北京市东城区普通校2013-2014学年高三12月联考数学(理)试卷

1、东城区普通校2013-2014学年第一学期联考试卷命题校：65中高三数学(理科)2013年12月本试卷共 2页，150分，考试用长120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在 试卷上作答无效工试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的。选出符合题目要求的一项填在机读卡上。1.已知集合a(a) x|2 x(b) x2 x 3(c) x x2或2x 3(d) r2.在复平面内,复数i(i 1)对应的点在(a)第一象限(b)第二象限(c)第三象限(d)第四象限3.等差数列an中,a42,则s7等于(4.5.

2、(a) 28(b) 14(c)3.5(d) 7已知(a) (c)为不重合的两个平面,充分而不必要条件 充分必要条件若向量a , b满足a直线 m”的()(b)必要而不充分条件(d)既不充分也不必要条件(a + b),则a与b的夹角为()(a) 2(c)4(d)6.某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是()(a)(b)(c)(d)883443i + 1 a正f主，视汽恻 (=)双目7.直 线 x-y-40 和圆2_ ，_ 、一一y十2x-2y0都相切的半径最小的圆的方程是(a)(x11)21(y-1)2=2(b)(x + 1)2 +(y-1)(c) (x-1)2 +(y-1)2 二 2(d)

3、 (x 1)2+(y-1)2=48.已知函数f (x)的定义域为r ,若存在常数 m 0,对任意x r ,有| f(x)| m|x| , 则称f (x)为f函数.给出下列函数： f (x) x2 ;f (x) sin x cosx ;xf (x) ；f (x)是定义在r上的奇函数，且满足对一切实数xi,x2均有x x 1f(x1) f (x2) 2x1 x2 .其中是f函数的序号为 ()(a)(b)(c)(d)第ii卷(非选择题，共110分)二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。9.命题“x0 (0, -), tanx0 sin x0” 的否定是 . 22210.过双曲线 人上一.

4、1的右焦点，且平行于经过一、三象限的渐近线的直线方程916 -是 .(结果写成一般式)x y 1 0,11 .若实数x, y满足条件 x y 2, 则2x y的最大值为 .x 1,、一 1 0 50 512 .设a (一)0.5, b 0.3 , c log0 3 0.2 ,则a,b,c的大小关系是 .(从小到大用 2.“ 连接)13 .曲线y x3与直线x 1及x轴所围成的图形的面积为 .14 .无穷等差数列an的各项均为整数，首项为 a1、公差为d , sn是其前n项和，3、21、15是其中的三项，给出下列命题；对任意满足条件的 d ,存在优，使得99一定是数列an中的一项；对任意满足条件

5、的d ,存在a1，使得30一定是数列an中的一项；存在满足条件的数列an,使得对任意的n n , s2n 4sn成立。其中正确命题为 。(写出所有正确命题的序号)三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程 或演算步骤。5(i)当a 时，求角a的度数;3(n)求 abc面积的最大值.17 .(本小题满分13分)在三锥p abc中， pac和 pbc是边长为ab中点.(i)在棱pa上求一点m ,使得om /平面(n )求证：平面 pab，平面abc ；(出)求二面角 p bc a的余弦值.j2的等边三角形，ab 218 .(本小题满分13分)a。是已知数列an是等差数列，a

6、3 10,a622 ,数列bn的前n项和是tn ,且1tn gbn 1.(i)求数列an的通项公式；(n)求证：数列bn是等比数列；(出)记 cn an bn ,求证：cn 1 cn .19.(本小题满分14分)已知函数f(x)2a2aln x x(a 0).x(i)若曲线y f (x)在点(1,f (1)处的切线与直线x 2y 0垂直，求实数a的值;(n)讨论函数 f(x)的单调性;,1 2(m)当a (,0)时，记函数f(x)的最小值为g(a),求证：g(a) e .220.(本小题满分14分)x2 y231已知椭圆c:二 = 1 (a b 0)经过点m (1,)，其离心率为一.ab22(

7、i)求椭圆c的方程;1 .(n)设直线i：y kx m (|k| )与椭圆c相交于a、b两点，以线段 oa,ob为邻 2边作平行四边形 oapb,其中顶点p在椭圆c上，。为坐标原点.求op的取值范围.东城区普通校2013-2014学年第一学期联考答案高三数学(理科)(以下评分标准仅供参考，其它解法自己根据情况相应地给分)9. x (0, -), tan x 2sin x10. 4x-3y-20.011. 412. b a c113.一414.(答对1个给2分，有错误答案不给分).选择题题号12345678答案bcbacdcd二、填空题4分2三、解答题15.(本小题满分13分)解：(i )由图可

8、知t2,又由f (-) 1得,2sin( )1,又 f(0)(n)由(i)知： f (x) sin(2xcos2x1因为 g(x) ( cos2x) cos(2x ) cos2xsin2x sin4x 9分2 2一一.一 kk所以，2k - 4x 2k ,即-x -(k z) 12 分222828. k k故函数g(x)的单调增区间为匚 -, (k z) . 13分16.(本小题满分13分)4 3斛：(i)因为cosb ,所以sin b - .2分5 5一、.5- 一a b1因为 a ，b 2,由正弦定理 可得sin a - . 4 分3sin a sin b2因为a b,所以a是锐角，所以

9、a 30o .6分13(n)因为 abc的面积 s -acsin b -ac ,7分28 28210所以当ac最大时，abc的面积最大.因为 b2 a2 c2 2accosb ,所以 4 a2 c2 8 ac. 9分522.8.因为 a c 2ac ,所以 2ac - ac 4,11分5所以ac 10,(当a c m时等号成立)12分所以 abc面积的最大值为3 .13分17.(本小题满分13分)(i)当m为棱pa中点时，om /平面pbc.1分证明如下：；m ,o分别为pa, ab中点，om / pb2分又pb 平面pbc , om 平面pbcom / 平面 pbc.4分(n)连结 oc ,

10、 op；ac cb 衣，。为 ab 中点，ab 2,oc ab , oc 1.5分po 1.6分13分同理，po ab ,又 pc 2,222pc2 oc2 po2 2 ,poc 90；.po oc .7分po oc , po ab , ab oc o ,po，平面abc.8分11 po 平面 pab i平面pab，平面abc.9分(m)如图，建立空间直角坐标系 o xyz.则 b(1,0,0) , c(0,1,0) , p(0,0,1),- bc( 1,1,0), pb (1,0, 1).由(n)知op (0,0,1)是平面abc的一个法向量.11分设平面pbc的法向量为n (x, y,z)

11、,n bc 0 x y 0则 q.n pb 0 x z 0令 z 1 ,则 x 1, y 1 ,平面pbc的一个法向量n (1,1,1).j_op n 13cos op ,n:.|op| |n| 1 .33丫二面角p bc a的平面角为锐角，所求二面角p bc a的余弦值为g.18.（本小题满分13分）解：（1）由已知a1a12d5d10,22.2 分解得 ai2, d4.3 分an 2 (n 1) 4 4n 2.，一1(2)由于 丁0 1 -bn,3，13令 n =1,倚 b11 bi.解得 b1一,341当 n 2时，tn 11-bn 1 3一得 bn 1bn 1 1bn， 331bnbn

12、 143 bn1又b10, 一.4 bn 14一 一. 3 ,一 1 ，数歹u bn是以3为首项，-为公比的等比数列44, 一一 3（3）由（2）可得bn 44cn an bn3(4n 2)4cn 1cn34(n 1) 2 3(4n 2)n 1n4430 36n4n 1n 1,故 cn 1c 1cn.4分5分6分7分8分9分10分 11分 -12 分 13分19.（本小题满分14分）解：（i） f x的定义域为x|x 0.a 2a2f x - 2x x根据题意，有f一 一 22,所以2a解得a 1或a(ii) f x222a 2a x ax 2a- 1 22x xx(xa)(x2x2

13、 a)-x 0 .2分3分4分5分（1）当a 0时，因为x 0,由 f (x) 0 得(x a)(x 2a) 0 ,解得 x a ；由 f (x) 0得(x a)(x 2a) 0,解得 0 x a.所以函数f (x)在a,上单调递增，在 0,a上单调递减. 7分(2)当a 0时，因为x 0,由 f (x) 0 得(x a)(x 2a) 0,解得 x 2a；由 f (x) 0 得(x a)(x 2a) 0,解得 0 x 2a.所以函数f (x)在0, 2a上单调递减，在 2a, 上单调递增.9分(iii)由(n)知，当a (,0)时，函数f(x)的最小值为g(a),且 g(a) f( 2a) a

14、ln( 2a) 2a- 2a aln( 2a) 3a2a2g (a) ln( 2a) a - 3 ln( 2a) 2, 10 分2a令 g (a) 0,得 a-e2.2当a变化时，g a , g a的变化情况如下表:a(,-e2)21 2e2(-e2,0) 2g a十0一g at极大值j 12分1 2,e2是g(a)在(，0)上的唯一极值点，且是极大值点，从而也是g(a)的最大值点所以 g a 最大值 g( 2e2)2e2ln 2 ( 2e2) 3( -e2)13分1 2 .2-e lne 23 2 -e2所以，当a （,0）时,g(a)!1 2-e21e 成乂.214分20.（本小题满分14

15、分）解：（i）由已知可得e22,2a b2a一一 3 一又点m（1-）在椭圆c上，所以2由解之，得a224,b3.故椭圆c的方程为2y3y kx(n)由 22x y43m,1.消y化简整理得：（34k2)x228kmx 4 m 120,64k2m2 4(3 4k2)(4m212) 48(3 4k2m2)设 a, b, p 点的坐标分别为（x1,y1）、（x2,y2）、（xo, y）,则xoxix28km2, yo3 4k2y1y2 k(x1 x2)2m6m3 4k2由于点p在椭圆c上，所以2xo42近1.310从而16k2m212m2(34k2)2 (3 4k2)2化简得4 m2_23 4k ,经检验满足式.又 |op|22,xovo64k2m236m22 22 2(3 4k2)2 (3 4k2)24m2(16k2 9)2 2(3 4k2)216k2 94k2 311分12分34 4k24k2 3 4 元九 1故百op13f即所求op的取值范围是内,亚3.14分2(n)另解:设 a, b,p 点的坐标分别为(x1, y1)(x2,y2)(x0,y0),由ab在椭圆上，可得3 3 ：；:一整理得 3(x1 x2)(x x2) 4(y1 y2)(y1 刈)0 7由已知可得