最新(1502)黄金分割专项练习30题(有答案).doc

1、精品文档黄金分割专项练习30 题（有答案）22， ABC1定义：如图 1，点 C 在线段 AB 上，若满足 AC =BC ?AB ，则称点 C 为线段 AB 的黄金分割点如图中， AB=AC=1 ， A=36 ， BD 平分 ABC 交 AC 于点 D （ 1）求证：点 D 是线段 AC 的黄金分割点；（ 2）求出线段 AD 的长2如图，用长为40cm 的细铁丝围成一个矩形ABCD （ AB AD ）（ 1）若这个矩形的面积等于99cm2，求 AB 的长度；（ 2）这个矩形的面积可能等于101cm2 吗？若能，求出AB 的长度，若不能，说明理由；（ 3）若这个矩形为黄金矩形（AD 与 AB 之

2、比等于黄金比），求该矩形的面积 （结果保留根号）23定义：如图1，点 C 在线段 AB 上，若满足AC =BC ?AB ，则称点C 为线段 AB 的黄金分割点如图 2， ABC 中， AB=AC=2 ， A=36 ，BD 平分 ABC 交 AC 于点 D（ 1）求证：点 D 是线段 AC 的黄金分割点；（ 2）求出线段 AD 的长精品文档精品文档4作一个等腰三角形，使得腰与底之比为黄金比（ 1）尺规作图并保留作图痕迹；（ 2）写出你的作法；（ 3）证明：腰与底之比为黄金比5（ 1）已知线段AB 的长为 2，P 是 AB 的黄金分割点，求AP 的长；（ 2）求作线段AB 的黄金分割点P，要求尺规

3、作图，且使APPB 6如图，线段AB 的长度为12（ 1）线段 AB 上的点 C 满足系式 AC =BC ?AB ，求线段 AC 的长度；（选做）（ 2）线段 AC 上的点 D 满足关系式 AD 2=CD ?AC ，求线段 AD 的长度；（选做）（ 3）线段 AD 上的点 E 满足关系式 AE 2=DE ?AD ，求线段 AE 的长度；上面各题的结果反映了什么规律？（提示：在每一小题中设x 和 l）7如图，在 ABC 中， AB=AC ， A=36 ， 1= 2，请问点D 是不是线段AC 的黄金分割点请说明理由精品文档精品文档8在 ABC 中， AB=AC=2 ，BC= 1， A=36 ，BD

4、 平分 ABC ，交于 AC 于 D试说明点 D 是线段 AC 的黄金分割点9在数学上称长与宽之比为黄金分割比的矩形为黄金矩形，如在矩形ABCD 中，当时，称矩形 ABCD为黄金矩形ABCD 请你证明黄金矩形是由一个正方形和一个更小的黄金矩形构成10如图，设 AB 是已知线段，在 AB 上作正方形 ABCD ；取 AD 的中点 E，连接 EB；延长 DA 至 F，使 EF=EB ；以线段 AF 为边作正方形 AFGH 则点 H 是 AB 的黄金分割点为什么说上述的方法作出的点H 是这条线段的黄金分割点，你能说出其中的道理吗？请试一试，说一说11如图，已知 ABC 中， D 是 AC 边上一点，

5、 A=36 ， C=72 ， ADB=108 求证：（ 1） AD=BD=BC ；（ 2）点 D 是线段 AC 的黄金分割点精品文档精品文档212已知 AB=2 ，点 C 是 AB 的黄金分割线，点D 在 AB 上，且 AD =BD ?AB ，求的值13如果一个矩形ABCD（ AB BC ）中，0.618，那么这个矩形称为黄金矩形，黄金矩形给人以美感在黄金矩形 ABCD 内作正方形 CDEF ，得到一个小矩形 ABFE （如图），请问矩形 ABFE 是否是黄金矩形？请说明你的结论的正确性14五角星是我们常见的图形，如图所示，其中，点C， D 分别是线段AB 的黄金分割点，AB=20cm ，求

6、EC+CD的长15人的肚脐是人的身高的黄金分割点，一般来讲，当肚脐到脚底的长度与身高的比为 0.618 时，是比较好看的黄金身段一个身高 1.70m 的人，他的肚脐到脚底的长度为多少时才是黄金身段（保留两位小数）？16如图所示，以长为2 的定线段AB 为边作正方形ABCD ，取 AB 的中点 P，连接 PD，在 BA 的延长线上取点F，使 PF=PD，以 AF 为边作正方形 AMEF ，点 M 在 AD 上（ 1）求 AM ， DM 的长；（ 2）点 M 是 AD 的黄金分割点吗？为什么？精品文档精品文档17如图，点 P 是线段 AB 的黄金分割点，且AP BP，设以 AP 为边长的正方形面积

7、为S1，以 PB 为宽和以 AB 为长的矩形面积为S2 ，试比较 S1 与 S2 的大小18如图，在平行四边形ABCD 中， E 为边 AD 延长线上的一点，且D 为 AE 的黄金分割点，即，BE 交 DC 于点 F，已知，求 CF 的长19图 1 是一张宽与长之比为的矩形纸片，我们称这样的矩形为黄金矩形同学们都知道按图2 所示的折叠方法进行折叠，折叠后再展开，可以得到一个正方形ABEF 和一个矩形EFDC ，那么 EFDC 这个矩形还是黄金矩形吗？若是，请根据图2 证明你的结论；若不是，请说明理由20（如图 1），点 P 将线段 AB 分成一条较小线段AP 和一条较大线段BP，如果，那么称点

8、P 为线段 AB 的黄金分割点，设=k，则 k 就是黄金比，并且k0.618精品文档精品文档（ 1）以图 1 中的 AP 为底， BP 为腰得到等腰APB（如图 2），等腰 APB 即为黄金三角形，黄金三角形的定义为：满足0.618 的等腰三角形是黄金三角形；类似地，请你给出黄金矩形的定义：；（ 2）如图 1，设 AB=1 ，请你说明为什么k 约为 0.618；（ 3）由线段的黄金分割点联想到图形的“黄金分割线 ”，类似地给出 “黄金分割线 ”的定义：直线l 将一个面积为S 的图形分成面积为S1 和面积为S2 的两部分（设S1 S2），如果，那么称直线l 为该图形的黄金分割线（如图3），点 P

9、 是线段 AB 的黄金分割点，那么直线CP 是 ABC 的黄金分割线吗？请说明理由；（ 4）图 3 中的 ABC 的黄金分割线有几条？21在人体躯干（脚底到肚脐的长度）与身高的比例上，肚脐是理想的黄金分割点，即比例越接近0.618，越给人以美感张女士原来脚底到肚脐的长度与身高的比为 0.60，她的身高为 1.60m，她应该选择多高的高跟鞋穿上看起来更美？（精确到十分位）22已知线段 AB ，按照如下的方法作图：以 AB 为边作正方形 ABCD 使 EF=EB ，以线段 AF 为边，作正方形 AFGH ，那么点 H 是线段 AB，取 AD 的中点 E，连接 EB，延长 DA 到 F，的黄金分割点

10、吗？请说明理由23如图，用纸折出黄金分割点：裁一张正方的纸片ABCD ，先折出 BC 的中点 E，再折出线段AE ，然后通过折叠使 EB 落到线段 EA 上，折出点 B 的新位置 B ，因而 EB =EB 类似地，在 AB 上折出点 B使 AB =AB 这时 B 就是 AB 的黄金分割点请你证明这个结论精品文档精品文档24如图，用纸折出黄金分割点：裁一张边长为2 的正方形纸片ABCD ，先折出 BC 的中点 E，再折出线段AE ，然后通过折叠使 EB 落在线段 EA 上，折出点 B 的新位置 F，因而 EF=EB 类似的， 在 AB 上折出点 M 使 AM=AF 则 M 是 AB 的黄金分割点

11、吗？若是请你证明，若不是请说明理由25如图，在 ABC 中，点 D 在边 AB 上，且 DB=DC=AC ，已知 ACE=108 ， BC=2 （ 1）求 B 的度数；（ 2）我们把有一个内角等于 36的等腰三角形称为黄金三角形它的腰长与底边长的比（或者底边长与腰长的比）等于黄金比 写出图中所有的黄金三角形，选一个说明理由； 求AD 的长； 在直线 AB 或 BC 上是否存在点P（点 A 、B 除外），使 PDC 是黄金三角形？若存在，在备用图中画出点P，简要说明画出点P 的方法（不要求证明） ；若不存在，说明理由26宽与长的比是的矩形叫黄金矩形心理测试表明：黄金矩形令人赏心悦目，它给我们以协

12、调，匀称的美感现将小波同学在数学活动课中，折叠黄金矩形的方法归纳如下（如图所示）：第一步：作一个正方形ABCD ；第二步：分别取AD ，BC 的中点 M ，N ，连接 MN ；第三步：以N 为圆心， ND 长为半径画弧，交BC 的延长线于E；第四步：过E 作 EF AD ，交 AD 的延长线于F请你根据以上作法，证明矩形DCEF 为黄金矩形精品文档精品文档27在 ABC 中， AB=AC ， A=36 ，把像这样的三角形叫做黄金三角形（ 1）请你设计三种不同的分法，将黄金三角形 ABC 分割成三个等腰三角形，使得分割成的三角形中含有两个黄金三角形（画图工具不限，要求画出分割线段；标出能够说明不

13、同分法所得三角形的内角度数，不要求写画法，不要求证明分别画在图1，图 2，图 3 中）注：两种分法只要有一条分割线段位置不同，就认为是两种不同的分法（ 2）如图 4 中， BF 平分 ABC 交 AC 于 F，取 AB 的中点 E，连接 EF 并延长交 BC 的延长线于 M试判断 CM 与 AB 之间的数量关系？只需说明结果，不用证明答： CM 与 AB 之间的数量关系是28折纸与证明用纸折出黄金分割点：第一步：如图（1），先将一张正方形纸片ABCD 对折，得到折痕EF；再折出矩形BCFE 的对角线BF第二步：如图（2），将 AB 边折到 BF 上，得到折痕BG，试说明点G 为线段 AD 的黄

14、金分割点（AG GD ）29三角形中，顶角等于36的等腰三角形称为黄金三角形，如图1，在 ABC 中，已知： AB=AC ，且 A=36 （ 1）在图 1 中，用尺规作 AB 的垂直平分线交 AC 于 D ，并连接 BD （保留作图痕迹，不写作法） ；（ 2） BCD 是不是黄金三角形？如果是，请给出证明；如果不是，请说明理由；（ 3）设，试求 k 的值；精品文档精品文档（ 4）如图 2，在 A 1B1C1 中，已知A1B 1=A 1C1， A 1=108，且 A 1B 1=AB ，请直接写出的值30如图 1，点 C 将线段 AB 分成两部分，如果，那么称点 C 为线段 AB 的黄金分割点某研

15、究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线 ”，类似地给出 “黄金分割线 ”的定义：直线 l 将一个面积为S 的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S1， S2，如果，那么称直线l 为该图形的黄金分割线（ 1）研究小组猜想：在 ABC 中，若点 D 为 AB 边上的黄金分割点（如图2），则直线 CD 是 ABC 的黄金分割线你认为对吗？为什么？（ 2）请你说明：三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？（ 3）研究小组在进一步探究中发现：过点 C 任作一条直线交AB 于点 E，再过点 D 作直线 DF CE ，交 AC 于点 F，连接 EF（如图 3），则直线 EF 也是 ABC

16、的黄金分割线请你说明理由（ 4）如图 4，点 E 是平行四边形 ABCD 的边 AB 的黄金分割点，过点 E 作 EF AD ，交 DC 于点 F，显然直线 EF是平行四边形 ABCD 的黄金分割线请你画一条平行四边形ABCD 的黄金分割线，使它不经过平行四边形ABCD各边黄金分割点精品文档精品文档黄金分割专项练习30 题参考答案 :1（ 1）证明： AB=AC=1 ， ABC= C=（ 180 A ）=（ 180 36） =72， BD 平分 ABC 交 AC 于点 D， ABD= CBD=ABC=36 ， BDC=180 36 72=72 ， DA=DB ， BD=BC ， AD=BD=B

17、C ，易得 BDC ABC ，2 BC： AC=CD ：BC ，即 BC =CD ?AC ，2点 D 是线段 AC 的黄金分割点；（ 2）设 AD=x ，则 CD=AC AD=1 x， AD 2=CD ?AC ， x2=1 x，解得 x1=， x2=，即 AD 的长为2解：（ 1）设 AB=xcm ，则 AD= （ 20x） cm，根据题意得x（ 20x） =99 ，整理得 x2 20x+99=0 ，解得 x1=9， x2=11，当 x=9 时， 20 x=11；当 x=11 时， 20 11=9，而 ABAD，所以 x=11，即 AB 的长为 11cm；（ 2）不能理由如下：设 AB=xcm

18、 ，则 AD= （ 20 x）cm，根据题意得 x（ 20x） =101 ，整理得 x2 20x+101=0 ，因为 =202 4101= 4 0，所以方程没有实数解，所以这个矩形的面积可能等于101cm2；（ 3）设 AB=xcm ，则 AD= （ 20 x） cm，根据题意得 20 x=x，解得 x=10 （ 1），则 20 x=10（ 3）， 800）cm2所以矩形的面积 =10 （ 1） ?10（ 3） =（ 4003解：（ 1） A=36 ， AB=AC ， ABC= ACB=72 ， BD 平分 ABC ， CBD= ABD=36 ， BDC=72 ， AD=BD ， BC=BD

19、， ABC BDC ，精品文档精品文档=，即=， AD 2=AC ?CD 点 D 是线段 AC 的黄金分割点（ 2）点 D 是线段 AC 的黄金分割点，AD=AC， AC=2 ，AD= 14解：（ 1）腰与底之比为黄金比为黄金比如图，（ 2）作法： 画线段 AB 作为三角形底边； 取 AB 的一半作 AB 的垂线 AC ，连接 BC ，在 BC 上取 CD=CA 分别以 A 点和 B 点为圆心、以 BD 为半径划弧，交点为E； 分别连接 EA、 EB ，则 ABE 即是所求的三角形（ 3）证明：设 AB=2 ，则 AC=1 ，BC=， AE=BE=BD=BC CD= 1，=5解：（ 1）由于

20、P 为线段 AB=2 的黄金分割点，则 AP=2 =1，或 AP=2 （ 1）=3 ；（ 2）如图，点P 是线段 AB 的一个黄金分割点6解：（ 1）设 AC=x ，则 BC=AB AC=1 x， AC 2=BC ?AB ， x2=1（ 1 x），2整理得 x +x 1=0 ，解得 x1=， x2=（舍去），所以线段AC 的长度为；精品文档精品文档（ 2）设线段AD 的长度为x， AC=l ， AD 2=CD ?AC ， x2=l （ l x）， x1=， x2=（舍去），线段 AD 的长度AC ；（ 3）同理得到线段AE 的长度AD ；上面各题的结果反映：若线段 AB 分成两条线段AC 和

21、BC（ AC BC ），且使 AC 是 AB 和 BC 的比例中项 （即 AB ：AC=AC ： BC ），则 C 点为 AB 的黄金分割点7解： D 是 AC 的黄金分割点理由如下：在 ABC 中， AB=AC ， A=36 ， ABC= ACB=72 1= 2， 1= 2=ABC=36 在 BDC 中， BDC=180 2 C=72 ， C= BDC ， BC=BD A=1， AD=BC ABC 和 BDC 中， 2= A ， C= C， ABC BDC ，又 AB=AC ，AD=BC=BD ， AD 2=AC ?CD ，即 D 是 AC 的黄金分割点8证明： AB=AC ， A=36 ，

22、 ABC=（180 36） =72， BD 平分 ABC ，交于 AC 于 D， DBC= ABC= 72=36 ， A=DBC ，又 C= C， BCD ABC ， AB=AC ，精品文档精品文档 = ， AB=AC=2 ， BC= 1，（1） 2=2（ 2 AD ），解得 AD=，AD ：AC= （）： 2点 D 是线段AC 的黄金分割点9证明：在AB 上截取 AE=BC ， DF=BC ，连接 EF AE=BC ， DF=BC ， AE=DF=BC=AD，又 ADF=90 ，四边形 AEFD 是正方形BE=，矩形 BCFE 的宽与长的比是黄金分割比，矩形BCFE是黄金矩形黄金矩形是由一个

23、正方形和一个更小的黄金矩形构成10解：设正方形ABCD 的边长为2，在 Rt AEB 中，依题意，得AE=1 ，AB=2 ，由勾股定理知 EB= ， AH=AF=EF AE=EB AE= 1，HB=AB AH=3 ； AH 2=（） 2=6 2，AB ?HB=2 （ 3）=62， AH 2=AB ?HB ，所以点 H 是线段 AB 的黄金分割点11证明：（ 1） A=36 ， C=72 ， ABC=180 36 72=72 ， ADB=108 ， ABD=180 36 108=36 ， ADB 是等腰三角形，精品文档精品文档 BDC=180 ADC=180 108=72， BDC 是等腰三角形

24、， AD=BD=BC （ 2） DBC= A=36 ， C= C， ABC BDC ， BC： AC=CD ：BC ，2 BC =AC ?DC ， BC=AD ， AD 2=AC ?DC ，点 D 是线段 AC 的黄金分割点212解： D 在 AB 上，且 AD =BD ?AB ，点 D 是 AB 的黄金分割点而点 C 是 AB 的黄金分割点， AC=AB= 1， AD=ABAB=AB=3 或AD= 1，AC=3 ， CD= 1（ 3） =2 4，=或=13解：矩形ABFE 是黄金矩形 AD=BC ， DE=AB ，=1=矩形 ABFE 是黄金矩形14解： D 为 AB 的黄金分割点（AD B

25、D ）， AD=AB=10 10， EC+CD=AC+CD=AD ， EC+CD= （ 10 10）cm 15解：设他的肚脐到脚底的长度为 xm 时才是黄金身段，根据题意得 x： 1.70=0.618 ，即 x=1.70 0.6181.1（m）答：他的肚脐到脚底的长度为1.1m 时才是黄金身段16解：（ 1）在RtAPD中， AP=1 ， AD=2 ，由勾股定理知PD=， AM=AF=PF AP=PD AP= 1，DM=AD AM=3故 AM 的长为 1， DM 的长为3；（ 2）点 M 是 AD 的黄金分割点由于=，点M是AD 17解：点的黄金分割点P 是线段 AB 的黄金分割点，且AP B

26、P，精品文档精品文档2 AP =BP AB ，又 S1=AP 2， S2=PB AB ， S1=S218解：四边形ABCD 为平行四边形， CBF= AEB ， BCF= BAE ， BCF EAB ，即，把 AD=， AB=+1 代入得，=，解得： CF=2故答案为： 219解：矩形EFDC 是黄金矩形，证明：四边形ABEF 是正方形， AB=DC=AF ，又，即点 F 是线段 AD 的黄金分割点，矩形 CDFE 是黄金矩形20解：（ 1）满足0.618 的矩形是黄金矩形；（ 2）由 =k 得， BP=1k=k ，从而 AP=1 k，2由得， BP =AP AB ，即 k2=（ 1k） 1，

27、解得 k=， k 0， k=0.618；（ 3）因为点P 是线段 AB 的黄金分割点，所以，设 ABC 的 AB 上的高为h，则精品文档精品文档，直线 CP 是 ABC 的黄金分割线（ 4）由（ 2）知，在 BC 边上也存在这样的黄金分割点 Q，则 AQ 也是黄金分割线，设 AQ 与 CP 交于点 W ，则过点 W 的直线均是 ABC 的黄金分割线，故黄金分割线有无数条21解：根据已知条件得下半身长是1600.6=96cm ，设选择的高跟鞋的高度是xcm，则根据黄金分割的定义得：=0.618，解得： x7.5cm故她应该选择7.5cm 左右的高跟鞋穿上看起来更美22解：设正方形ABCD 的边长

28、为2a，在 Rt AEB 中，依题意，得AE=a ，AB=2a ，由勾股定理知 EB=a， AH=AF=EF AE=EB AE= （ 1）a，HB=AB AH= （3） a； AH 2=（ 62）a2，2AB ?HB=2a （ 3）a=（ 6 2） a ，AH 2=AB ?HB ，所以点 H 是线段 AB 的黄金分割点23证明：设正方形ABCD 的边长为2，E 为 BC 的中点， BE=1AE=，又 BE=BE=1 ， AB =AE BE= 1，AB 点 B 是线段 AB 的黄金分割点精品文档精品文档24证明：正方形ABCD 的边长为2， E 为 BC 的中点， BE=1AE=， EF=BE=

29、1 ， AF=AE EF= 1， AM=AF= 1，AM ：AB= （1）：2，点 M 是线段 AB 的黄金分割点25解：（ 1） BD=DC=AC 则 B= DCB ， CDA= A 设 B=x ，则 DCB=x ， CDA= A=2x 又 BOC=108 ， B+ A=108 x+2x=108 ， x=36 B=36 ；（ 2） 有三个： BDC ， ADC ， BAC DB=DC ， B=36 ， DBC 是黄金三角形，（或 CD=CA ， ACD=180 CDA A=36 CDA 是黄金三角形或 ACE=108 ， ACB=72 又 A=2x=72 ， A=ACB BA=BC BAC

30、是黄金三角形 BAC 是黄金三角形， BC=2 ， AC= 1 BA=BC=2 ， BD=AC= AD=BA BD=2 （1， 1） =3， 存在，有三个符合条件的点P1、 P2、P3）以 CD 为底边的黄金三角形：作CD 的垂直平分线分别交直线）以 CD 为腰的黄金三角形：以点C 为圆心， CD 为半径作弧与AB 、 BC 得到点BC 的交点为点P1、P2P326证明：在正方形ABCD 中，取 AB=2a ， N 为 BC 的中点，精品文档精品文档 NC=BC=a在 Rt DNC 中，又 NE=ND ， CE=NE NC= （ 1） a故矩形 DCEF 为黄金矩形27解：（ 1）（ 2） CM=AB （ 4 分）28证明：如图，连接GF，设正方形ABCD 的边