海淀区初二数学全等三角形经典50题证明

1、海淀名校全等三角形证明经典50题（含答案）1 .已知：ab=4, ac=2, d是bc中点，ad是整数，求ad?解析： 延长ad到e,使de=ad,则三角形adc全等于三角形ebd即 be=ac=2 在三角形 abe 4* ab-beaeab+beb|j：10-22ad10+2 4ad6乂 ad是整数，则ad=52 .已知：d 是 ab 中点，zacb=90 ,求证：cd = iab3 .已知：bc=de, nb=ne, nc=nd, f 是 cd 中点，求证：z1=z2证明：连接bf和efo 因为bc=ed,cf=df,zbcf=zedfo 所以 三角形bcf全等于三角形edf(边角边)。

2、所以bf=ef,zcbf= zdefo连接be。在三角形 bef 中,bf=ef。 所以 zebf=zbefo 乂因为 zabc=zaedo 所以nabe=naeb. 所以ab=ae。 在三角形abf和三角形aef中，ab=ae,bf=ef, zabf= zabe+ zebf= zaeb+zbef= zaefo 所以 三角 形abf和三角形aef全等。 所以zbaf=zeaf (zl=z2)o4 .已知：z1=z2, cd=de, ef/ab,求证：ef=ac证明：过e点，作eg/ac,交ad延长线于g则zdeg=zdca , zdge=z2 又v cd=de，zladcg/gde ( aas

3、 ) .eg=acef/ab azdfe=z1 vz1=z2/.zdfe=zdge ，ef=eg .ef=ac5 .已知：ad 平分nbac, ac=ab+bd,求证：zb=2zcb证明：在ac上截取ae=ab,连接ed .ad平分nbac zead=zbad 乂 vae=ab , ad=ad a jaedzlabd ( sas ) azaed=zb , de=db vaoab+bdac=ae+ce ce=de .zc=zedc v zaed=zc+zedc=2zc /. zb= 2zc6 .已知：ac 平分nbad, cej_ab, zb+zd=180 ,求证：ae=ad+be证明：在ae上

4、取f,使ef=eb,连接cf因为ce_lab所以nceb = ncef =90 因为 eb = ef, ce = ce,所以 cebzscef 所以nb = ncfe因为nb + nd = 18o。，zcfe+zcfa = 18o 所以nd=ncfa 因为 ac 平 分 nbad 所以 ndac=nfac 又因为 ac = ac 所以adc0zafc(sas) 所以 ad=af 所以 ae = af + fe = ad+be12.如图，四边形abcd中，abdc, be、ce分别平分nabc、zbcd,且 点e在ad上。求证：bc=ab+dc0证明:在bc上截取bf=ba,连接ef. nabe

5、=nfbe,be=be,则zabeafbe(sas),zefb=za; ab 平行于 cd, 则:za+zd=180; 乂 nefb+nefc=180。,则zefc=zd;又 nfce=ndce,ce=ce,故以,b c=bf+fc=ab+cd.z1fceadce(aas),fc=cd.所13.己知：ab/ed, zeab=z bde, af=cd , ef=b c,求 证：zf=zc证明：abed,ae/bd 推出 ae=bd, 又看 af=cdef=bc所以三角形aef全等于三角形dcb, 所以:nc=nf14 .已知：ab=cd, na=nd,求证：zb=zc证明：设线段ab,cd所在的

6、直线交于e,（当adbc时，e点 是射线ab,dc的交点则：zkaed是等腰三角形。 所以：ae=de而 ab=cd所以：be=ce （等量加等量，或等曷减等量） 所以：abec是等腰三角形所以：角b=角c.15 .p 是nbac 平分线 ad 上一点，aoab,求证：pc-pbcpbyb，c,而 bc=acab=acab,所以 pc-pb acd. ecd 都面积相等。24.如图，aabc中，nbac=90度，ab=ac, bd是nabc的平分线，bd的延长线垂直 于过c点的直线于e,直线ce交ba的延长线于f.25、如图：df=ce,求证：bd=2ce.证明：延长ba、ce ,两线相交于点

7、f vbe1ce /. zbef=zbec=90 在 a bef 和 zkbec 中 zfbe=zcbe,be=be, zbef=zbec a abef abec(as a) .*.ef=eca cf=2ce ,/ z abd+ z adb=90, z acf+ z cde=90 又v zadb=zcde a zabd=zacf 在 abd 和 acf 中 zabd=zacf,ab=ac,zbad=zcaf=90/. abd g aacf(asa)； bd=cfbd=2cead=bc, zd=zco 求证：zaed即c。26如图：ae、bc交于点m, f点在am上，becf,be=cfo求证：

8、am是aabc的中线。证明：vbeicf a ze=zcfm,zebm=zfcm be=cf/.bemacfmabm=cm am 是仆abc的 中线.27、如图：在aabc中，ba=bc, d是ac的中点。求证：bd_lac。证明：三角形abd和三角形bcd的三条边都相等，它们全等，所以角adb和 角cdb相等，它们的和是180度，所以都是90度，bd垂直n28、ab=ac, ioc, f是ad的延长线上的一点。求证：bf=cf证明：在a abd 与a acd 中 ab=ac bd=dc ad=adabdg/kacd a zadb=zadc a zbdf=zfdc 在 bdf 与a fdc 中

9、abf=fcbd=dc zbdf=zfdc df=df .-.fbdafcd29、如图：ab=cd, ae=df, ce=fbo 求证：af二de。证明：因为 ab=dc ae=df, ce=fb ce+ef=ef+fb所以三角形abe=三角形cdf 因为角 dcb=角abf ab=dcbf=ce 三角形abf=三角形cde所以af=de30 .公园里有一条“z字形道路abcd,如图所示，其中abcd,在ab, cd, bc三段路旁各有一只小石凳e, f, m,且be = cf, m在bc的中点，试说明三只石凳e, f, m恰好在一条直线上.证明： :ab平行cd （已知） azb=zc （两

10、直线平行， 内错角相等）tm在bc的中点（已知）aem=fm （中点定义）在abme和acmf中 be=cf （已知） zb=zc （己证）em=fm （已证）bme 全等与 cmf （sas） zemb=zfmc （全等 三角形的对应角相等）/. zemf= zemb+zbmf= zfmc+ zbmf= zbmc=180 （等式的性质） ，e, m, f在同一直线上31 .己知：点a、f、e、c在同一条直线上，af = ce,（第2题）bedf, be=df.求证： abegzcdf.证明：,.*af=ce - af+ef=ce+ef ae=cf vbe/dfa zbea=zdfc xvbe

11、=dfa z abe j cdf (sas)32.已知：如图所示，ab=ad, bc = dc, e、f分别是dc、bc的中点，求证:ae = afo证明：连结bd,得到等腰三角形abd和等腰三角 形bdc,由等腰两底角相等得:角abc=角adc在 结合已知条件证得：adegzxabf得 ae=af33.如图，在四边形abcd中，e是ac上的一点，n1=n2, n3=n4,求证:n5=n6.证明：因为角1=角2z3=z4所以角adc=角 abc. 乂因为ac是公共边，所以aas=三角形 adc全等于三角形abc.所以bc等于dc,角3 等于角4xc=ec三角形dec全等于三角形bec所以n5=

12、n634.已知阳de, bcef, d, c 在af 上，且 ad=cf,求证：zabczj）ef.证明：因为d,c在af上且ad=cf所以 ac=df 乂因为ab平行de, bc平行ef所以 角a+角edf,角bca=角f （两直线平行，内错 角相等）然后ssa （角角边）三角形全等b e35.已知：如图，ab=ac,bd1ac, ce1ab,垂足分别为d、e, bd、ce相交于点f,求证：be=cd.证明：因为ab=ac, 因为 bdac, ceabbc=cb （公共边）则有三角形ebc全等于三角形所以 zebc=zdcb所以 zbec=zcdbdcb所以be = cdad=ab=5证明：

13、vab=ac36、 如图，在abc中，ad为nbac的平分线，de，ab于e, dfac 于 f。求证：de=df.解析：（aas）证adegaadf37 .已知：如图,ac1bc 于 c,de1 ac 于 e,ad1 ab 于 a,bc=ae.若 ab = 5 ,求ad的长？证明：角c=角e=90度角8=角ead=90度角bacbc=aeabcadae38 .如图：ab=ac, me1ab, mfac, me=mfc 求证：mb=mc:.a abc是等腰三角形： zb=zcxvme=mf, bem和 cem是直角三角形/.bem 全等于 cem amb=mc39 .如图，给出五个等量关系:a

14、d = bcac = bdce = dend = nc ndab = ncba.请你以其中两个为条件，另三个中的一个为结论，推出一个 正确的结论（只需写出一种情况），并加以证明.已知： 求证:证明:已知12求证4 因为ad=bc ac=bd,在四边形adbc中，连ab 所以 adb全等于 bca所以角口=角c以4,5为条件，1为结论。bp：在四边形abcd中，zd=zc, za=zb,求证明：ad=bc 因为 za+zb+zc+zd=360 zd=zc, za=zb, 所以2(na+nd)=360。，na+nd=18(p, 所以 ab/dc40.在abc 中，zacb = 90 , ac =

15、bc ,直线 mn 经过点 c ,且 ad j. mn 于 d , be 1 mne.当直线mn绕点c旋转到图1的位置时，求证：aadc g aceb ； de = ad + be ；当直线mn绕点c旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，说明理由.(1)证明：v zacb=90, ，nacd+nbce=90。， 而 adj_mn 于 d, be1mn 于 e, ，zadc=zceb=90, nbce+ncbe=90。，i. zacd=zcbe. 在 rta adc 和 rta ceb 中，zadc= zcebzacd= zcbe ac=cb,arta adc

16、rta ceb (aas),aad=ce, dc=be, /.de=dc+ce=be+ad ：(2)不成立，证明：在1人口(3和4 ceb 中，nadc=nceb=90onacd=ncbeac=cb, aaadcaceb (aas), aad=ce, dc=be, ade=ce-cd=ad-be；fa/ /41 .如图所示,已知 aelab, aflac, ae=ab, af=ac。 求证：(1) eobf； (2) ecxbf(1)证明;因为ae垂直ab所以角eab=角eac+角cab=90度 因为af垂 直ac所以角caf=角 cab+角baf=90度 所以角eac=角baf因为ae=ab

17、 af=ac所以三角形eac和三角形fab全等 所以ec=bf eca=/fl f(2)延长fb与ec的延长线交于点g因为角64=角f(已证) 所以角6角 caf因为角caf=90度 所以ec垂直bfamlano42 .如图：beac, cfab, bm=ac, cn=abo 求证：(1) am=an： (2)证明：(1) vbe1ac, cf1ab a zabm+zbac=90, zacn+zbac=90 a zabm=zacn vbm=ac,cn=ab /. aabm g anac /. am=an(2)/ aabmanac zbam=zn 丁 zn+zban=90 /. zbam4-zb

18、an=900 即 nman=90。 a am an43 .如图，已知na=nd,ab=de,af=cd,bc=ef.求证:bcef连接bf、ce,证明： abf全等于 dec (sas),然后通过四边形bcef对边相等的证得平行四边形bcef从而求得bc平行于ef44 .如图，已知ac/bd, ea、eb分别平分/cab和ndba, cd过点e,则ab与ac+bd相等吗?请说明理由证明：在ab上取点n ,使得an=aczcae=zean ,ae为公共边，所以三角形cae全 等三角形ean所以nane=nace 乂 ac 平行 bd所以 nace+nbde=180 而 nane+nenb=180

19、所以nenb=nbde znbe=zebn be 为公共 边，所以三角形ebn全等三角形ebd所以 bd=bn 所以 ab=an+bn=ac+bd45、如图,已知:ad是bc上的中线，且df=de.求证:becf.证明： tad 是中线 abd=cd vdf=de,zbde=zcdf .bdeacdf :. zbed=zcfd abeiicf46、已知：如图，ab = cd, deac, bf_lac, e, f 是垂足，de = bf. 求证：abcd.证明：:delac, bf，ac, ，ndec=nafb=90。，dv7c在 rta dec 和 rta bfa 中，de=bf, ab=cd/.rta decrta bfa a ab/cd.：.zc=za47、如图，已知n