竞赛(基本对称式)二.doc

1、基本对称式一、内容提要1. 上一讲介紹了对称式和轮换式的定义和性质. 形如 x+y 和 xy 是两个变量 x, y 的基本对称式 .2.含两个变量的所有对称式，都可以用相同变量的基本对称式来表示.例如 x2+y2, x3+y3, (2x5)(2y 5),22yx，x 都是含两个变量的对称式，它们都可以用3x 3yy相同变量 x,y 的基本对称式来表示：x2+y2（ x+y） 2 2xy，x3+y3（ x+y）33xy(x+y)，(2x5)(2y 5)4xy 10(x+y)+25,22=2（ x y)y x y 2x 2( x y) 22 xy3y,=xy.3x3xyx yxy3. 设 x+y=

2、m, xy=n.则 x2+y2（ x+y）2 2xy m2 2n；x3+y3（ x+y） 33xy(x+y)=m3 3mn ；x4+y4（ x2+y2） 2 2x2y2m4 4m2n+2n 2；x5+y5（ x2+y2） (x3+y3) x2y2(x+y)=m55m 3n+5mn 2 ；一般地， xn+yn(n 为正整数 )用基本对称式表示可建立递推公式：k+1+yk+1k kk 1 k1) (k 为正整数 ).x=( x +y )(x+y) xy(x +y4. 含 x,y 的对称式， x+y,xy 这三个代数式之间，任意知道两式，可求第三式.二、例题例 1.11已知 x= ( 3 +1),

3、y= （ 31） 求下列代数式的值：22 x3+x2y+xy2+y3 ； x2 (2y+3)+y2(2x+3).解：含两个变量的对称式都可以用相同变量的基本对称式来表示.先求出x+y=3 ,xy= 1 .2 x3 +x2y+xy2+y3 （ x+y）32xy(x+y)=(3 )32 132=23； x2 (2y+3)+y2(2x+3) 2x2y+3x2+2xy2+3y2=3(x2+y2 )+2xy(x+y)=3（ x+y） 2 2xy +2xy(x+y)=3（2113）2）2 322例 2.解方程组 3 6.x3y335xy5分析：可由x3 +y3, x+y 求出 xy，再由基本对称式，求两个

4、变量x 和 y.解： x3+y3 ,（ x+y） 3 3xy(x+y)把和代入，得35 53 15xy. xy=6.xy5解方程组xy6x2x3得3或.yy2例 3.化简3 2014 23 20 14 2.解：设 320 142 x,320 142 =y.那么x3+y3=40,xy= 34001962 =2. x3+y3（ x+y） 3 3xy(x+y)， 40（ x+y） 3 6（ x y） . 设 x+y=u,得 u3 6u40=0 .(u 4)(u2+4u+10)=0. u2+4u+10=0 没有实数根， u 4 0, u 4 . x+y=4.即3 20 14 23 2014 2 4.例

5、 4.a 取什么值时，方程x2 ax+a 2=0的两根差的绝对值最小其最小值是什么解：设方程两根为x1,x2 .根据韦达定理，x1x2 a得a2x1 x2 x1 x2(x1x2 )2 （x1x2 ) 24x1 x2 a24a 8 (a 2) 2 4 ，当 a=2 时， x1x2有最小值是2.三、练习1.已知x y=a,xy=b.则 x2 +y2=_ ；x3 y3=_.2.若 x+y=1,x2+y2=2.则x3+y3 =_；x5 +y5=_.3.如果x+y= 2k,xy=4,xyyx3.则k=_.4. 已知 x+1=4,那么 x1=_，x21= .xxx 21. a,1x215. 若 x那么 x+ =_ ,x2 = .xx1, b=16. 已知： a=.2 323求： 7a2+11ab+7b2 ； a3+b3 a2 b2 3ab+1.7. 已知 x1x 21 8，则xx8.已知a2 +a 1=0则 a31 a3=9. 已知一元二次方程的两个根的平方和等于5，两根积是 2，则这个方程可写成为：化简：3 253 2 5；35273 5 27.练习题参考答案1. a2