小球再

28、次进入圆管时不计碰撞能量损失，取重力加速度2g=10m/s，求(1) 小球飞离D点时的速度(2) 小球从B点到D点过程中克服摩擦所做的功(3) 小球再次进入圆管后，能否越过C点？请分析说明理由17、解(1)小球飞离D点做平抛运动，有Xdb = R = vt(1)y=*gt2(2)由(1) (2)得 v 2m /s(3)(2 )设小球从代入计算得，(3 )设小球从B到D的过程中克服摩擦力做功1 2mvD = mg(H - R) _Wf1W=10J(5)C到D的过程中克服摩擦力做功W1,在A到D过程中根据动能定理，有(4)W2,根据动能定理，有代入计算得,1 2严-扌mvC mg2R -Wf2(6

29、)W=4.5J(7)小球从A到C的过程中，克服摩擦力做功W3,根据动能定理，有=mg(R H) - Wf3W3=5.5J小球再次从D到C的过程中，克服摩擦力做功W4,根据动能定理，有-mv222mvD二 mg2RWf4(8)Wf4 = 4.5J - mvC（ 9）2小球过BE段时摩擦力大小随速度减小而减小，摩擦力做功也随速度减小而减少。第二次通 过BC段与CE段有相等的路程，速度减小（10）所以W40,即小球能过 C点。18、某校物理兴趣小组决定举行遥控塞车比赛。比赛路径如图所示，赛车从起点A出发，沿水平直线轨道运动 L后，出B点进入半径为R的光滑竖直圆轨道，离开竖直圆轨道后继续在 光滑平直轨

30、道上运动到C点，并能越过壕沟。已知赛车质量m= 0.1kg，通电后以额定功率P = 1.5W工作，进入竖直圆轨道前受到的阻值为0.3N ,随后在运动中受到的阻力均可不计。图中L= 10.00m, R=0.32m, h = 1.25m,S = 1.50m。问：要使赛车完成比赛，电动机至少工作 多长时间？（取 g= 10 m/s 2）Bllgf hl18.解：从C平抛过壕沟，至少有 vc ,h = 1 gt22S = Vet得: Ve =3m/s则从圆轨道出来到 B位置速度至少为VB ,2aL =v； - vCf = ma得: vB 二仃m/s而能经过圆轨道最高点，设有v,进入圆轨道速度为 vB2

31、mvmg 二R1 2 1 .2-2mgR mv mvB2 2得：vB 二 4m / s可见进入圆轨道速度至少为17m/s根据动能定理：Pt fL = 1 mvB - 02得：t = 1.9s图919如图9所示，在圆柱形屋顶中心天花板上的0点，挂一根L= 3m的细绳，绳的下端挂一个质量为 m= 0.5kg的小球，已知绳能承受的最大拉力为 10N。小 球在水平面内做圆周运动，当速度逐渐增大到绳断裂后，小球以v= 9m/s的速度落在墙边。求这个圆柱形屋顶的高度 H和半径R （g取10m/s2）19.设绳与竖直方向夹角为B ,贝U cos 0 =mg =-,所以B =60,小球在绳断T 2时离地高度为

32、：h=H- Lcos 0小球做匀速圆周运动的半径为：r=Lsin 02F 向=m=mgan 0r联立式求得：H=3.3 m,平抛运动时间为：t = 2h =0.6 s,g水平距离为：s=vot = . 16.2 m,圆柱半径为：R= . s2r2 =4.8 m.20.如下图所示，一个质量为m的人，站在台秤上，手拿一个质量为m悬线长为R的小球，在竖直平面内做圆周运动，且摆球正好通过圆轨道最高点，求 台秤示数的变化范围。20.解：小球运动到最低点时，悬线对人的拉力最大，且方向竖直向下，故台秤 示数最大，由机械能守恒定律得：/2 /2 + 2mgR其中珂-丽由此得V由 Tmg = mtr /R得“他

33、所以台秤的最大示数为 f=(砒6m g当小球经过如下图所示的状态时,T+ Mgcosfl mir /R彳寻 T= 3mg( 1 - cosfl) 其芬力& =Tcdsfl二 3?ngcoit 亠 3mgoos2i?当e如打2即?=606时台秤的玳数最小此 时丁血=0, 75桝出战台稗的虽小示數F爲匸(M-75mg23.如图所示，滑块 A的质量n=O.O1kg，与水平地面间的动摩擦因数卩=0.2，用细线悬挂的小球质量均为n=O.O1kg，沿x轴排列，A与第一只小球及相邻两小球间距离均为s=2m线长分别为 Li、L2、Ls(图中只画出三只小球，且小球可视为质点).开始时，滑块以速度vo=10m/s

34、沿x轴正方向运动，设滑块与小球碰撞时不损失机械能，碰撞后小球均能在竖直平面内完成完整的圆周运动并再次与滑块正碰，g取10m/s2，求：(1) 滑块能与几个小球碰撞？(2) 求出碰撞中第n个小球悬线长Ln的表达式._vo(3) 滑块与第一个小球碰撞后瞬间，悬线对小球的拉力为多大？AOiLi占02L2AOsALs23解:(1)因滑块与小球质量相等且碰撞中机械能守恒，所以滑块与小球相碰撞会互换速度，小球在竖直平面内做圆周运动，机械能守恒，设滑块滑行总距离为So,有:-mgs0= 0mv22得 S0=25m(2(1(2分)(2)滑块与第n个小球碰撞,对小球由机械能守恒定律得设小球运动到最低点时速度为1

35、2 12：mvnmvn2 22mgLn小球恰好到达最高点，则2vnmg = mLn(2对滑块由动能定理得：-mgns 冷 mv；1mv02(2Vn(2由以上三式得：Ln2v0 _2gsn 50 - 4n5g25(2分)分)分)分)(3) 滑块做匀减速运动到第一个小球处与第一个小球碰前的速度为w，则有:II1212八-mgsmv1mv0(2分)2 2由于滑块与小球碰撞时不损失机械能，则碰撞前后动量守恒、动能相等，滑块与小球相互碰撞会互换速度，碰撞后瞬间小球的速度也为V1 ,此时小球受重力和绳子的拉力作用,由牛顿第二定律得2T mg 二 mVLi（2分）因为L1二50 - 4 1m2546m25由

36、以上三式得：T=0.6N25. (12分)一轻质细绳一端系一质量为(1分)(2分)1m kg的小球A,另一端挂在光滑水平轴20,O到小球的距离为 L=0.1m，小球跟水平面接触，但无相互作用，在球的两侧等距离处分别固定一个光滑的斜面和一个挡板，如图所示，水平距离s为2m,动摩擦因数为0.25 .现有一小滑块B,质量也为m,从斜面上滑下，与小球碰撞时交换速度，与挡板碰撞不损失机 械能.若不计空气阻力，并将滑块和小球都视为质点，g取10m/s2,试问：(1) 若滑块B从斜面某一高度h处滑下与小球第一次碰撞后，使小球恰好在竖直平面内做 圆周运动，求此高度 h.(2) 若滑块B从h=5m处滑下，求滑块

37、 B与小球第一次碰后瞬间绳子对小球的拉力.(3) 若滑块B从h=5m处下滑与小球碰撞后，小球在竖直平面内做圆周运动，求小球做完 整圆周运动的次数 n.v0，在最咼点，仅有重17. (1)小球刚能完成一次完整的圆周运动，它到最高点的速度为 力充当向心力，则有（2 分）在小球从h处运动到最高点的过程中，机械能守恒，则有.s 12mg(h-2L)-mgmv02 2解上式有h=0. 5m( 2分)(2) 若滑块从h=5m处下滑到将要与小球碰撞时速度为v1，则有小球以的速度开始作圆周运动，绳的拉力T和重mgh _mg = mv：2 2滑块与小球碰后的瞬间，同理滑块静止, （2 分）2mv1力的合力充当向

38、心力，则有Tmg二l解式得T=48N（2 分）(3) 滑块和小球第一次碰撞后，每在平面上经s路程后再次碰撞，则S 12mgh-mgmv0 -2mgl（2 分）221 _ nJmgs解得，n=10次(2分)27. 如图所示是放置在竖直平面内的游戏滑轨，有一质量m= 2 kg的小球穿在轨道上滑轨由四部分粗细均匀的滑杆组成；水平轨道AB;与水平面间的成夹角 v - 37且长L = 6m的倾BQED直轨道与圆弧斜直轨道CD半径R= 1 m的圆弧轨道 APC；半径R= 3 m的圆弧轨道轨道相切，切点分别为 A、B D C, E为最低点倾斜轨道 CD5与小球间的动摩擦因数，其余部分均为光滑轨道，取32g

39、= 10 m s2 , sin37 0 = 0.6 , cos37 =0.8 .现让小球从 AB的正中央以初速度 v0 = 10m s开始向左运动，问:(1) 第一次经过E处时，轨道对小球的作用力为多大(2) 小球第一次经过C点时的速度为多大？(3)小球在运动过程中，损失的机械能最多为多少26. （18 分）E点时，速度大小为1 2(1)设球第一次过1 2 mv0 mg2R2mvE -2 2在E点，根据牛顿第二定律，有2匚VeF -mg = m R2联立式，可解得：Ve，由机械能守恒定律，有:（2 分）轨道对小球的支持力为 F = 5mg2V。mR2500N（2 分）3(2)从E到C的过程中，

40、重力做功：-（2- mg cos37 L（1 分）Wg - -mg(Lsin37R2 - R2 cos37 )从D到C的过程中，滑动摩擦力做功 Wf设第一次到达 C点的速度大小为 vC，小球从E到C的过程中，由动能定理，有1 mvd -1 mvE =Wg +Wf (2 分)2 2由2 2式，可解得ve =11m/s(2 分)(3 )经过多次运动后，小球最终在E两侧的圆轨道上做来回的运动，在E点右侧，最高能到达D点。(2分)所以，小球在运动过程中，损失的机械能最多为1 2lEmv0 mg(R2 R2 cos37 ) = 208J(4 分)28. (18分)在半径为R=5000km某星球表面，宇航员做了如下实验，实验装置如图甲所示，竖直平面内的光滑轨道由斜轨道AB和圆弧轨道BC组成，将质量 m=0.2kg的小球，从轨道AB上的高H处的某点静止释放，用力传感器测出小球经过C点时对轨道的压力 F,改变H的大小，可测出F随H的变化关系如图乙所示，求：(1 )圆轨道的半径；(2)该星球的第一宇宙速度。22. (18 分)2(1)小球过C点时满足F mg =m2分r1又根据mg(H - 2r) mv03分2由得：f =-2 H -5mg2分r由图可知：H 1 二 0.5m时卩勺=0 ；代入可得r = 0.2mH 2 = 1.0