高考(全国卷)押 题精粹数学试题(理科)含答案解析

1、泄露天机泄露天机20162016 年高考押题年高考押题 精粹精粹数学理科数学理科本卷共 48 题，三种题型：选择题、填空题和解答题。选择题 30 小题，填空题 4 小题，解答题 14 小题。 1 1.已知集合则等于（ ）22 |log1, |60,axxbx xx ()rab a. b. c. d. | 21xx | 22xx |23xx |2x x 【答案】b【解析】得，|2 ,| 23 ,ax xbxx |2rax x()| 22 .rabxx 2 2. 已知复数的实部为，则复数在复平面上对应的点位于（ 4i1ibzbr1zb）a第一象限 b第二象限 c第三象限 d第四象限【答案】c【解析

2、】试题分析：，则由，得41bizi+=-(4)(1)44(1)(1)22biibbiii412b ，所以，所以，其在复平面上对应点为，位于第6b 1 5zi 75zbi ( 7, 5)三象限.3 3.若复数z满足,则 的实部为（ ）1 i1 iiz za.212 b.21 c.1 d.212【答案】a【解析】由= ,得=,所1 i1 iiz 2i2i( 2i)(1 i)1 i(1 i)(1 i)z2121i22以z的实部为212,故选 a4 4.下列函数中，既是奇函数又在区间上是减函数的是（ ）(0,)2a b. c d 3yxsinyx 21yxcosyx【答案】b【解析】选项 c、d 不是

3、奇函数， 在上都是增函数，只有选项 b 符合.3yxr 5 5.若是图象上不同两点,则下列各点一定在图象上的,a a bb c d lnf xx f x是( )a. b. c. d.,ac bdacbd ，,ac bd,ac bd【答案】c【解析】因为在图象上,所以 ,所以,a a bb c d lnf xxlnbaln ,dc,因此在图象上,故选 clnlnlnbdacac,ac bd lnf xx6 6.双曲线的顶点到渐近线的距离与焦点到渐近线的距离之比为（ ）22:13yc x a. b. c. d.12223332【答案】a【解析】c 顶点到渐近线的距离与焦点到渐近线的距离之比为1,2

4、,ac1.27 7.在区间内随机取两个实数 ，则满足的概率是（ ）1 , 1xy12 xya. b. c. d.92976156【答案】d【解析】由题意知表示的区域为边长为 2 的正方形，面积为 4，满足1111xy 的区域即为图中阴影部分，面积为，12 xy1231111102 112()|33xdxxx 所以所求概率为，故选 d105346p8 8.执行如图所示的程序框图，输出的结果 s 的值是（ ） a2 b c3 d1213【答案】a由程序框图知：；; 2,1si123,212si 1 31,3132si ;11()12,4131 ()2si ，可知 s 出现周期为 4，1132,51

5、1)3si当 时，结束循环输出 s，即输出的 .20174 504 1i 2s 9 9.一个算法的程序框图如右图所示，若输入的 x 值为 2016，则输出的 值为 ( ) ia.3b.4 c.5d.6【答案】a. 3,2016;20162015, 3,20162015;20151, 2,20151; 1,2016ibaibaibia结束，输出【解析】：运转程序，1010.若向量满足，的夹角为 60， 在上的投影等于 ( ),a b| |2abab与a+a ba. b.2 c.d.42233【答案】：c【解析】： 在上的投影为a+a b2222()4263.|2 3()2aabaa bababa

6、a bb1111.不等式组2503020 xyxyxy的解集记为d，11yzx，有下面四个命题： p1：( , )x yd，1z p2：( , )x yd，1zp3：( , )x yd，2z p4：( , )x yd，0z 其中的真命题是 ( )ap1，p2 bp1，p3 cp1，p4 dp2，p3【答案】d【解析】可行域如图所示，a(1，3),b(2，1)，所以所以，故p2，p3 正确，故答案为 d.1212.“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体它由完全相同的四个曲面构成,相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上,好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖

7、)其直观图如下左图,图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线当其主视图和侧视图完全相同时,它的俯视图可能是（ ）i【答案】b【解析】由直观图可知俯视图应为正方形,排除 a,c,又上半部分相邻两曲面的交线看得见,在俯视图中应为实线,故选 b.1313一个几何体的三视图如图 2 所示(单位：cm)，则该几何体的体积是（ ） a. 2333cm b. 2233cm c. 4763cm d.73cm【答案】a【解析】该几何体是棱长为 2 的正方体截去一个三棱锥后所1111abcdabc d11cb ef得的多面体，其体积为11232 2 21 1 2.323v 1414.若数列满足（为常数） ，则称数列

8、为调和数列已知na11na1=ndadnn,*na数列为调和数列，且x1x2x20200，则等于（ ）1nx165xx a10 b20 c30 d40【答案】b【解析】数列为调和数列，是等差数列.1nx111111nnnnxxdxx- nx 又=， .1220200 xxx12020()2xx12020 xx 又.120516516,20 xxxxxx1515.九章算术之后，人们学会了用等差数列的知识来解决问题， 张丘建算经卷上第22 题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第 2 天开始，每天比前一天多织相同量的布） ，第一天织 5 尺布，现一月（按 30 天计）共织 390 尺布” ，则从第

9、2 天起每天比前一天多织（）尺布. a b. c. d.2115831162916【答案】d【解析】设从第 2 天起每天比前一天多织d尺布m , 则由题意知解得 30 2930 5390,2d 16.29d 1616.在某次联考测试中，学生数学成绩，若x21000n,则等于（ ）, 8 . 0)12080( xp)800( xpa0.05 b0.1 c0.15 d0.2【答案】b【解析】由题意知，则由正态分布图象的对称性可知，(80120)0.8p，故选 b1(080)0.5(80120)0.12pxpx1717由 1,2,3,0 组成没有重复数字的三位数，其中 0 不在个位上，则这些三位数的

10、和为（ ） a.2544 b.1332 c.2532 d.1320【答案】a【解析】分两种情况：（1）所有不含 0 的三位数的和为，22123100 10 11332a(2)含 0 且 0 只能在十位上的三位数的和为，那么可得符12123100 11212a合条件的这些三位数之和为.1332 121225441818.已知若=2,则等于（ ） 2cos2 ,21xxf xaxx( )3f()3f a. b. c.0 d. 121【答案】a【解析】因为,所以 2cos221xxf xaxx ,所 222cos22121xxxxf xfxx212cos212cos22112xxxxx 以+=1+=

11、0,( )3f()3f 22cos3 所以()( )2.33ff 1919.函数部分图象如图所示，对不同的，若( )sin 2()2f xaxbaxx,21，有，则（ ） 21xfxf321 xxfa在上是减函数 b在上是减函数 xf5(,)12 12 xf5(,)36c在上是增函数 d在上是增函数 xf5(,)12 12 xf5(,)36【答案】c【解析】由图可知，又由，知函数的图象关于直线2a 21xfxf对称，所以由五点法作图，得，1222xxabx12abxx20a，所以，则2b2ab()f ab，即，所以，所以122sin(2)2sin3f xx3sin23，在上，所以在( )2si

12、n(2)3f xx5(,)12 122(,)32 2x xf上是增函数，故选 c5(,)12 122020若，则的值是（ 7280128112xxaa xa xa x 127aaa ）a. b. c125 d.23131【答案】c【解析】令，得；令，得，即0 x 01a 1x 01282aaaa 又，所以，1283aaa 7787( 2)128ac 12783125aaaa 故选 c2121.设点、分别是双曲线的右顶点、右焦点,直线a,0f c22221(0,0)xyabab交该双曲线的一条渐近线于点若是等腰三角形,则此双曲线的离心率为2axcppaf（ ）a. b. c. d.3322【答案

13、】d【解析】显然,所以由是等腰三角形得.易知pfpapfafpafpaaf, ,所以,a(0)a，p2()aabcc，2222()()()aabacacc222222( ) ()( ) ()()aaaccacacc22( )( )1aacaccca221111.1eeee解得 .故选 d.2e 2222.过抛物线焦点 f 的直线交其于两点，o 为坐标原点若，则2yx4ba,3af的面积为（ ）aob a. b. c. d.22223 222【答案】c【解析】设直线的倾斜角为及，ab(0)bfm3af 点到准线 的距离为 3，,即，则a:1l x 23cos31cos32 2sin3 ，2cos

14、()mm23.1cos2m的面积为 .aob1132 23 2sin1 (3)22232sofab 2323.已知圆，圆，椭圆221:20cxcxy 222:20cxcxy 的焦距为，若圆都在椭圆内，则椭圆离心率的范2222:1(0)xycabab 2c12,c ccc围是（ ）a b c d1 ,1)21(02，2,1)22(02，【答案】b【解析】由题意，得圆的圆心分别为和，半径均为，满足题意的圆与12,c c(,0)c( ,0)cc椭圆的临界位置关系如图所示，则知要使圆都在椭圆内，则需满足不等式，12,c c2ca所以离心率，故选 b102cea2424.已知向量、满足,、分别是ab a

15、cadacabad 2ab 1ad ef线段、的中点若,则向量与向量的夹角为（ ）bccd54de bf ab ada b c d323656【答案】a【解析】.de bf 22115115()()224224cbcdcdcbcb cdcdcb 由,可得,所以,从而2cdab 1bcad 1cos2cb cd ，3cb cd ，.故选 a.3ab ad ，2525.已知函数满足条件：对于，唯一的，使得 0,0, 3xbaxxxxfr1xr2x.当成立时，则实数( ) 21xfxf bfaf32baa. b. c.+3 d.+326262626【答案】d【解析】由题设条件对于，存在唯一的，使得知

16、在r1xr2x 21xfxf xf和上单调，得，且.由有，解0 , 03b0a bfaf3239322a之得，故，选d.26a326ba2626.函数的图象大致为（ ）2lnxyx【答案】d【解析】当时，所以，排除 b、c；当时，由于函数01xln0 x 0y 1x 比随的增长速度快，所以随的增大，的变化也逐渐增大，排2yxlnyxxx2lnxyx除 a，故选 d2727.已知定义在上的函数,为其导数,且恒成立，则（ (0,)2( )f x( )fx( )( )tanf xf xx）a. b. 3 ()2 ()43ff2 ()()64ffc. d.3 ()()63ff 12 () sin16f

17、f【答案】c【解析】因为，所以，则由得(0,)2xsin0,cos0 xx( )( )tanf xf xx，即令，则sin( )( )cosxf xf xxcos( )sin( )0 xf xxf xsin( )=( )xf xf x，所以在上递减，所以2sincos( )sin( )( )=()0( ) ( )xf xxfxf xf xf x ( )f x(0,)2，即，即，故选 c()()63ffsinsin63()()63ff3 ()()63ff2828.若过点与曲线相切的直线有两条,则实数a的取值范围是( ),p a a lnfxxxa. b. c. d. ,ee,10,e1,【答案】

18、b【解析】设切点为,则切线斜率=,所以切线方程为, lnq t tt kft1lnt,把代入得,整理得,显ln1lnytttxt,p a aln1lnatttatlnatt然,所以,设,则问题转化为直线与函数图象有两个0a 1lntat lntg tt1ya g t不同交点,由 ,可得在递增,递减,在处取得极大 21lntg tt g t0,ee,ex 值,结合图象,可得 ,故选 b.1e g t110eeaa2929.已知四边形的对角线相交于一点,则的abcd1, 3ac 3,1bd ab cd 最小值是（ ）a. b. c. d.2424【答案】c【解析】取,则；设,则(0,0)a(1,

19、3)c11( ,)b x y22(,)d xy21213,1.xxyy 所以 ,1122,3,1abx yxy 221,3cdxy 求得,22223131()()2222ab cdxy 当且时,取到最小值,此时四边形的对角1131,231,2xy2231,2312xyab cd 2abcd线恰好相交于一点,故选 c.3030.定义在上的函数对任意都有，且函数r f x1212,x xxx 12120f xf xxx的图象关于（1,0）成中心对称，若满足不等式1yf x, s t，则当时，的取值范围是（ ）2222f ssftt 14s2tssta b c d13,213,215,215,2【答

20、案】d【解析】不妨设，则由，知，即12xx120 xx1212()()0f xf xxx12()()0f xf x，所以函数为减函数因为函数的图象关于成中心12()()f xf x( )f x(1)yf x(1,0)对称，所以为奇函数，所以，所以( )yf x222(2 )(2)(2 )f ssfttf tt ，即因为，而在条件2222sstt()(2)0st st 233111tsstststs 下，易求得，所以，所以，()(2)014st sts 1,12ts 11 ,22ts33 ,621ts所以，即，故选 d311 5,21ts 21 5,2tsst 3131.已知边长为的正的三个顶点

21、都在球的表面上，且与平面所成的角3abcooaabc 为，则球的表面积为_30o【答案】16【解析】设正的外接圆圆心为，abc1o易知，在中，13ao 1rt oo a，故球的表面积为.12cos30o aoa o242163232.设,当实数满足不等式组时，目标函数的最大值等于1myx,12yxxyxymyxz2，则的值是_m【答案】52【解析】根据不等式组画出可行域为图中阴影部分，目标函数可写为，因1zyxmm 为，所以，将函数的图象平移经过可行域时，在点1m 110m 1yxm g处取最大值，此时，所以有，解得.1 2( , )3 3y2z 12233m52m 3333.已知数列中,对任

22、意的,若满足（为常数）,则na*nn123nnnnaaaass称该数列为阶等和数列,其中为阶公和；若满足（ 为常数）,则称4s412nnnaaatt该数列为阶等积数列,其中 为阶公积,已知数列为首项为 的阶等和数列,且满3t3np14足；数列为公积为 的阶等积数列,且,设为数列3423212ppppppnq13121qq ns的前项和,则 _nnpqn2016s【答案】2520【解析】由题意可知,11p 22p 34p 48p 51p 62p 74p 88p 91p 102p,又是 4 阶等和数列,因此该数列将会照此规律循环114p 128p131pnp下去,同理,11q 21q 31q 41

23、q 51q 61q 71q 81q 91q 101q ,又是 3 阶等积数列,因此该数列将会照此规律循环111q 121q131q nq下去,由此可知对于数列,每 12 项的和循环一次,易求出nnpq,因此中有 168 组循环结构,故11221212.15p qpqpq 2016s201615 1682520s 3434.用表示自然数的所有因数中最大的那个奇数，例如：9 的因数有 1,3,9， g nn的因数有 1,2,5,10，那么 99,10g 105g . 201512321gggg【答案】2015413【解析】由的定义易知当为偶数时，且当为奇数时，( )g nn( )( )2ng ng

24、n令，则( )g nn( )(1)f ng(2)(3)(21)nggg1(1)(1)(2)(3)(21)nf ngggg11 3(21)n 1(2)(4)(22)nggg，即112 (121)(1)(2)(4)(22)4( )2nnnnggggf n(1)f n，分别取为并累加( )4nf n n1,2,n得又1，所以24(1)(1)444(41)3nnf nf(1)(1)fg，所以4(1)(41)13nf n( )(1)(2)(3)(21)nf ngggg令，得14(41)13n2015n 2015201541(1)(2)(3)(21)3gggg3535.（本小题满分 12 分）在中，角所对

25、的边分别为，已知.abc, ,a b c, ,a b c2cos14sinsinbcbc (1)求；a(2)若，的面积，求.2 7a abc2 3bc【答案】：（1）， （2）.236bc【解析】：（1）由，2cos14sinsinbcbc 得，2 coscossinsin4sinsin1bcbcbc即，亦即，.2 coscossinsin1bcbc2cos1bc1cos2bc,.0,3bcbcabc23a（2）由（1）得.由，得.23a2 3s 12sin2 3,823bcbc由余弦定理，得，2222cosabcbca22222 72cos3bcbc即.,将代入，2228bcbc228bcb

26、c得，. 2828bc6bc3636.（本小题满分 12 分）如图，在中，点在边上，.abcdbc,4cad27ac102cosadb（1）求的值；csin（2）若的面积为，求的长.abd7ab【答案】 （1）；（2）4537【解析】 （1）因为，所以.又因为所以102cosadb1027sinadb,4cad所以,4adbc4sincos4cossin)4sin(sinadbadbadbc.5422102221027（2）在中，由正弦定理得，adcadcaccadsinsin故.2210275427sinsin)sin(sinsinsinadbcacadbcacadccacad又解得., 7

27、10272221sin21bdadbabadsabd5bd在中，由余弦定理得adb.37)102(5222258cos2222adbbdadbdadab3737.（本小题满分 12 分）已知公差不为的等差数列中，且成等比数列.0na12a 2481,1,1aaa(1)求数列通项公式； na(2)设数列满足，求适合方程的正整数的值.nb3nnba1 22 3145.32nnbbb bb bn【答案】 （1）；（2） 31nan10.【解析】：(1)设等差数列的公差为，由，得nad2481,1,1aaa解得或（舍） ，2(33 )(3)(37 ),ddd3d 0d 故 1(1)23(1)31.na

28、andnn(2)由（1）知，331nbn19113().(31)(32)3132nnb bnnnn1 22 31111111119.3(+)3(),2558313223264nnnbbb bb bnnnn依题有解得 945,6432nn10.n 3838.（本小题满分 12 分）设，数列的前n项和为，已知，成等比数列.*nn nans12nnnssa125,a a a（1）求数列的通项公式； na（2）若数列满足，求数列的前项和. nb1( 2)nannba nbnnt【答案】 （1）；（2）21nan1(23)26nntn【解析】(1)由得：，12nnnssa*12()nnaann数列是以为

29、首项，2 为公差的等差数列， na1a由成等比数列得=(+8)，解得=1，125,a a a )2(1a1a1a1a.*21()nannn（2）由(1)可得，2(21) ( 2)(21)2nnnbnn1231.,nnntbbbbb即，1231 23 25 2.(21) 2nntn ，23121 23 2.(23) 2(21) 2nnntnn -可得23122(22.2 )(21)2,nnntn.1(23)26nntn3939.（本小题满分 12 分）近年来我国电子商务行业迎来发展的新机遇,2015 年双 11 期间,某购物平台的销售业绩高达 918 亿人民币.与此同时,相关管理部门推出了针对电

30、商的商品和服务的评价体系.现从评价系统中选出 200 次成功交易,并对其评价进行统计,对商品的好评率为 0.6,对服务的好评率为 0.75,其中对商品和服务都做出好评的交易为 80 次.(1)能否在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下,认为商品好评与服务好评有关？(2)若将频率视为概率,某人在该购物平台上进行的 5 次购物中,设对商品和服务全好评的次数为随机变量：x求对商品和服务全好评的次数的分布列（概率用组合数算式表示） ；x求的数学期望和方差.x2()0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

31、p kkk（,其中）22()()()()()n adbckab cd ac bdnabcd 【答案】 （1）能在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下，认为商品好评与服务好评有关； （2）x012345p53( )514523( )( )55c223523( ) ( )55c332523( ) ( )55c441523( ) ( )55c52( )5 ()2,e x 6().5d x 【解析】：（1）由题意可得关于商品和服务评价的 22 列联表如下：对服务好评对服务不满意合计对商品好评8040120对商品不满意701080合计1505020022200 (80 1040 70)11.1111

32、0.828,150 50 120 80k故能在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下，认为商品好评与服务好评有关.(2)每次购物时,对商品和服务都好评的概率为,且的取值可以是 0,1,2,3,4,5. 25x其中；53(0)( )5p x 14523(1)( )( )55p xc223523(2)( ) ( )55p xc；.332523(3)( ) ( )55p xc441523(4)( ) ( )55p xc52(5)( )5p x 的分布列为：xx012345p53( )514523( )( )55c223523( ) ( )55c332523( ) ( )55c441523( ) (

33、 )55c52( )5由于,则2(5, )5xb2()52,5e x 226()5(1).555d x 4040.（本小题满分 12 分）某市组织高一全体学生参加计算机操作比赛，等级分为 1 至 10 分，随机调阅了a、b两所学校各 60 名学生的成绩，得到样本数据如下：（1）计算两校样本数据的均值和方差，并根据所得数据进行比较； (2) 记事件为“校学生计算机优秀成绩高于校学生计算机优秀成绩” 假设 7 分或cab7 分以上为优秀成绩，两校学生计算机成绩相互独立根据所给样本数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求事件的概率c【答案】 （1）（2）.1.5,abxx21.5,as 21

34、.8;bs ( )0.02p c 【解析】：（1）从 a 校样本数据的条形图可知：成绩分别为 4 分、5 分、6 分、7 分、8 分、9 分的学生分别有：6 人、15 人、21 人、12 人、3 人、3 人. a 校样本的平均成绩为（分） ，4 65 156 217 128 39 3660ax a 校样本的方差为. 22216 (46)3 (96)1.560as 从 b 校样本数据统计表可知：b 校样本的平均成绩为（分） ，4 95 126 217 98 69 3660bx b 校样本的方差为. 22219 (46)3 (96)1.860bs 因为所以两校学生的计算机成绩平均分相同，又因为，所

35、以 a 校的学生,abxx22abss的计算机成绩比较稳定，总体得分情况比 b 校好. (2) 记表示事件“a 校学生计算机成绩为 8 分或 9 分” ，1ac表示事件“a 校学生计算机成绩为 9 分” ，2ac表示事件“b 校学生计算机成绩为 7 分” ，表示事件“b 校学生计算机成绩为 8 分” ，1bc2bc则与独立，与独立，与互斥， 1ac1bc2ac2bc1bc2bc1122babacc cc c1122( )()babap cp c cc c1122()()babap c cp c c1122() ()() ()babap cp cp cp c 由所给数据得，发生的概率分别为1ac

36、2ac1bc2bc，1()ap c6=602()=ap c36019()=60bp c26()60bp c故 9663( )=+0.0260606060p c4141.（本小题满分 12 分）如图，已知矩形所在平面垂直于直角梯形所在平面，平面平面abcdabpeabcd=，且，且abpeab2,1abbpadae,aeabaebp（1）设点为棱中点，求证：平面；mpdemabcd（2）线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值等于？若pdnbnpcd25存在，试确定点的位置；若不存在，请说明理由n【答案】：（1）证明见解析；（2）当点与点重合时，直线与平面所成角ndbnpcd的正弦值为，

37、理由见解析25【解析】：（1）证明：（方法一）由已知，平面平面，且，abcd abpebcab则平面，所以两两垂直，故以为原点，分别为bc abpe,ba bp bcb,ba bp bc 轴，轴，轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系xyz则，所以1(0,2,0),(2,0,1),(1,1, ),(2,1,0),(0,0,1)2pdmec1=( 1,0, )2em 易知平面的一个法向量等于，abcd(0,1,0)n 因为，所以，1=( 1,0, ) (0,1,0)02em n emn 又平面，所以平面emabcdemabcd（方法二）由已知，平面平面，且，则平面，abcd abpebcabbc

38、 abpe所以两两垂直连结，其交点记为，连结，,ba bp bc,ac bdomoem因为四边形为矩形，abcd所以为中点因为为中点，obdmpd所以，且ompb12ompb又因为，且，aepb12aepb所以，且=aeomaeom所以四边形是平行四边形，所以.aemoemao因为平面，平面，所以平面emabcdao abcdemabcd（2）当点与点重合时，直线与平面所成角的正弦值为ndbnpcd25理由如下：因为，设平面的一个法向量为，(2, 2,1),(2,0,0)pdcd pcd1111( ,)nx y z由得110,0n pdn cd 1111220,20.xyzx取，得平面的一个法

39、向量11y pcd1(0,1,2)n 假设线段上存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值等于pdnbnpcd25设，(01)pnpd 则，(2, 2,1)(2 , 2 , )pn (2 ,22 , )bnbppn 所以111|sin|cos,| |bn nbn nbnn 222222255(2 )(22 )( )5984所以，解得或（舍去） 29810 119 因此，线段上存在一点，当点与点重合时，直线与平面所成角的正pdnndbnpcd弦值等于254242.（本小题满分 12 分） 正方形与梯形所在平面互相垂直，adefabcd,/ /,adcd abcd，点在线段上且不与重合122abadc

40、dmecce,（1）当点是中点时，求证：；mecadefbm平面/（2）当平面与平面所成锐二面角的余弦值为时，求三棱锥的bdmabf66bdem 体积【答案】：（1）证明见解析；（2）4.3【解析】：（1）由题意：以点为坐标原点，方向为轴，为轴，为ddaxdcyde轴建立空间直角坐标系，则，z2,0,0 ,2,2,0 ,0,4,0 ,0,0,2 ,0,2,1abcem，平面的一个法向量，2,0,1bm adef0,4,0dc ，即0bm dc bmdc /bmadef平面（2）设，故点， 0,4, 20,4 , 2emtecttt 0,4 ,2201mttt 设平面的一个法向量，则bdmzyx

41、n,111220,4220db nxydm ntyt z 令，则，易知平面的一个法向量，1y 121, 1,1tntabf21,0,0n ，解得，1212212216cos,6421n nn nnntt 12t 为的中点，到面的距离，1 , 2 , 0mbc221cdmdbmssbdem2h14.33mbdedemvsh4343.（本小题满分 12 分）已知点f是椭圆)0( 11222ayax的右焦点，点( , 0)m m、(0, )nn分别是x轴、y轴上的动点，且满足0 nfmn若点p满足poonom 2（1）求点p的轨迹c的方程；（2）设过点f任作一直线与点p的轨迹交于a、b两点，直线oa

42、、ob与直线ax分别交于点s、t（o为坐标原点） ，试判断fs ft 是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由【答案】 （1）axy42；（2）fs ft 的值是定值，且定值为0 【解析】 （1）椭圆)0( 11222ayax右焦点f的坐标为( , 0)a，( ,)nfan(, )mnm n ，由0 nfmn，得02 amn 设点p的坐标为),(yx，由poonom 2，有( , 0)2(0, )(,)mnxy ，.2,ynxm代入02 amn，得axy42 （2）(法一)设直线ab的方程为xtya，211(,)4yaya、222(,)4ybya，则xyayloa14:，xyaylo

43、b24: 由axxyay,41，得214(,)asay， 同理得224(,)atay214( 2 ,)afsay ，224( 2 ,)aftay ，则4212164afs ftay y 由axyatyx4,2，得04422aatyy，2124y ya 则044)4(16422242aaaaaftfs 因此，fs ft 的值是定值，且定值为0 (法二)当abx时， ( , 2 )a aa、( ,2 )b aa，则:2oalyx， :2oblyx 由2 ,yxxa 得点s的坐标为(,2 )saa，则( 2 ,2 )fsaa 由2 ,yxxa 得点t的坐标为(, 2 )taa，则( 2 , 2 )f

44、taa ( 2 ) ( 2 )( 2 )20fs ftaaaa 当ab不垂直x轴时，设直线ab的方程为()(0)yk xa k，),4(121yaya、),4(222yayb，同解法一，得4212164afs ftay y 由2(),4yk xayax，得22440kyayka，2124y ya 则044)4(16422242aaaaaftfs 因此，fs ft 的值是定值，且定值为0 4444.（本小题满分 12 分）以椭圆的离心率为，以其四个顶点为顶点的四边形的面积等于2222:1(0)xycabab63.2 3（1）求椭圆的标准方程；c（2）过原点且斜率不为的直线 与椭圆交于两点，是椭圆

45、的右顶点，直线0lcqp,ac分别与轴交于点，问：以为直径的圆是否恒过轴上的定点？若aqap、ynm、mnx恒过轴上的定点，请求出该定点的坐标；若不恒过轴上的定点，请说明理由.xx【答案】 （1）（2）以为直径的圆恒过轴上的定点，. 2213xy ；mnx( 1,0)(1,0)【解析】 （1）依题意，得 2226,3,3cababca又解得故椭圆的标准方程为. 3,1,abc2213xy（2），设，( 3,0)a(0,)mm(0, )nn00(,)p xy则由题意，可得（1） ，220013xy且，.00(,)qxy00(3,)apxy (3,)amm 因为三点共线，所以，, ,a p map

46、am 故有，解得；同理，可得. 00(3)3xmy 0033ymx0033ynx假设存在满足题意的轴上的定点，则有，即.x( ,0)r trmrn 0rm rn 因为，(,)rmt m (, )rnt n 所以，即，整理得，20tmn2000033033yytxx2202033ytx 又由（1） ，得，所以，解得或. 220033yx21t 1t 1t 故以为直径的圆恒过轴上的定点,. mnx( 1,0)(1,0)方法二：（1）同方法一；（2）当直线 的斜率不存在时，有，此时以l(0,1)p(0, 1)q(0,1)m(0, 1)n为直径的圆经过轴上的点和； mnx( 1,0)(1,0)当直线

47、的斜率存在时，设直线 的方程为，llykx联立方程组，解得，.221,3,xyykx2233(,)3131kpkk2233(,)3131kqkk设，(0,)mm(0, )nn又直线的斜率，直线的斜率，ap12131kkkam23mk 因为三点共线，所以，解得得，, ,a p m12kk2331 1kmk 同理，可得， 2331 1knk 假设存在满足题意的轴上的定点，则有，x( ,0)r trmrn直线的斜率，直线的斜率，rm3mkt rn4nkt 所以，故有，即，341k k 2tmn 2223331 131 1kktkk 整理，得，解得或，21t 1t 1t 综合，可知以为直径的圆恒过轴上

48、的定点，. mnx( 1,0)(1,0)4545.（本小题满分 12 分）已知函数（） ln3f xaxax0a （1）讨论的单调性； f x（2）若对任意恒成立，求实数的取值范围（为 140f xaxe2,xe eae自然常数） ；（3）求证：（，2222ln 21ln 31ln 41ln112ln !nn 2n ） n【答案】：（1）当0a时，增区间为0,1，减区间为1,；当0a时，增区间为1,，减区间为0,1；（2）；（3）见解析212eea【解析】：（1），)0()1 ()(xxxaxf当时，的单调增区间为，单调减区间为；0a)(xf 1 , 0(), 1 当时，的单调增区间为，单调减

49、区间为0a)(xf), 1 1 , 0(（2）令( )ln34ln1,f xaxaxaxxeaxxe . 0)(xaxxf 若，是增函数，ea ea)(xf上在2,ee无解21, 012)()(222maxeeaeeaefxf若，在上是减函数；在上是增函数，2eaeeae2)(xf,ae ,2ea. 1, 01)(aaef,21, 012)(222eeaeeaef.2122eeae若，在上是减函数，2ea 2ea)(xf,2ee，1, 01)()(maxaaefxf.2ea综上所述.212eea（3）令（或） ，此时，所以，1a 1a ( )ln3f xxx (1)2f 由（1）知在上单调递增

50、，当时，( )ln3f xxx (1,)(1,)x，即，对一切成立，( )(1)f xfln10 xx ln1xx(1,)x2,n*nn，则有2211111ln(1)(1)1nnnnnn，要证，2222ln(21)ln(31)ln(41)ln(1)12ln !(2,)nn nnn 只需证22221111ln(1)ln(1)ln(1)ln(1)1(2,),234nnnn2222111111111111ln(1)ln(1)ln(1)ln(1)(1)()()()11.234223341nnnn 所以原不等式成立4646.（本小题满分 12 分）已知函数.（常数且）.( )(1)()xf xa xea

51、ra0a （1）证明：当时，函数有且只有一个极值点；0a xf（2）若函数存在两个极值点，证明：且. xf12,x x 2140exf 2240exf【解答】：依题意，( )(1) ()(1)() (),xxxfxa xeaxeaa x ea 令，则. ( )()xh xa x ea( )(1)xh xa xe（1）当时，故，所以在不0 x 0 xx e 0a ( )( )0h xfx( )fx(,0)上存在零点，则函数在不存在极值点； )(xf(,0)上当时，由，故在单调递增. 又0 x ( )(1)0 xh xa xe( )h x0,) 上，2(0)0ha 2( )()(1)0aah aa

52、 a eaae所以在有且只有一个零点. ( )( )h xfx0,) 上 又注意到在的零点左侧，在的零点右侧，( )fx( )0fx( )fx( )0fx所以函数在有且只有一个极值点. )(xf0,)综上所述，当时，函数在内有且只有一个极值点. 0a )(xf(,) （2）因为函数存在两个极值点,（不妨设） ，)(xf1x2x12xx所以,是的两个零点，且由（1）知，必有. 1x2x( )( )h xfx0a 令得；( )(1)0 xh xa xe1x 令得；( )(1)0 xh xa xe1x 令得.( )(1)0 xh xa xe1x 所以在单调递增，在单调递减， ( )( )h xfx(

53、, 1 1,) tabcdmn又因为，2(0)(0)0hfa 所以必有. 1210 xx 令，解得，( )()0tf ta t eatat e 此时.22232( )(1)()(1)()(1)(2)ttttttf ta teate tetee t tettt 因为是的两个零点，12,x x( )( )h xfx所以，. 12321111( )(2)xf xexxx 22322222()(2)xf xexxx 将代数式视为以 为自变量的函数，232(2)tetttt232( )(2)tg tettt 则.22( )(1)(21)tg tett 当时，因为，所以，1t 2210,210,0ttte

54、 ( )0g t 则在单调递增.( )g t(, 1) 因为，所以，11x 1124()()( 1)f xg xge又因为，所以. 122111( )(1)0 xf xex x 1240()f xe当时，因为，所以，10t 2210,210,0ttte ( )0g t 则在单调递减，( )g t( 1,0)因为，所以. 210 x 22240(0)()()( 1)gg xf xge综上知，且 1240()f xe2240()f xe4747.（本小题满分 10 分）从下列三题中选做一题(1).选修 4-1：几何证明选讲如图所示，两个圆相内切于点，公切线为，外圆的弦，分别交内圆于、ttntctda两点，并且外圆的弦恰切内圆于点.bcdm(1)证明：；/abcd(2)证明：.ac mdbd cm【解答】：（1）由弦切角定理可知，, ntbtab 同理，,所以,ntbtcd tcdtab 所以. / /abcd（2）连接 tm、am,因为 cd 是切内圆于点 m，所以由弦切角定理知，cmaatm 又由（1）知，/abcdtabcdmn所以，又,cmamab mtdmab 所以. m