傅里叶变换与拉普拉斯变换的区别与联系

1、傅里叶变换与拉普拉斯变换的区别与联系摘要通过对复变函数的学习，我基本上了解了傅里叶变换与拉 普拉斯变换的基本理论知识，并且知道了他们在数学、物理以 及工程技术等领域中有着广泛的应用，傅氏变换与拉氏变换存 在许多类似之处，都能够在解决广义积分、微分积分方程、偏 微分方程、电路理论等问题中得到应用。下面通过对他们做一 些比较研究，来更清楚地认识他们。关键词： 两种积分变换 积分与微分方程 电路理论正文（一） 前言：1、 傅里叶变换与拉普拉斯变换都属于积分变换，是两种常见 的数学变换手段，而所谓的积分变换就是通过积分运算，把一 个函数变成另一个函数的变换，其作用就是将复杂的函数运算 变成简单的函数运

2、算，当选取不同的积分域和变换核时，就得 到不同名称的积分变换，傅里叶变换与拉普拉斯变换就是因取 不同的积分域与变换核得来的。2、 傅里叶变换是拉普拉斯变换的特例。拉普拉斯变换是将时 域信号变换到 “复频域 ”，与变换的 “频域”有所区别。 拉普拉斯 变换主要用于电路分析，作为解微分方程的强有力工具（将微 积分运算转化为乘除运算） 。傅里叶变换则随着 FFT 算法的发展 已经成为最重要的数学工具应用于数字信号处理领域。二)提出问题：已知傅里叶变换是拉氏变换的特例，如何用例子进一步说 明他们的关系， 如何运用它们解决积分与微分方程和电路问题。 (三)解决问题：傅里叶变换与拉普拉斯变换两种变换的性质

3、有许多相似之 处，故两者在求解问题时也会有许多类似，另外，由于傅氏变换 的积分区间为( - ， )，拉氏变换的积分区间为 ， )，两 者又 会在不同的领域中有着各自的应用。下面通过一些具体的 例子来对两种变换的应用做一些研究：3.1 两种积分变换在求解积分、微分方程中的应用例1 求解积分方程g(t) h(t)f ( )g(t )d其中 h(t),f(t)都是已知的函数，且 g(t)、h(t)和 f(t)的傅里叶变换都 存在。分析：该积分方程中的积分区间是 , ，故首先应考虑用 傅里叶积分变换法求解。 积分项内是函数 f(t)与 g(t)的卷积，对方 程两边取傅氏变换，利用卷积性质便可以很方便的

4、求解该问题。解：设 F g(t) G(w),F f (t) F (),F h(t) H ()由卷积定义可知 f( )g(t )d f(t) g(t) 。因此对原积分方程两边取傅里叶变换， 可得G() H() F() G()因此有G()H()1 F()由傅里叶逆变换求得原积分方程的解为1i tg(t)G()eitd2H () eit1 F( )d12同样，应用拉普拉斯变换的卷积性质也可以用来求解积分方 程。例2 求积分方程 y(t) t2 0y(t )sin td 的解 分析：该积分方程中的积分区间是 0,t ，考虑到拉氏变换卷 积性质中函数的积分区间是 0,t 13 ，故对原方程两边取拉普拉斯

5、 变换，应用相应的卷积性质便可求出该积分方程的解。21解：设 Ly(t) Y(s)，则有， Lt2 23，L sin t 21 。对原方 s s 1 程两边取拉普拉斯变换，由卷积定理得21Y(s) 3 2 Y(s)s s 1整理得22Y(s) 23 25ss取其逆变换可得此即原积分方程的解。例3 求解线性方程组 14x x y ety 3x 2y 2etx(0) y(0) 1 分析：利用傅氏变换与拉氏变换性质中的微分性质，可以将 微分方程转换为像函数的代数方程， 使得问题得以解决。 但是用 傅里叶变换求解问题时， 要求所出现的函数必须在 ( , ) 内满足 绝对可积( f(t) )这个条件。但

6、是本题中的 et、x、 y都不 满足这个条件， 故不能用傅氏变换进行求解。 我们采用拉氏变换 对该方程组进行求解。解：设 L x(t) X(s),L y(t) Y(s)，对方程组进行拉氏变换得到1sX(s) 1 X(s) Y(s)s 1 1 1 sY(s) 1 3X(s) 2Y(s) 2 s1解得1X(s) Y(s) ，s1拉氏逆变换 L 1 1 et ，故s1tx(t) ety(t) et即为原方程组的解。3.2 两种积分变换在电路理论中的应用例4 如图所示的 RL电路中， u etV，R 1 ，L 1H ，求开 关 S 闭合后回路中的电流 i(t) 。解：由基尔霍夫电压定律 17 可得回路

7、方程为L di(t) Ri(t) u(t)dt代入数值，化简为i(t) i(t) e t该方程是一阶非齐次线性微分方程， 用高等数学的知识进行求解 的话，要先求出与之对应的齐次方程的通解与非齐次方程的一个 特解。求解步骤比较繁琐， 这里我们先采用傅里叶变换法进行求 解。设 F i(t) I( )，由傅氏变换的微分性质可得 Fi (t) i I( ) 又F u(t)1 (在 t 0时电压为 0) 18 ，代入上述方程中得1i1i I ( ) I ( )1i1整理得11I ( ) (2 1 i 1 i 对上式取傅氏逆变换得1ttI( ) (e t et)2 此即电路中的电流。该方程也可以用拉氏变换

8、法进行求解。设L i(t) I(s) ，由拉氏变换的微分性质可得L i (t) sI(s) (t 0时电流 i(t) 0)。对化简后 的方程两边去拉氏变换，得到1sI(s) I(s)s1整理得I(s)2s ( 1)1s1再对上式取拉氏逆变换，得到电路中的电流为 i(t) 1(e t et )2可以看出用傅氏变换与拉氏变换两种方法求解的结果是完全相 同的。信号与系统、电路分析等课程中常常会碰到各种信号 的问题，一般来说傅里叶变换法适用于对连续时间系统的分析， 这种方法也被称为频域分析法； 而拉普拉斯变换法被称为系统的 复频域分析 19 ，这种方法的适用范围更加广泛， 以致于在相当长 的时期内，人

9、们几乎无法把电路理论与拉普拉斯变换分开来讨 论。下面我们再举两个用拉氏变换法解决电路问题的例子：例5 如图所示，电 路为完全耦合互感 电路，互感量M L1 L2 1H ， 电 阻 R1 R2 1 , 电 压 E 1V ， 开 关 S 闭 合 前 i1(0 ) i2(0 ) 0 。求开关闭合后电路中的电流 i1(t)和 i2(t)。图2解：由基尔霍夫电压定律可列出电路的微分方程如下：di1(t)di2 (t)L1 1 M 2R1i1(t ) E1 dt dt 1 1 di2 (t)di1 (t)L2 2M 1R2i2 (t) 02 dt dt 2 2代入数据，得di1 (t) di2 (t)dt

10、 dtdi2 (t) di1(t)dt dti1(t) 1i2 (t) 0此方程组为二元一阶微分方程组， 采用高等数学的知识很难得 出 结 果 来 ，这 里 采 用 拉 氏 变 换 法 求 解 。 令 L i1(t) I1(s) ， L i2(t) I2(s) ，对上述微分方程组两边取拉氏变换， 考虑到初始条 件i1(0 ) i2(0 ) 0 ，可得sI1(s) sI2 (s) I1 (s) 1ssI2(s) sI1 (s) I2 (s) 0解得I1( s)s 1 1 11 s(2s 1) s 21I 2 ( s)11 s ( )212s 1 2 s ( 1)2对其取拉氏逆变换，得到电路中的电

11、流为1 1 (12t )i1(t) L 1 I1(s) 1 1e 2i (t) L 1I (s) 12e (12t)i2(t) L 1I2(s) 12 e 2推广应用傅里叶变换在物理学、 数论、 组合数学、 信号处理、 概率论、 统计学、密码学、声学、光学、海洋学、结构力学等领域都有着 广泛的应用， 例如在信号处理中， 傅里叶变换的典型用途是将信 号分解成幅值分量和频率分量应用拉普拉斯变换解常变量齐次 微分方程，可以将微分方程化为代数方程，是问题得以解决。在 工程学上拉普拉斯的重大意义在于将一个信号从时域上转换为 复频域上来表示，在线性系统，控制自动化上都有广泛的应用。 总结通过半个多月的搜集

12、资料， 我对复变函数有了一个较全面地 了解，对于复变函数在实际生活中的应用也知道了不少， 尤其是 拉普拉斯变换与傅里叶变换的应用， 它解决了一些我们日常生活 中不能解决的问题， 为物理、 数学和一些工程技术的发展起到了 促进作用，复变函数还有许多知识需要我们去仔细探索与研究， 通过写这篇论文，我感觉收获很多，不仅是知识方面的提高，而 且也教会了我如何去靠自己解决问题，锻炼了我自主学习的能 力，相信在以后在写作方面一定有了提高。致谢这篇论文的写成， 光靠我一个人的努力是不够的， 在学习复 变函数的过程中， 秦老师耐心教导我们， 每节课都认认真真的对 待，对于我们不理解的问题都会耐心的讲解， 这令我们每一个学 生都非常感动和倾佩， 感谢有这样一个兢兢业业的老师陪我们走 了半个学期， 他教给我们的不光是知识， 而且是一种对待事物的态度； 另外感谢的就是一直陪在我身边的同学们， 我在