24平行四边形全章复习与巩固(提高)知识讲解

1、平行四边形全章复习与巩固(提高)【学习目标】1. 掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念，了解它们之间的关系.2. 探索并掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的有关性质和常用判别方法，并能运用这些知识进行有关的证明和计算.3. 掌握三角形中位线定理.【知识网络】四边形IT 矩形丨方I菱形形平行四边形四边形矩形菱珂姐时的 /石别平荷Z_平行四边形一纽邻边相等两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形(1)(2)(3)(4)4【要点梳理】 要点一、平行四边形1 .定义：2.性质：对边平行且相等； 对角相等；邻角互补;对角线互相平分； 中心对称图形.3 .面积:S平行四边形底 咼4.判定:边:角:(1)

2、 两组对边分别平行的四边形是平行四边形；(2)(3)(4)(5)两组对边分别相等的四边形是平行四边形； 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.两组对角分别相等的四边形是平行四边形； 任意两组邻角分别互补的四边形是平行四边形.(6) 组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形;(7)对角线互相平分的四边形是平行四边形.边与角： 对角线：要点诠释：平行线的性质：(1) 平行线间的距离都相等；(2) 等底等高的平行四边形面积相等 . 要点二、矩形1定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形2.性质：(1)具有平行四边形的所有性质；3.面积:4.判定:(2) 四个角都是直角；(3) 对角线互相平分且

3、相等；(4) 中心对称图形，轴对称图形s矩形=长宽(1)有一个角是直角的平行四边形是矩形(2) 对角线相等的平行四边形是矩形.(3) 有三个角是直角的四边形是矩形.由矩形得直角三角形的性质：要点诠释：(1 )直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；(2)直角三角形中，30度角所对应的直角边等于斜边的一半. 要点三、菱形1. 定义：2. 性质：3.面积:4.判定:要点四、正方形1. 定义：2. 性质：3.面积:4.判定:有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形(1)(2)(3)(4)具有平行四边形的一切性质； 四条边相等；两条对角线互相平分且垂直，并且每一条对角线平分一组对角; 中心对称图形，轴对称图形

4、 .。_庄甘_对角线对角线 s菱形丿氐冋一组邻边相等的平行四边形是菱形； 对角线互相垂直的平行四边形是菱形; 四边相等的四边形是菱形.四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形(1) 对边平行；(2) 四个角都是直角；四条边都相等；对角线互相垂直平分且相等，对角线平分对角；两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形; 中心对称图形，轴对称图形 .1(3)(4)(5)(6)S正方形=边长X边长=X对角线X对角线2(1) 有一个角是直角的菱形是正方形；(2) 组邻边相等的矩形是正方形；(3) 对角线相等的菱形是正方形；(4) 对角线互相垂直的矩形是正方形；(5) 对角线互相垂直平分且相等的

5、四边形是正方形；(6) 四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形【典型例题】类型一、平行四边形1、(2015?海淀区二模)如图 1,在 ABC 中，AB=AC / ABCa, 以 AD为边作 ADE 使 AE=AD / DAEk BAC=180 .D是BC边上一点,F恰好落在求证:DE上,BD=CD(1) 直接写出/ ADE的度数(用含 a的式子表示);(2) 以AB AE为边作平行四边形 ABFE如图2，若点【思路点拨】(1)由在 ABC中，AB=AC/ ABC=a,可求得/ BAC=180 - 2a, 又由AE=AD / DAEy BAC=180，可求得/ DAE=a，继而求得/ AD

6、E 的度数；(2)由四边形 ABFE是平行四边形，易得/ EDCM ABCa，则可得/ ADCM ADEy EDC=90 , 证得ADIBC 又由AB=AC根据三线合一的性质， 即可证得结论； 由在 ABC中，AB=AC/ ABCa,可得/ B=/ C=a,四边形ABFE是平行四边形，可得AE/ BF,AE=BF即可证得：/ EACy C=a,又由(1)可证得 AD=CD又由AD=AE=BF证得结论.【答案与解析】解：(1 )在 ABC 中，AB=A(C/ ABCa,/ BAC=180 - 2a, y DAE-y BAC=180 ,/ DAE=a, AE=AD/ ADE=90 -a；(2 )证

7、明：四边形 ABFE是平行四边形, AB/ EF./ EDCy ABCa,由(1)知，/ ADE=90 -a,/ ADCy ADE-y EDC=90 , ADI BC AB=AC BD=CD证明： AB=AC/ ABCa,.y C=y B=a. 四边形ABFE是平行四边形， AE/ BF, AE=BF y EAcy C=a,由(1)知，y DAE=a, y DACa, y DAcy C. AD=CD AD=AE=BF BF=CD BD=CF【总结升华】此题考查了平行四边形的判定与性质以及等腰三角形的性质与判定. 中证得ADIBC是关键，(2)中证得AD=CD是关键.注意(2)举一反三：【变式】

8、已知 ABC中，AB= 3, AC= 4, 正 ABD 正 ACE和正 BCFBC= 5,分别以AB AC BC为一边在BC边同侧作 求以A、E、F、D四点为顶点围成的四边形的面积.F【答案】证明： AB = 3, AC= 4, BC= 5,/ BAC= 90/ ABD ACEn BCF为正三角形， AB= BD= AD, AC= AE= CE, BC= BF= FC ,/ 1 + / FBA=/ 2+/ FBA= 60/ 1 = / 2易证 BACA BDF (SAS ,dF= AC= AE= 4,/ BDF= 90同理可证 BACA FECAB= AD= EF= 3四边形AEFD是平行四边

9、形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形) DF/ AE, DF丄 BD延长EA交BD于H点，AHX BD贝U H为BD中点3平行四边形 AEFD的面积=DFX DH= 4X = 6.2类型二、矩形E、F、G H分别是 OA OB OC 0D上的点,0D的中点，且 DG丄AC 0F= 2 cm，求矩形、如图，0是矩形ABCD勺对角线的交点,且 AE= BF= CG= DH(1) 求证：四边形 EFGH是矩形；(2) 若 E、F、G H 分别是 0A 0B 0C ABCD的面积.【答案与解析】(1) 证明：四边形 ABCD是矩形,0A= 0B= 0C= OD/ AE= BF= CG= DHC A

10、O- AE= OB- BF= CO- CG= DO- DH 即: OE= OF= OG= OH四边形EFGH是矩形；(2) 解：是OC的中点， GO= GC/ DGL AC/ DG(=/ DG(= 90,又 DG= DG DGO CD= ODF 是 BO中点，OF= 2 cm , BO= 4 cm ,四边形ABCD是矩形，BO= 4 cm ,4 cm , DB= 8 cm , DO= - DC= CB=VDBdC 4/3,矩形ABCD勺面积=4x 4?316j3cm2 .【总结升华】 本题主要考查矩形的判定，首先要判定四边形是平行四边形，然后证明对角线相等.举一反三：【变式】(2015秋?抚州

11、校级期中)在平行四边形 ABCD中,过点D作DEI AB于点E,点F在 边 CD上, DF=BE连接AF, BF.(1)求证：四边形BFDE是矩形；(2 )若 CF=9, BF=12, DF=15,求证：AF 平分/ DAB【答案】 证明：(1 )四边形ABCD为平行四边形, DC/ AB 即 DF/ BE又 DF=BE四边形DEBF为平行四边形，又 DEL AB/ DEB=90 ,四边形DEBF为矩形；(2 )四边形 DEBF为矩形，/ BFC=90 ,/ CF=9 BF=12,BC引 *+12垄15, AD=BC=1,5 AD=DF=15 / DAF/ DFA-AB/ CD./ FAB/

12、DFA./ FAB/ DFA AF 平分/ DAB比在Rt ABC中，/ ACB=90 , BC=4过点A作A. AB且AB=AE过点E分别作EFI ACEDI BC分别交 AC和BC的延长线与点F, D.若FC=5求四边形 ABDE的周长.Z【思路点拨】 首先证明 abca eaf,即可得出 长，进而得出四边形 EFCD是矩形，求出四边形【答案与解析】解：/ ACB=90 , AE1 AB/ 1+/ B=/ 1+/2=90./ B=/ 2./ EFI AC/ 4=/ 5=90./ 3=/4.在A BC和 EAF中，BC=AF AC=EF再利用勾股定理得出 AB的 ABDE的周长即可.JABA

13、E. abca eaf( aas .BC=AF AC=EFBC=4 AF=4FC=5 AC=EF=9在 Rt ABC 中， ab=Jcb2 AC292 届. ae=797 ./ EDI BC/ 7=/ 6=/ 5=90.四边形EFCD是矩形. CD=EF=9 ED=FC=5四边形此题主要考查了全等三角形的判定以及矩形的判定与性质和勾股定理等知识, AC=EF=9是解题关键.ABDE的周长=AB+BD+DE+EA=97 +4+9+5+J97 =18+2 J97 .【总结升华】根据已知得出类型三、菱形(4、如图，平行四边形 ABCD中, AB丄AC AB= 1 , BC=.对角线AC BD相交于点

14、O,将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交 BC, AD于点E, F.(1) 证明：当旋转角为 90时，四边形 ABEF是平行四边形；(2) 试说明在旋转过程中，线段AF与EC总保持相等；(3) 在旋转过程中，四边形 BEDF可能是菱形吗？如果不能，请说明理由；如果能, 说明理由并求出此时 AC绕点O顺时针旋转的度数.【思路点拨】(1)当旋转角为90时，/ AOF=90，由 AB丄AC可得AB/ EF,即可证明 四边形ABEF为平行四边形；(2)证明 AOFA COE即可；(3)当EF丄BD时，四边形BEDF为菱形，又由AB丄AC AB=1, BC=J5 ,易求得 OA=AB即可得/ AOB=45

15、 ,求得/ AOF=45 , 则可得此时AC绕点O顺时针旋转的最小度数为 45.【答案与解析】(1) 证明：当/ AOF= 90 时，AB/ EF,又 AF/ be,四边形abef为平行四边形.(2) 证明：Q四边形ABCD为平行四边形， AO= CO / FAO=/ ECO / AOF=/ COE. AOFA COE AF= CE(3) 四边形BEDF可以是菱形.理由：如图，连接 bf, de由(2)知 AOFA COE 得 OE= OF EF与BD互相平分.当EF丄BD时，四边形BEDF为菱形.在 Rt ABC中，AC2 ,OA= 1 = AB,又 AB丄 AC / AOB= 45/ AO

16、F= 45 , AC绕点0顺时针旋转45时，四边形BEDF为菱形.【总结升华】 要证明四边形是菱形，先证明这个四边形是平行四边形，再利用对角线互相垂直的特征证明该平行四边形是菱形.举一反三：【变式】已知：如图所示，BD ABC的角平分线,EF是BD的垂直平分线,且交 AB于E , 交BC于点F.求证：四边形BFDE是菱形.【答案】证明： EF是BD的垂直平分线， EB=ED / EBD= EDB.又/ EBD= / FBD/ FBD=/ EDB ED/ BF.同理，DF/ BE,四边形BFDE是平行四边形.又 EB=ED四边形BFDE是菱形.接 BE EF.匱求证：EF=BF;在上述条件下，若

17、EBFG勺形状，并证明你的结论.(1)AC=BD G是BD上一点，且 BG: GD=3 1，连接EG FG 试判断四(2)边形【思路点拨】(1)根据平行四边形性质推出BD=2BO推出AB=BO根据三线合一定理得出 BE1 AC在 BEC中，根据直角三角形斜边上中线性质求出EF=BF=CF即可；(2)根据矩形性质和已知求出 G为0D中点，根据三角形中位线求出 EG/ AD EG=1 BC求2出EG/ BC EG=BC,求出BF=EG BF/ EG EG=GF得出平行四边形，根据菱形的判定推2出即可.【答案与解析】(1) 证明：四边形 ABCD是平行四边形， BD=2BO/ BD=2AB AB=B

18、OE为OA中点， BE! AC/ BEC=90 ,F为BC中点， EF=BF=CF 即 EF=BF(2) 四边形EBFG是菱形， 证明：连接CGAC=BD四边形ABCD是平行四边形，四边形ABCD是矩形， AD=BC AB=CD AD/ BQ BD=2BO=2O, BD=2AB=2CDOC=CD BG GD=3 1, OB=ODG为OD中点， CGL OD (三线合一定理)，即/ CGB=90 ,F为BC中点，GF= BC=AD,2 2 E为OA中点，G为OD中点,EG/ AD EGAD,2 EG/ BC EGjBC,2F为BC中点， BF=BC, EG=GF2即 EG/ BF, EG=BF四

19、边形EBFG是平行四边形， EG=GF平行四边形EBFG是菱形(有一组邻边相等的平行四边形是菱形).三角形的中位线,主要考查学生综合运用定理进行【总结升华】 本题考查了平行四边形的性质和判定，矩形性质，菱形性质，直角三角形斜边上中线性质，等腰三角形的性质等知识点，推理的能力，注意：直角三角形斜边上中线等于斜边的一半. 类型四、正方形 超尸6、正方形ABCD勺边长为3, E、F分别是AB BC边上的点，且/ EDF= 45 .将 DAE绕点D逆时针旋转90,得到 DCM(1)求证：EF= FM【答案与解析】解：(1)证明： DAE逆时针旋转90得到 DCM DE= DM / EDMh 90,/ EDH/ FDMh 90,/ EDF= 45,/ FDMM EDF= 45,在 DEF和DMF中，DE DMEDF MDFDF DF DEFA DMF( SAS ,EF= MF；(2)设 EF= MF= x ,/AE= CMh 1，且