平面向量中三点共线

1、平面向童中三点共线走理的应用（一人对平面任意的两个向量aMbO）,a/b的充耍条件是：存在唯一的实数2, 使ii = Ab由该主理可以得到平面三点共统主理：（二人三点共线定理：往平面中A、B、P三点共线的充要条件是：对于该平面 任盘一点的O,存在唯一的一对实数x,y使得：OP = xOA + yOB且 OP=xOA+yOBo務别地有:当点P 4线段AB上肘，X 0, y 0当点P在线段AB之外肘，XV 0.丄+ d(丄+ 芈)“ =(_1 + )心+刃=1 + 2 + 竺 + 4 = 5 + 2 + 竺x y x y x yx yx yx0,y0丄0,竺0 由基本不等式可知：- + 2 -x=

2、4,取等号Yr VY V1 4所以一+ 的最小值为9点评：本題把平面三问題与二元函救求最值、基本不等式巧妙地结佥廿较综合考冬了学生基本功.例 2. A A ABC 中,则卖数m的值为（c.3 2Dn11AN = -?VC, A P 是 BC 上的 3分 析 : B、P、N 三 A 共_2_2_ q _AP = mAB + AC = mAB dx 4AN = mAB + AN11 11 113Hl = 故.选 C11. m + = 111例戈&AABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N,若A力+ n的值m AM , AC = n AN:因为O是BC的中点，故

3、连接AO,如图4,由向量加去的平行四边形法则可知：/. Ad = |(AB + AC)AB=mAM , AC = nAN/. AO = * (in AM + nAN),.ao = !Lam+!Lan2 2又;MQ、N三点共繼.由平面三点共线可得：y4 = 1-，W+W = 2变式直线JitoABCD的两条对角线ACBD的交点O,匀AD边交于6N,与AB的延长线交于点M。又知AB = m AM ,AD =nAN则 m + n=分析：因为点O两条对角线AC与BD的交点所以点O为AC的中点 . 1 . . , /. AO = -(AB + AD)v AB = mAM , AD =nAN2 I u .

4、 AO = (mAM +nAN) = AM + AN又.MON 三点共线，2 2 2.由平面三点共线的向量式龙理可得：斗+彳=1加+ = 2厶 乙例4. & G是厶OAB的重心，P 0分别是边.OA. OB上的动点，且P. G.。三点共n线.iOP = xOAf OQ = yOB9证朋：丄+丄是走值; x y证朗：因为G是Q4B的重心，分析：.OG = xOA + OB) = (OA + OB) OP = xOA ：. OA = -OP OQ = yOB ：.OB = -OQxy:.OG = (OA + OB) = -(-OP + -OQ)+丄=3丄+丄为定值3x yx y3 3 x y又P、

5、G, Q 三点共线j1= 13x 3y例5.如图所示確平行四边形ABCD中.AE = -AB.AF = -AD.CE与BF柑交 34于 G A AB = a , AD = b ,则 AG分析：本題是以平面几何为背景，为戟体，求向量的问題所以我们很家易联想到6F. G. B以及三点症一条直线上，可用平面三点共线定理求解。解：E,GC三点共线，.由平面三点共线主理可得：存衣难一的一对实数x使 ,I I I */. AG = xAE + (1 -x)AC . / AE = - AB = a .AC = a + b3 3 2x* -_AG = x x a + (1 _ x)(a + b) = (1 -

6、 )a + (1 - x)b又F,G,3三点共线由平面三点共线定理可得：存农唯一的一对卖数几使得AG = AAB + (-A)AF-AF = -AD = -b,4 4:.AG = Aa + (-A)-b431-2= l-x由a两式可得:6x = 72 = 27点评：本題的解弘中由两纽三点共线（F. G. B以及E.GC三点连.一条直线上丿变式 2.庇三角形 ABC 中.AM : AB = 1 : MAN : AC = 1 : 4.BN 与CM相交于A P且AB = ci , AC = b ,试用N、5在示AP解：N,P,B三点共线由平面三点共线定理可得：存花唯一的一对实数x.y 使 AP =

7、xAB + yAN,x + y = *.*AN:AC=1:4,AN = LAC = Lb ,.AP = xABACXab=xa +b4 4444又.CPf三点共线由平面三点共线龙理可得：存征唯一的一对实数“池 使/. AP = pAM +2AC,/ + 2 = 1. AM : AB = 1 : 3 Li-. AP = a + Ab =a + Ab33由（D两式可得1-2x =3=243x =112 = 11x+y = 1,.y = 11:.AP = la + -b11 11点 P卷边A3 上，AB = 3APf OA = ayOB = b 9 flj OP =()2 - 一 B. u +b33

8、2、平而直角坐标条中2为坐标虑点，已知两点若A GX力满足de = a oa +0OB ,其中a.0R且a + “=1,则xy所满足的关糸式为()A. 3x+2yA=O B. (-l)2+(y-2尸=5C 2ry=0D x+2戶5=03 己知P是AABC的边BC上的任一点且满足AP = xAB+ yACx.y e R ,则14+ 的最小值是x y4.在平行凹边形ABCD中，O是对角筑AC与BD的交，帚E是BC边的中点，连接DE 交 AC 于点 F。已AB = a. AD = b OF =()1 -* 1 1 -* -*I-*1 -* 1 -*A. +/? B (。+)C(“+)D a+ b3646645. (2014届东江中学需三年级理科笫三次段考丿在平行凹边形ABCD中，尸分别良BC、G的中点.OF交AF于H,诃恥.戎芬别为a、b,则劝=(2424E是线段OD的中点，AEC一亏a +亏& D-宁-弓b的适长线与CD交于点F.若AC=a tBD = b . nJ AF =( )A 1 1 nn 2 1 LA it H b B. u + b厂11 .C. a + bD. a+s423324336. 2008年卷丿在平行凹边形ABCD中，AC与BD关于娥O,7. A平行切边形ABCD中，AE = -AB,A