偏微分方程在实际中的应用

1、微分方程在实际中的应用以学习物理化学为例物理化学( physical chemistry ), 它是从物质的物理现象和化 学变化的联系来探讨化学反应的基本规律的学科。 物理化学是在物理 和化学两大基础上发展起来的。 主要由化学热力学、 化学动力学和结 构化学三大部分组成。 它以丰富的化学现象和体系为对象， 大量采纳 物理学的理论成就与实验技术， 探索、归纳和研究化学的基本规律和 理论，构成化学学科学的理论基础。 物理化学的水平在相当大程度上 反应了化学发展的深度。物理化学是以物理的原理和实验技术为基础， 研究哈学体系的性 质和行为， 发现并建立化学体系中特殊规律的学科。 它的主要理论支 柱是热

2、力学、 统计力学和量子力学三大部分。 热力学和量子力学分别 适用于宏观和微观系统， 统计力学则为二者的桥梁。 原则上用统计力 学方法能通过个别分子、 原子的微观数据来推断或计算物质的宏观现 象。随着科学的迅速发展和各门学科之间的相互渗透， 物理化学与物 理学、无机化学、 有机化学在内容上存在着难以准确划分的界限，从 而不断地产生新的分支学科，例如物理有机化学、生物物理化学、化 学物理等。 物理化学还与许多非化学的学科有着密切的联系， 例如冶 金学中的物理冶金实际上就是金属物理化学。一般认为，物理化学作为一门学科的正是形成，是从 1877 年德 国化学家奥斯特瓦尔德和荷兰化学家范托夫创刊的物理化

3、学杂志 开始的。从这一时期到 20 世纪初，物理化学以化学热力学的蓬勃发展为其特征。热力学第一定律和热力学第二定律被广泛应用于各种化 学体系，特别是溶液体系的研究。 吉布斯对多相平衡体系的研究好范 托夫对化学平衡的研究， 阿伦尼乌斯提出电离学说， 能斯特发现热定 理都是对化学热力学的重要贡献。当 1906 年路易斯提出处理非理想体系的逸度和活度概念，以及 它们的测定方法之后， 化学热力学的全部寄出已经具备。 劳厄和布喇 格对 X 射线晶体结构分析的创造性研究， 为经典的晶体学向近代结晶 化学的发展奠定了基础。 阿伦尼乌斯关于化学反应活化能的概念， 以 及博登斯坦和能斯特关于链反应的概念， 对后

4、来化学动力学的发展也 都做出了重要贡献。20 世纪 20-40 年代是结构化学领先发展的时期，这时的物理化 学研究已深入到微观的原子和分子世界， 改变了对分子内部结构的复 杂性茫然无知的状况。1926 年，量子力学研究的兴起，不但在物理学中掀起了高潮， 对物理化学研究也给以很大的冲击。尤其是在 1927 年，海特勒和伦 敦对氢分子问题的量子力学处理，为 1916 年路易斯提出的共享电子 对的共价键概念提供了理论基础。 1931 年鲍林和斯莱特把这种处理 方法推广到其他双原子分子和多原子分子，形成了化学键的价键方 法。 1932 年，马利肯和洪德在处理氢分子的问题时根据不同的物理 模型，采用不同

5、的试探波函数，从而发展了分子轨道方法。价键法和分子轨道法已成为近代化学键理论的基础。 鲍林等提出 的轨道杂化法以及氢键和电负性等概念对结构化学的发展也起了重 要作用。在这个时期，物理化学的其他分支也都或多或少地带有微观 的色彩，例如由欣谢尔伍德和谢苗诺夫两个学派所发展的自由基链式 反应动力学，德拜和休克尔的强电解质离子的互吸理论， 以及电化学 中电极过程研究的进展氢超电压理论。一般公认的物理化学的研究内容大致可以概括为三个方面：化学体系的宏观平衡性质以热力学的三个基本定律为理论基础，研究宏观化学体系在气态、液态和溶解态以及高分散状态的平衡物理化学性质 及其规律性。在这一情况下，时间不是 变量。

6、属于这方面的物理化 学分支学科有化学热力学。溶液、胶体和表面化学。化学体系的微观 结构和性质，以量子理论为理论为基础，研究原子和分子的结构，物 体的体相中原子和分子的空间结构，表面相的结构，以及结构与物性 的规律性。属于这方面的物理化学分支学科有结构化学和量子化学。化学体系的动态性质的研究，由于化学或物理因素的扰动而引起 体系中发生的化学变化的速率和变化机理。 在这一情况下，时间是重 要的变量。属于这方面的物理化学分支学科有化学动力学、催化、光 化学和电化学。所谓微分方程，就是含有未知函数的导数。一般的凡是表示未知 函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程，叫做微分方程。 未知函数是一元函

7、数的，叫常微分方程；未知函数是多元函数的叫做 偏微分方程。微分方程有时也简称方程。微分方程的来源极广，历史久远。牛顿和莱布尼茨创造微分和积 分运算的时候，指出了它们的互逆性，事实上这是解决了最简单的微 分方程的求解问题。当人们用微积分学去研究几何学、力学、物理化 学所提出的问题时，微分方程就大量地涌现出来。20 世纪以来，随着电磁流体力学、化学流体力学、动力气象学、 海洋动力学、 地下水动力学等等的产生和发展， 也出现了不少新型的 微分方程。 70 年代随着数学向化学和生物学的渗透，出现了大量地 反应扩散方程。从“求通解”到“求解定解问题”数学家们首先发现 微分方程有无穷个解。常微分方程的解会

8、含有一个或多个任意常数， 其个数就是方程的阶数。偏微分方程的解会含有一个或多个任意函 数，其个数随方程的阶数而定。命方程的解含有的任意元素（即任意 常数或任意函数）做尽可能的变化，人们就可能得到方程所有的解， 于是数学家就把这种含有任意元素的解称为“通解”。在很长一段时 间里，人们致力于 “求通解”。但是以下三种原因使得这种 “求通解” 的努力，逐渐被放弃。第一，能求得通解的方程显然是很少的。在微 分方程方面，一阶方程中可求得通解的，除了线性方程、可分离变量 方程和用特殊方法变成这两种方程的方程之外， 为数是很小的。 如果 把求通解看做求微商及消去法的某一类逆运算， 那么，也和熟知的逆 运算一

9、样，它是带试探性而没有一定的规则的， 甚至有时是不可能的， 何况这种通解也是随着其自由度的增多而增加其求解的难度的。第 二，当人们要明确通解的意义的时候就会碰到严重的含糊不清之处， 达布在他的教学中经常提醒大家注意这些困难。 这主要发生在偏微分 方程的研究中。第三，微分方程在物理学、力学中的重要应用，不在 于求方程的任一解，而是求得满足某些补充条件的解。 A.-L. 柯西认为这是放弃“求通解”的最重要的和决定性的原因。 这些补充条件即 定解条件。求方程满足定解条件的解，称之为求解定解问题化学并不是一门单独的学科，它与数学、物理学、生物学等学科 之间的相互渗透和综合发展是我们需要认真学习的马克思

10、指出：“一种科学只有在成功地运用数学时，才算达到了 真正完善的地步。”而现代化学要求化学家们对于任何新发现的化合 物都要从下面四个方面进行全面地 综合思考，即实践合成，结构测 定，性能实验和理论分析。因此，数学已成为化学工作者必备的知识 基础。数学在化学中的应用十分广泛，尤其是在物理化学中都有应用的 实例。在物理化学中，微分方程无处不在，从热力学公式到动力学公式, 它们的推导过程都离不开微分的帮忙，正式有了微分这个强有力的后 盾，才让物理化学的发展更加的顺利，无形中推动着物理化学的发展, 细看物理化学的内容，与微分方程及其相关的应用案例数不胜数。化学热力学中反应热与温度和压力的关系。任一化学反应的反应热（；-Hm ）与温度（T）、压力（P）的关系如下：d rH m =Hm)dT +I cr丿=Z ViCp m(i JdT +无 Vi Vmii：T pdp丿i=占C pdT + VM-T对上式进行积分，得:人屮皿02,卩2 )=釦Hm(Tl,R )+CpdT +(Ti, Pi )(Pi, T2Tp由上可知，若压力不变，dp=O，则上式