复杂网络的控制解读

1、2019年4月18日星期四 1 复杂网络讨论班第九讲复杂网络讨论班第九讲 复杂网络的控制复杂网络的控制 2019年4月18日星期四 2 报告提纲报告提纲 一、规则网络时空混沌的牵制控制 二、无标度动态网络的牵制控制 三、一般复杂动态网络的牵制控制 2019年4月18日星期四 3 标志阶段标志阶段 1.1947年控制论的奠基人美国数学家韦纳（N.Weiner）把控制论引起的自动化同第二次产业革命联系起来，并与1948年出版了控制论关于在动物和机器中控制与通讯的科学，书中论述了控制理论的一般方法，推广了反馈的概念，为控制理论这门学科奠定了基础。 控制论之父韦纳 2019年4月18日星期四 4 ?复

2、杂系统理论：把系统的研究拓广到开放复杂巨系统的范 筹，以解决复杂系统的控制为目标。 回顾控制理论的发展历程可以看出，它的发展过程反映了人类由机械化时代进入电气化时代，并走向自动化、信息化、智能化时代。 复杂航天器控制 2019年4月18日星期四 5 反馈控制系统反馈控制系统 基于反馈原理建立的自动控制系统。所谓反馈原理，就是根据系统输出变化的信息来进行控制，即通过比较系统行为（输出）与期望行为之间的偏差，并消除偏差以获得预期的系统性能。在反馈控制系统中，既存在由输入到输出的信号前向通路，也包含从输出端到输入端的信号反馈通路，两者组成一个闭合的回路。因此，反馈控制系统又称为闭环控制系统。 201

3、9年4月18日星期四 6 反馈控制系统反馈控制系统 反馈控制系统包括： （一）负反馈（negative feedback）：凡反馈信息的作用与控制信息的作用方向相反，对控制部分的活动起制约或纠正作用的，称为负反馈 （二）正反馈（positive feedback ）：凡反馈信息的作用与控制信息的作用方向相同，对控制部分的活动起增强作用。 反馈控制系统由控制器、受控对象和反馈通路组成。在反馈控制系统中，不管出于什么原因（外部扰动或系统内部变化），只要被控制量偏离规定值，就会产生相应的控制作用去消除偏差。 2019年4月18日星期四 7 ?负反馈控制系统对于维持内环境稳定极为重要。当一个系统的活动

4、处于某种平衡或稳定状态时，如某种外界因素使该系统的受控部分活动增强，则该系统原先的平衡或稳态遭受破坏。在存在负反馈控制机制的情况下，活动增加的受控部分，可通过反馈机制传递至控制部分，控制部分经分析后，发出指令使受控部分活动减弱，使反应向平衡恢复方向发展；反之，如果受控部分活动过低，可通过反馈机制使其活动增强，结果也向平衡状态恢复方向转变。所以，负反馈控制系统的作用是使系统保持稳定。机体内环境之所以能维持稳态，就是因为有许多负反馈控制系统的存在和发挥作用。 2019年4月18日星期四 8 ?负反馈例子： ?例如细胞外液中的O2和CO2是通过肺部呼吸与外界大气发生交换的，呼吸运动是由脑内呼吸中枢控

5、制的，组织、细胞的新陈代谢需要从细胞外液中摄取O2， 并将代谢产物叫释放入细胞外液；如果组织、细胞的代谢明显增强，细胞外液就可能发生O2的减少和CO2的积聚。然而，当细胞外液中O2分压稍有降低或CO2分压稍有升高时，这些信息就能很快反馈到呼吸中枢，使呼吸运动加深加快，从而增加肺部气体2019年4月18日星期四 9 ?正反馈是一种比较少见的反馈，其作用正好与负反馈调节相反，在这种控制情况下，受控部分发出的反馈信号能加强控制部分的活动，从而使受控部分的活动再度加强，受控部分发出的反馈信号再进一步加强控制部分的活动，导致受控部分的活动更加加强，可见正反馈控制系统的活动使整个系统处于再生状态。因此，正

6、反馈不可能维持系统的稳态或平衡，只能是破坏原先的平衡状态。 2019年4月18日星期四 10 ?例如，当一个人发生大量失血时，心输出血量减少，血压明显降低，冠状动脉血流量也减少，结果使心肌收缩力减弱，射出血量更少，如此反复，直至死亡。在这个过程中，心肌活动减弱，通过反馈控制，心脏活动更弱，所以是正反馈 ?在自然生态系统中正反馈的实例不多，常见的例子是一个湖泊受到了污染，鱼类的数量就会因为死亡而减少，鱼体死亡腐烂后又会进一步力加重污染并引起更多的鱼2019年4月18日星期四 11 2019年4月18日星期四 12 一、规则网络时空混沌的牵制控制一、规则网络时空混沌的牵制控制 2019年4月18日

7、星期四 13 牵制控制的原始基本思想牵制控制的原始基本思想: : 希望能够仅对网络中的一部分节点直接施加常数输入控制而达到有效抑制整个网络的时空混沌行为的目的. 2019年4月18日星期四 14 牵制控制的可行性问题：牵制控制的可行性问题： 参考文献 1.Wang X F, Chen G R. Pinning control of scale-free dy-namical networks. Physica A, 2002, 310(3-4). 2. Li X, Wang X F, Chen G R. Pinning a complex dynam-ical network to its e

8、quilibrium. IEEE Transactions onCircuits and Systems I, 2004. 这方面的研究目前主要集中在对部分节点施加线性反馈而使得整个动态网络稳定在期望的同步状态 . 在理论方面已经清楚的是 , 只要网络的耦合强度和反馈控制增益合适 , 那么只需控制部分节点就能够实现控制目标. 2019年4月18日星期四 15 有效性问题 即如何选取受控节点才能使得达到控制目标所花的代价尽可能小.这里的代价包括所需直接控制的节点数量、网络耦合强度和反馈控制增益幅值等 . 已有的研究表明, 利用网络的拓扑特性 ,有选择地对网络中少量关键节点直接施加控制要比随机选择

9、部分节点加以控制具有明显优势 . 参考文献 1.Wang X F, Chen G R. Pinning control of scale-free dy-namical networks. Physica A, 2002, 310(3-4). 2. Li X, Wang X F, Chen G R. Pinning a complex dynam-ical network to its equilibrium. IEEE Transactions onCircuits and Systems I, 2004. 2019年4月18日星期四 16 1( )(1) ( )(1)(1)2nnnnxif

10、 x if x if x i?x为系统的状态变量 为系统的时间变量 ni表示映像格子的坐标 ?表示耦合强度 ( )(1)f xxx?表示局域动力学 胡岗等对有L个节点组成的一维离散时间最近邻耦合印象格子进行研究 规则网络的牵制控制规则网络的牵制控制 ?在不同的耦合强度下，系统大致有6 种时空行为 如冻结化随机图案模式、缺陷混沌扩散模式、 完全发展湍流模式、图案选择模式、图案竞争阵发 混沌模式、缺陷湍流模式等。 如在耦合强度为0.8，节点数目为60，f(x)函数中参数为4时，上述系统表现的行为是湍流。如图 2019年4月18日星期四 17 2019年4月18日星期四 18 受控制的状态方程为 1

11、0( )(1) ( )(1)(1)(1)2LInnnnnkxif x if x if x iiIkg?其中I 是相邻的两个被牵制控制节点之间的距离 . L/I 为被牵制节点的个数 . ( )1j?当j = 0时, 否则, ( )0j?规则网络的牵制控制规则网络的牵制控制 2019年4月18日星期四 19 gn是用来控制所牵制节点的反馈控制器 .由于最初考虑的是常数输入 ,所以这种控制称为牵制控制 .后来人们做了适当推广 ,输入已不再限于常数 . 在这个耦合映像格子中 ,一共有L/I 个节点被直接施加了牵制控制.只有对足够多的节点施加牵制控制才能有效地控制时空混沌 . 规则网络的牵制控制规则网络

12、的牵制控制 2019年4月18日星期四 20 规则网络的牵制控制规则网络的牵制控制 Parekh等人针对离散时间耦合映像格子使用了下面的牵制控制方法: 1() (1 ) ( ()( ( 1)( ( 1)()2nnnnnx if x if x if x ip i? ?()np i 其中 是第n个时刻对i节点的牵制强度 ( )()npp iiip?当j = 0时, ( ) 1j?否则, ( )0j?2019年4月18日星期四 21 Parekh研究发现： 只有对网络中的每个节点都施加牵制控制 ,才能将耦合映像格子中的时空混沌稳定到平衡状态 . 比较施加牵制控制的节点的不同分布 ,发现可以通过均匀或

13、随机分布牵制控制节点来达到全局控制时空混沌的效果. 因此, 牵制控制的强度和控制器分布的密度 都决定了耦合映像格子中时空混沌控制的有效性 . 规则网络的牵制控制规则网络的牵制控制 2019年4月18日星期四 22 22 牵制控制的思想同样被用于连续时间系统 . 考虑如下描述的连续时间最近邻耦合网络 规则网络的牵制控制 111100110110( )(2 )(). 1,2,22( )(2 )()22iiiiiiiNNrx f xxxxx x iNrx f xx xxxxx? ?2019年4月18日星期四 23 ?N-1阶矩阵B的N-1个特征值 可以看出： 1.B的最大的特征值比Df要小； 2.参

14、数 和r越大，N越小，矩阵B的最大特征值就越小； 3. 2019年4月18日星期四 24 ?当r不为0时候，有 显然，在Df和矩阵B的最大特征值之间的差为 2019年4月18日星期四 25 2019年4月18日星期四 26 规则网络的牵制控制规则网络的牵制控制 2019年4月18日星期四 27 报告提纲报告提纲 二.无标度网络的牵制控制 2019年4月18日星期四 28 设连续时间耗散耦合动态网络有N个节点， 为 第i个节点的状态变量， 在存在耦合作用下第i个节点所满足的状态方程是 无标度网络的牵制控制无标度网络的牵制控制 2019年4月18日星期四 29 无标度网络的牵制控制无标度网络的牵制

15、控制 2019年4月18日星期四 30 假设网络是连通的 ,那么耦合矩阵A是一个对称且不可约矩阵,它有一个重数为1的零特征根, 而其余特征根均为负实数。 为了将动态网络控制到如下定义的平衡点 希望对占网络节点总数的比例为 的小部分节点实施牵制控制 .这里假设选择节点i1， i2，il作为被牵制控制的节点 , 这里l= 的整数部分. (01)?N?12,( )0Nxxxx f x?无标度网络的牵制控制无标度网络的牵制控制 2019年4月18日星期四 31 被牵制控制的网络状态方程可以写为 无标度网络的牵制控制无标度网络的牵制控制 这里对被牵制控制的节点所施加的是线性状态反馈控制,d 0是反馈增益

16、. 2019年4月18日星期四 32 无标度网络的牵制控制无标度网络的牵制控制 将上方程在由定义的平衡点 处线形化，可以得到方程 ,TXx x xx?( )Df xcB?其中 是f(x)在x处的Jacobi 矩阵B=AD, D =diag(d1,d2, dN), 其中当 时,控制增益dik = d, 而 时di = 0。 2019年4月18日星期四 33 无标度网络的牵制控制无标度网络的牵制控制 这里对被牵制控制的节点所施加的是线性状态反馈控制,d 0是反馈增益.基于线性化方法推知 , 当存在一个常数 使得 是Hurwitz稳定矩阵时,只要耦合强度满足下面的条件 动态网络就可以被牵制控制到平衡

17、点。 2019年4月18日星期四 34 无标度网络的特点是少数节点具有相对很高的度而大部分节点的度相对很低 . 对其一般采用两种不同的牵制策略： 一种是随机牵制(random pinning), 即在网络中随机地选择若干个节点施加牵制控制； 另一种是特定牵制 (specific pinning), 即依次选择网络中度最大的若干节点施加牵制控制 . 二、无标度网络的牵制控制二、无标度网络的牵制控制 2019年4月18日星期四 35 报告提纲报告提纲 三、一般复杂网络的牵制控制 2019年4月18日星期四 36 李翔、汪小帆和陈关荣接着考虑了如下更为一般的动态网络模型 一般复杂网络的牵制控制一般复杂网络的牵制控制 2019年4月18日星期四 37 为了将动态网络控制到平衡点X ，定义如下的牵制控制 一般复杂网络