北京市东城区12-13高三综合练习(二)--数学理

1、北京市东城区20122013学年第二学期高三综合练习（二）数学（理）试题本试卷分第i卷和第n卷两部分，第i卷1至2页，第n卷3至5页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交 回.第i卷（选择题共40分）、本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一 项.1、已知集合 a x|x x 10,xr,b x|x r ,那么集合ar b是（）2、c.x| 2 x2, x r如图是某班成绩分组区间是:90b.d.x|0x| 250位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图,100 ,则图中1,4

2、0, 50 , 50, 60 , 60, 70 , 70, 80 , 80x的值等于（其中90频率0.054 a .c.3、0.7540.018b.d.已知圆的极坐标方程是）0.0480.0122 cosx 0.01 0.006,那么该圆的直角坐标方程是040 50 60 70 80 90100y2 12b. xc.y2 1_2d. x4、形, a .b.c.d.5、已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中三个视图都是直角三角则在该三棱锥的四个面中，直角三角形的个数为（1234(a .b.c.d.阅读程序框图，运行相应的程序，当输入 x的值为25时，输出）1234x6、已知sin3,那么sin 2

3、x的值为（57、8、3257b.25c.925d.1825过抛物线4x焦点的直线交抛物线于ab两点，若ab 10,则ab的中点到y轴的b. 2c.d.已知函数f x是定义在的导函数），若ac的大小关系是（b. c b二、填空题：本大题共9、已知向量a10、11、r上的奇函数，且当 x30.3f 30.3 , b log 3 fc. c a blog6小题，每小题是纯虚数，则实数各项均为正数的等比数列an时，fd.x xf x110g3 - f9（其中1 log3-, 9s4的值为12、如图，ab为。o的直径,cmn交ab的延长线于点 d ,cm13、第n卷（共110分） 5分，共30分.，若a

4、 / b,则a的值为的前n项和为sac切。o于点a,若 cm mnnd5名志愿者到3个不同的地方参加义务植树,一名志愿者的方案共有种.14、 . 、 、在数列an中，若对任意的n n ,都有右a3且过点ac2 , s45$c的割线则每个地方至少有an 2 an 1an 1 ant （t为常数）则a1的值为,则称数列an为比等差数列，t称为比公差.现给出以下命题：等比数列一定是比等差数列，等差数列不一定是比等差数列;若数列an满足an2n 1口,片111产则数列an是比等差数列且比公差t -若数列cn满足c1,c 1 , cn cn 1 cn 2 （ n 3）,则该数列不是比等差数歹u ；若an

5、是等差数列,bn是等比数列，则数列 anbn是比等差数列.其中所有真命题的序号是三、解答题：本大题共 6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15、 （本小题共13分）已知函数 f x sinx 73cosx sin x .求f x的最小正周期；当x 0, 4时，求f x的取值范围. 316、 （本小题共13分）某校高三年级同学进行体育测试，测试成绩分为优秀、良好、合格三个等级.测试结果如下表: （单位：人）优秀良好合格男1807020女120a30按优秀、良好、合格三个等级分层，从中抽取50人，其中成绩为优的有 30人.求a的值； 若用分层抽样的方法，在合格的同学中按男女抽

6、取一个容量为5的样本，从中任选 2人，记x为抽取女生的人数，求 x的分布列及数学期望.17、 （本小题共14分）如图， 4bcd是等边三角形，ab ad, bad 90 ,将4bcd沿bd折叠到 bcd的位置，使得ad c b .求证：ad ac ; 若m, n分别是bd , cb的中点，求二面角 n am b的余弦值.18、 （本小题共14分）已知函数f x lnx刍（a 0）. x求f x的单调区间；1如果p x0, y0是曲线y f x上的任意一点，若以 p % , y0为切点的切线的斜率 k -2恒成立，求实数a的最小值；3讨论关于x的万程f x b一-的实根情况.2x 219、 （本

7、小题共13分）223已知椭圆c：与与1 （a b 0）的离心率e原点到过点a a, 0 , b 0, b的直a b2线的距离是土与.5求椭圆c的方程；若椭圆c上一动点p %, y0关于直线y 2x的对称点为p、，% ,求x2 y；的取值范围.如果直线y kx 1 （ k 0）交椭圆c于不同的两点e, f ,且e, f都在以b为圆心的圆 上，求k的值.20、 （本小题共13分）* ,已知数列 an , 4 1 , a2n an, a4n1 0, a4n 1 1 （n n ）.求a4 , a7 ；是否存在正整数t ,使得对任意的n n*,有an t an ；设s曳弯当川翼”，问s是否为有理数，说明

8、理由.10 101010参考答案-、选择题(本大题共 8小题，每小题5分，共40分)(1) b(2) c(3) a(4) d(5) d(6) b(7) d(8) c二、填空题(本大题共 6小题，每小题5分，共30分)(9)-(10) 1(11) -15222c210(12) 22(13) 150(14)注：两个空的填空题第一个空填对得3分，第二个空填对得 2分.三、解答题(本大题共 6小题，共80分)(15)(共 13 分) 解：(i)因为 f(x) sinx(j5cosx sinx),3sin xcosx sin2 x= 1(2 3sin xcosx 2sin2 x) 2=1( .3sin

9、2x cos2x) 1221 sin(2x -) 一 .622所以f(x)的最小正周期t 2(n)因为 0 x ，3一一3所以 一 2x 3-.662133 1所以f(x)的取值范围是(, .2 2(16)(共 13 分)解：(i)设该年级共n人，由题意得50 一30一，所以n 500.n 180 120则 a 500 (180 120 70 20 30) 80.(n)依题意，x所有取值为0,1,2 .p(x 0)p(x 1)p(x 2)c22工c： 10 11c2 c33c25，c32 2 2x的分布列为:x012p133105101 ex 0110(17)(共 14 分)(i)证明：因为3

10、 c 362 .510 5bad 90所以ad ab ,又因为 cb ad ,且 abp|cb b ,所以 ad 平面c ab , 因为ac 平面c ab ,所以 ad ac .(n)因为 bcd是等边三角形，ab ad, bad 90：1 ,不防设ab 1 ,则 bc cd bd , 又因为m , n分别为bd, cb的中点，. . . ,由此以a为原点，ab , ad , ac所在直线为坐 标轴建立空间直角坐标系a xyz .则有 a(0,0,0) , b(1,0,0) , d(0,1,0) , c (0,0,1),1 111m(-,-,0) , n(-,0,-).2 222所以 7m (

11、1,-,0) , an (1,0,-). 2 222设平面amn的法向量为m (x,y,z).则可m 0, an m 0.1x即21 x2令x 1 , 所以m1 y 0,21 z 0.2则 y z 1.(1, 1, 1).又平面abm的一个法向量为n (0,0,1) .所以cosm,n3m| n 3所以二面角n am b的余弦值为日14分(18)(共 14 分)解：(i) f (x) lnx a ,定义域为(0,), x则 f1(x) 1 二 ja. x x x因为 a 0,由 f(x) 0,得 x (a,),由 f (x) 0,得 x (0, a), 所以f(x)的单调递增区间为(a,)，单

12、调递减区间为(0,a).(n)由题意，以 p(x0,y0)为切点的切线的斜率 k满足(x。0),x0 a k f (x) x。所以a x02x0对x00恒成立.2又当小 0时,所以a的最小值为1 .3(出)由题意，方程 f (x) -2(bx a)-化简得2x 21 2 1b in x x + x (0,)(1 x)(1 x) x x22令 h(x) in x -x2 b ，则 h(x) 22x当 x (0,1)时，h (x) 0,当 x (1,)时，h (x) 0 ,所以h(x)在区间(0,1)上单调递增，在区间(1,)上单调递减.所以h(x)在x 1处取得极大值即最大值，最大值为h(1)

13、in1 1 12b -22所以 当b 0,即b 0时，y h(x)的图象与x轴恰有两个交点,3x 2(bx a) 1 ,万程 f (x) - 有两个头根，2x 2当b 0时，y h(x)的图象与x轴恰有一个交点，3方程f(x) -一2(bx a) 1有一个实根，2x 2当b 0时，y h(x)的图象与x轴无交点，3、,方程f(x) -一2(bx a) 1无实根.14分2x 2(19)(共 13 分)解：(i)因为 c a2 b2 c ,a 2所以a 2b.因为原点到直线ab： -1的距离da b(n)所以解得所以2 x 故所求椭圆c的方程为一16因为点p xo,yo关于直线yo y1xox1y

14、o y12xi4yo3xo1,xo2xiyi2x12y12xo因为点p xo, yo在椭圆所以2x12y12xo2yo因为xo4,所以2x13yo 4xo2 x c: 163x24所以42x12x的对称点为p x1,y1，yi2的取值范围为4,（id）由题意y2 x16kx 1,2y4消去y ,整理得1可知(14k2)x2 8kx120.设 e(x2,y2),f8土），则xmx2x3所以kbmvmxm4k2 ，4k1k所以xmkym2 k4k2214k14k2k又因为k o,所以k2 1 ,所以8（2。）（共 13 分）解：(i )3432ai2y11上,ef的中点是vmkxm 1m (xm

15、, vm ),1万.1 4k13a7a4 2 10 （n ）假设存在正整数t ,使得对任意的n n * ,有% t % .则存在无数个正整数t ，使得对任意的 n n * ，有an t an 设 t 为其中最小的正整数若 t 为奇数，设t 2t 1 （ t n * ） ，则 a4n 1a4n 1 ta4n 1 2ta4（ n t） 10 与已知a4n 1 1 矛盾若 t 为偶数，设t 2t （ t n * ） ，则 a2n ta2nan ，而 a2n ta2n 2tan t从而 an t an 而t t ,与t为其中最小的正整数矛盾.综上，不存在正整数t ，使得对任意的 n n * ，有an t an （出）若s为有理数，即s为无限循环小数，则存在正整数n0 ， t ，