方差协方差与相关系数

1、 2方差、协方差与相关系数一、万差二、协方差三、相关系数四、矩、方差比较甲乙两人的射击技术,已知两人每次击中环数分789100.2040.201 丿(189 :布为 ：01 0.6 01问哪一个技术较好？首先看两人平均击中环数,此时E 二E =8，从均值来看无法分辩孰优孰劣但从直观上看，甲基本上稳定在 8环左右，而乙却一会儿击中10环，一会儿击 中6环，较不稳定.因此从直观上可以讲甲的射击技术较好.上例说明：对一随机变量，除考虑它的平均取值外，还要考虑它取值的离散 程度.称-E为随机变量对于均值E的离差(deviation)，它是一随机变量为了给出一个描述离散程度的数值，考虑用，但由于E -

2、E 二E - E丄。对一切随机变量均成立，即 的离差正负相消，因此用E E 是不恰当的.我们改用E - E 2描述取值 的离散程度，这就是方 差.定义1若E -E 2存在，为有限值，就称它是随机变量的方差(varianee)，记作 Var ,Var_E-E 2(1)但Va的量纲与不同，为了统一量纲，有时用 W，称为 的标准差(sta ndard deviati on).2方差是随机变量函数（-E-）的数学期望，由的 式，即可写出方差的计算公式: .2Var=-ZE)dF(x) =进一步，注意到乞(x E：)2P( =xj,离散型,-ij(x El)2pE(x)dx,连续型.v “ 2e(E-e

3、E)=E 店2 2芒EE+(E： )2=址2(E)即有Var =E E .许多情况，用（3）式计算方差较方便些.例1（续）计算例1中的方差Var与Var .解利用式VarE“=i * 卩 X)=72 r.1+ 82 x 0.8+ 92 0.1=64.2, JEE2-(E 叮=64.2- 82=0.2.2 2同理，Var =E - E = 65.2-64 = 1.2 Var ,所以 取值较分散.这说明甲的射击技术较好.例2试计算泊松分布P（ A的方差.:,k:, kE 2 k2 e k e_ 解k =0k! k (k -1)!:_k:_十 一-j 2EoO 7 j 、oO y j _八 j_ee

4、_，j j!j j!所以 Var =/，_，= $.例3设 服从a, b 上的均匀分布U a, b，求Var .Et 解2 1 dx 二1 a2 ab b2J b -a 3Var212 2 1 1 2 广3（a +ab+b ）愕a + bj =-a2例4设.服从正态分布N比二，求Var .解此时用公式，由于E =aVar =E（ -a）21dx_a）2/2；/；（x）一.2/dx2 CF2,/2dz可见正态分布中参数二2-be-bee_o0-Q02CJ.r r、.、/.dz一 2=_2.z2/2 ze2：c就是标准差.方差也有若干简单而重要的性质先介绍一个不等式.切贝雪夫(Chebyshev)

5、不等式若随机变量的方差存在，则对任意给定的正数，恒有证设的分布函数为F x，则（x - E ：）1 (xE)dF(x)2名2 S=Var G/ e2这就得式切贝雪夫不等式无论从证明方法上还是从结论上都有一定意义事实上，该式断言落在_：, ；与E；,内的概率小于等于Var；2，或者说，P（卩-E| ）=仁恨dF（x）兰仁护dF（x）由切贝雪夫不等式,)2性质3若则 VarE&-/Var =e 2-(E )2,而 E( gc)2=E 2-2c2+c两边相减得 的离散度最小.Var E -C 2 一 E，-八：0.这说明随机变量g对数学期望E落在区间(E-,E-+名)内的概率大于i-Vart/孑，从

6、而只用数学期望和方差 就可对上述概率进行估计例如，取& =3、Var，则P(| E：| 兰)H1 Varr/(37V00.89.2当然这个估计还是比较粗糙的(当N 0,匚 时，在第二章曾经指出,P(| g E | 乞3Var )=P(| a| a2：x|x1e*2：2dxJ_aO 1因此,特别,E n = 22kk! 2kE、2，EZ2.因此,n： n,方差P(x)=血再如，马克斯威尔分布具有密度n = 2k 1, n 二 2k.那么E n因此,1 3 山(n 1)；,(k 1)!2k 1n = 2k, n = 2k 1.特别,EE 2例11.如果服从参数为的指数分布，那么 对于k-1 ,根据

7、递推关系得=(bCxvxdx0Ekk!k即指数分布的任意阶矩存在仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途For personal use only in study and research; not for commercial use.Nur f u r den pers?nlichen f u r Studien, Forschzugcommerziellen Zwecken verwendet werden.Pour l e tude et la recherche uniquementa des fins personnelles; pasa des fins commerciale

8、s.to员bko gA.nrogeHKO TOpMenob3ymrnflCH6yHeHuac egoB u HHuefigoHMucno 员 B30BaTbCEb KOMMepqeckuxqe 员 ex.仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途For personal use only in study and research; not for commercial use.Nur f u r den pers?nlichen f u r Studien, Forschung, zu kommerziellen Zvcfeen verwendet werden.Pour l e tude et la recherche uniquementa des fins personnelles;