完整版变速问题带答案

1、3-2-6.变速问题.题库教师版page 26 of 14教学目标1、能够利用以前学习的知识理清变速变道问题的关键点2、能够利用线段图、算术、方程方法解决变速变道等综合行程题。3、变速变道问题的关键是如何处理“变”知识精讲变速变道问题属于行程中的综合题，用到了比例、分步、分段处理等多种处理问题等解题方法。对于 这种分段变速问题，利用算术方法、折线图法和方程方法解题各有特点。算术方法对于运动过程的把握非常细致，但必须一步一步来；折线图则显得非常直观，每一次相遇点的位置也易于确定；方程的优点在于无需考虑得非常仔细，只需要知道变速点就可以列出等量关系式，把大量的推理过程 转化成了计算.行程问题常用的

2、解题方法有 公式法即根据常用的行程问题的公式进行求解，这种方法看似简单，其实也有很多技巧，使用公式不仅包括 公式的原形，也包括公式的各种变形形式；有时条件不是直接给出的，这就需要对公式非常熟悉，可以推 知需要的条件；图示法在一些复杂的行程问题中， 为了明确过程，常用示意图作为辅助工具. 示意图包括线段图和折线图. 示法即画出行程的大概过程，重点在折返、相遇、追及的地点另外在多次相遇、追及问题中，画图分析 往往也是最有效的解题方法；比例法行程问题中有很多比例关系，在只知道和差、比例时，用比例法可求得具体数值更重要的是，在一 些较复杂的题目中，有些条件 （如路程、速度、时间等）往往是不确定的，在没

3、有具体数值的情况下，只能 用比例解题；分段法在非匀速即分段变速的行程问题中，公式不能直接适用这时通常把不匀速的运动分为匀速的几段， 在每一段中用匀速问题的方法去分析，然后再把结果结合起来；方程法在关系复杂、条件分散的题目中，直接用公式或比例都很难求解时，设条件关系最多的未知量为未知 数，抓住重要的等量关系列方程常常可以顺利求解.模块一、【例1】【解析】【例2】变速问题小红和小强同时从家里出发相向而行。 小红每分走 52米，小强每分走 70米，二人在途中的 处相遇。若小红提前 4分出发，且速度不变，小强每分走 90米，则两人仍在 A处相遇。 红和小强两人的家相距多少米？因为小红的速度不变， 相遇

4、的地点不变，所以小红两次从出发到相遇行走的时间不变，也就是说，小强第二次走的时间比第一次少4分钟。（70X4） -（ 90-70） =14分钟 可知小强第二次走了14分钟，他第一次走了14+ 4=18分钟； 两人家的距离：（52+70） X18=2196 （米）.甲、乙两人沿 400米环形跑道练习跑步，两人同时从跑道的同一地点向相反方向跑去。相遇后【解析】【例3】甲比原来速度增加 2米/秒，乙比原来速度减少2米/秒，结果都用求甲原来的速度。因为相遇前后甲，乙的速度和没有改变，如果相遇后两人和跑一圈用24一圈也用24秒。以甲为研究对象，甲以原速 V跑了 24秒的路程与以（1路程之和等于 400米

5、，24V +24 （V +2 ） =400易得V = 7 -米/秒3（2008年日本小学算术奥林匹克大赛）上午8点整，甲从A地出发匀速去24秒同时回到原地。秒，则相遇前两人和跑V +2 ）跑了 24秒的B地，8点20分甲与从8点30分,【解析】【例4】【解析】B地出发匀速去 A地的乙相遇；相遇后甲将速度提高到原来的3倍，乙速度不变；甲，乙两人同时到达各自的目的地那么，乙从B地出发时是8点分.8点20分相遇，此时甲距离 A地的距离是甲走了 20分钟的路程，8点30分时乙到达目的地，说 明乙走这段路程花了 10分钟，所以乙的速度是甲速度的两倍，当甲把速度提高到原速的3倍时，此时甲的速度是乙速度的1

6、.5倍，甲从相遇点走到 B点花了 10分钟，因此乙原先花了 10 1.5 15（分钟），所以乙是8点5分出发的.（难度等级 探）A、 B两地相距7200米，甲、乙分别从 A , B两地同时出发，结果在距B地2400米处相遇.如果乙的速度提高到原来的3倍，那么两人可提前 10分钟相遇，则甲的速度是每分钟行多少米？第一种情况中相遇时乙走了2400米，根据时间一定，速度比等于路程之比，最初甲、乙的速度2/3 乙的速度提高 3倍 2 : 3，根据时间一定，路程比等于速度之比，所以第二种情况中相遇时甲走了比为（7200 2400） : 2400 =2 :1，所以第一情况中相遇时甲走了全程的 后，两人速度

7、比为 全程的33 25两种情况相比,甲的速度没有变化，只是第二种情况比第一种情况少走10分【例51I）9（难度等级 探探探）甲、乙两车分别从点.如果甲车速度不变，乙车每小时多行钟，所以甲的速度为6000 （I150 （米/分 ）A , B两地同时出发相向而行，6小时后相遇在 C5千米，且两车还从 A, B两地同时出发相向而行， 5千米，则相遇地点【解析】则相遇地点距 C点12千米；如果乙车速度不变，甲车速度每小时多行距C点16千米甲车原来每小时行多少千米？设乙增加速度后，两车在 D处相遇，所用时间为 T小时。甲增加速度后，两车在 E处相遇。由于这两种情况，两车的速度和相同，所以所用时间也相同。

8、于是，甲、乙不增加速度时，经T小时分别到达 D、E。DE = 12+ 16= 28 （千米）。由于甲或乙增加速度每小时 5千米，两车在 D 或E相遇，所以用每小时 5千米的速度，T小时 走过28千米，从而 T = 28+5 =迢 小时，甲5用6 28 =-（小时），走过12千米，所以甲原来每小时行12+2 = 30 （千米）555【巩固1【解析1（难度等级 探）甲、乙二人分别从 A、B两地同时出发相向而行，5小时后相遇在 C点。 如果甲速度不变，乙每小时多行4千米，且甲、乙还从 A、B两地同时出发相向而行，则相遇点D距C点10千米；如果乙速度不变，甲每小时多行 3千米，且甲、乙还从A、B两地同

9、时出发相向而行，则相遇点E距C点5千米。问：甲原来的速度是每小时多少千米？当乙每小时多行 4千米时，5小时可以多行 20千米，所以当两人相遇后继续向前走到5小时，甲可以走到 C点，乙可以走到 C点前面20千米。而相遇点 D距C点10千米，因此两人 各走了 10千米，所以甲乙二人此时速度相等，即原来甲比乙每小时多行4千米。同理可得，甲每小时多行 3千米时，乙走 5千米的时间甲可以走10千米，即甲的速度是乙的（4+3） （2-1）+4=11（千米/小时），所以甲原来的速度是每小时11千米。2倍。【例61A、 B两地间有一座桥（桥的长度忽略不计），甲、乙二人分别从两地同时出发，3小时后在桥上相遇如果

10、甲加快速度，每小时多走2千米，而乙提前0.5小时出发，则仍能恰在桥上相遇如果甲延迟 0.5小时出发，乙每小时少走2千米，还会在桥上相遇则A、B两地相距【解析】多少千米？因为每次相遇的地点都在桥上，所以在这三种情况中，甲每次走的路程都是一样的，同样乙每次 走的路程也是一样的.在第二种情况中，乙速度不变，所以乙到桥上的时间还是 前了 0.5小时，那么甲到桥上的时间是3小时，他提3 -0.5 =2.5小时.甲每小时多走 2千米，2.5小时就多5 吒）.5= 10 千【例7】走2 2.5= 5千米，这5千米就是甲原来3- 2.5 =0.5小时走的，所以甲的速度是米/时在第三种情况中，甲速度不变，所以甲

11、到桥上的时间还是3那么乙到桥上的时间是 3 + 0.5 =3.5小时.乙每小时少走 2千米， 米，这7千米就是甲原来 3.5 - 3= 0.5小时走的，所以乙的速度就是A、 B两地的距离为（10 + 14）3 =72千米.一列火车出发1小时后因故停车 0.5小时，然后以原速的3/4前进，最终到达目的地晚1.5小 时.若出发1小时后又前进 90公里再因故停车达目的地仅晚1小时，那么整个路程为多少公里？小时，他延迟了0.5小时，3.5小时就少走 2 3.5 =7千7 .5 =14千米/时所以0.5小时，然后同样以原速的 3/4前进，贝y到【解析】出发1小时后因故停车 0.5小时，然后以原速的3-前

12、进，最终到达目的地晚41.5小时，所以后【例8】【解析】【例9】【解析】【例10】【解析】3面以原速的3前进的时间比原定时间多用41.5 0.5 1小时，而速度为原来的33，所用时间为原4所以后面的一段路程原定时间为41 F 1）3小时，原定全程为 43小时；出发1小时3然后同样以原速的-前进，4类似分析可知又前进90公里后的那段路程原定时间为（1 0 5）（-3行驶90公里需要1.5小时，而原定全程为 4小时，所以整个路程为王叔叔开车从北京到上海，从开始出发，车速即比原计划的速度提高了时到达；返回时，按原计划的速度行驶280千米后，将车速提高到达北京.北京、上海两市间的路程是多少千米？ 从开

13、始出发，车速即比原计划的速度提高了后又前进90公里再因故停车 0.5小时,则到达目的地仅晚1小时,1）1.5小时.所以原速度90 1.5 4 240 公里.1/9,结果提前一个半小1/6,于是提前1小时40分1/9,即车速为原计划的10/9，则所用时间为原计划1/10，原计划280千米后，将车速提高1/6,即此后车速为1 7/6=6/7，即此后比原计划少用1/7的时间，所以1小的10/9=9/10，即比原计划少用 1/10的时间，所以一个半小时等于原计划时间的 时间为：1.5 /10=15（小时）；按原计划的速度行驶 原来的7/6，则此后所用时间为原计划的 时40分等于按原计划的速度行驶米后余

14、下的时间为：5/3 /7=35/3（小时），所以，原计划的速度为： 间的路程为：84 5= 1260（千米）.上午8点整，甲从A地出发匀速去 遇；相遇后甲将速度提高到原来的3的目的地那么，乙从 B地出发时是280千米后余下时间的1/7,则按原计划的速度行驶280千84（千米/时），北京、上海两市B地，8点20分甲与从倍，乙速度不变；8点308点几分.B地出发匀速去 A地的乙相 分，甲、乙两人同时到达各自10分钟到达目的地，10X3= 30 分钟，20 : 30 =2 : 3，由于甲走20分钟的路程乙要走 10分钟，所以甲走30 15分钟，也就是说与甲相遇时乙已出发了15分钟，所以乙从 B地出发

15、时甲、乙相遇时甲走了20分钟，之后甲的速度提高到原来的 3倍，又走了根据路程一定，时间比等于速度的反比，如果甲没提速，那么后面的路甲需要走 所以前后两段路程的比为 分钟的路程乙要走是8点5分.（难度等级 探）甲、乙两人同时从山脚开始爬山，至U达山顶后就立即下山，他们两人的下山速度都是各自上山速度的1.5倍，而且甲比乙速度快。两人出发后 1小时，甲与乙在离山顶600米处相遇，当乙到达山顶时，甲恰好到半山腰。那么甲回到出发点共用多少小时？甲如果用下山速度上山，乙到达山顶时，甲走过的路程应该是一个单程的1X.5+1/2=2倍，就是说甲下山的速度是乙上山速度的 2倍。 两人相遇时走了 1小时，这时甲还

16、要走一段下山路， 这段下山路乙上山用了1小时，所以甲下山要用1/2小时。甲一共走了 1+1/2=1.5 （小时）【例11】【解析】【例12】小华以每小时8/3千米的速度登山，走到途中A点后，他将速度改为每小时2千米，在接下来的1小时中，他走到山顶，又立即下山， 是每小时4千米，下山比上山少用了11千米（难度等级、乙两车从并走到 A点上方500米的地方.如果他下山的速度52.5分钟.那么，他往返共走了多少千米？B两地同时出发相向而行， 如果甲车提前/小时？【解析】【例13】【解析】【例14】【解析】【例15】【解析】5小时相遇；如果乙车 小时出发，则过中点37提前1小时出发，贝嗟13千米到中点时

17、与甲车相遇， 千米后与乙车相遇，那么甲车与乙车的速度差等于多少千米 第一次行程甲、乙两车同时出发，所以两车走的时间相同；第二次乙车提前 这次乙车比甲车多走了1小时；第三次甲车提前 1小时出发，所以这次甲车比乙车多走了时那么如果把第二次和第三次这两次行程相加，那么甲车和乙车所走的时间就相同了，而所走 的路程为2个全程由于两人合走一个全程要5小时，所以合走两个全程要10小时由于第二次在乙车在差 13千米到中点与甲车相遇，所以此次甲车走了全程的一半加上13千米；第三次在过中点 37千米后与乙车相遇，所以此次甲车走了全程的一半加上37千米；这两次合起来甲车走了一个全程加上13 + 37 =50千米，所

18、以乙车走了一个全程少50千米，甲车比乙车多走50 X2 =100千米.而这是在10小时内完成的，所以甲车与乙车的速度差为100 40 =10千米/时甲、乙两名运动员在周长 400米的环形跑道上进行 10000米长跑比赛，两人从同一起跑线同时 起跑，甲每分钟跑 400米，乙每分钟跑 的速度比原来快 1，甲每分钟比原来多跑4 两人谁先到达终点？1小时出发，所以1小360米，当甲比乙领先整整一圈时，两人同时加速，乙18米,并且都以这样的速度保持到终点.问：甲、乙从起跑到甲比乙领先一圈,10000 400 1010000 360 10所经过的时间为40040036010（分钟）.甲到达终点还需要跑40

19、03601814209乙 还 需 要 跑1 2 24149(分钟)，由于974莎，所以乙先到达终点.环形场地的周长为后相遇.如果每人每分钟多走甲、乙原来的速度和为：1800 12 150（米/分），如果每人每分钟多走 25米，现在的速度之和为： 150 25 2 200（米/分）,现在相遇需要的时间为：1800 200 9 （分钟）.题目中说相遇点与前次 相差33米，但并不知道两者的位置关系，所以需要先确定两次相遇点的位置关系.由于以原来 的速度走一圈，甲比乙多走的路程为每分钟甲比乙多走的路程12 ;提速后走一圈，甲比乙多走的路程为每分钟甲比乙多走的路程9 ;故提速后走一圈与以原来速度走一圈相

20、比，甲比乙多走的路程少了，而二人所走的路程的和相等，所以提速后甲走的路程比以原速度走的路程少，其差 即为两次相遇点的距离 33米所以现在问题转化为：甲以原速度走12分钟走到某一处，现在甲以比原速度提高 25米/分的速度走9分钟，走到距离前一处还有 33米的地方，求甲的速度.所以, 甲原来的速度为：（33 25 9） （12 9） 86 （米/分），乙原来的速度为：150 86 64（米/分）.1800 米,甲、乙两人同时从同一地点出发相背而行（甲速大于乙速）,12分钟25米，则相遇点与前次相差 33米，求原来二人的速度.王刚骑自行车从家到学校去，平常只用20分钟。因途中有2千米正在修路，只好推

21、车步行，步行速度只有骑车速度的 1 ,结果这天用了 36分钟才到学校。从王刚家到学校有多少千米？3途中有2千米在修路，导致了王刚上学时间比平时多用36 20 16分钟，由于在别的路段上还是骑车，所以多用的时间都是耗费在修路的2千米上.由于步行速度是汽车速度的-，所以步行23千米所用的时间是骑车 2千米所用时间的3倍，多用了 2倍，这个多出来的时间就是 16分钟，【例16】【解析】所以骑车2千米需要16 2 8分钟.由于8分钟可以骑 2千米，而王刚平时骑车 20分钟可以到学校，所以王刚家与学校的距离为 2 (20 8)5 千米.甲、乙两车分别从 A、B两地同时出发，相向而行.出发时，甲，乙的速度

22、之比是5: 4，相遇后甲的速度减少20%，乙的速度增加20% 这样当甲到达 B地时，乙离开A地还有10千米.那 么A、B两地相距多少千米？出发时，两车的速度之比为5: 4 ,所以相遇以后两辆车的速度之比为【例17】【解析】【例18】【解析】【例19】【解析】5120% :41 20%车还需要行驶的路程之比为乙行驶了全程的-95: 6，而相遇前甲、乙两车的行程路程之比为5: 4，所以相遇后两辆4:5，所以甲还需要行驶全部路程的-，当甲行驶这段路程的同时,984石，距离A地还有1 98 1 1亦亦，所以A、B两地相距10 45 450千米.甲、乙往返于相距A地600米的C地追上甲乙到 B地后立即原

23、速向 A地返回，甲到B地休息1分钟后加快速度 向A地返回，并在C地追上乙问：甲比乙提前多少分钟回到A地？由于甲比乙早出发 6分钟，乙在走了 600米时追上甲，可见乙走 600米比甲要少用6分钟，那么对于剩下的400米，乙比甲要少用 400 6 4(分钟)，也就是说乙比甲早 4600乙从B地出发比甲早4 1 5(分钟)，走到C地被甲追上，相当于甲走400那么对于剩下的600米，甲比乙要少用 600 5 7.5(分钟).所以甲比乙提前4001000米的A，B两地.甲先从A地出发，6分钟后乙也从 A地出发，并在距分钟到达B地那么米比乙少用5分钟,7.5分钟回到A地.一辆大货车与一辆小轿车同时从甲地开

24、往乙地，小轿车到达乙地后立即返回，返回时速度提高50%。出发2小时后，小轿车与大货车第一次相遇，当大货车到达乙地时， 小轿车刚好走到甲、乙两地的中点。小轿车在甲、乙两地往返一次需要多少时间？此题的关键是分析清楚题目中所提到的小轿车返回时速度提高设小轿车返回时速度不发生变化会是什么样，然后再进行对比分析.高，那么大货车到达乙地时，小轿车又走了甲、乙两地距离的50%所带来的变化，所以可以先假 如果小轿车返回时速度不提11-(1 50%)-,所以，从甲地到23乙地小轿车与大货车的速度比为:1(1 3):14:3，小轿车到达乙地时，大货车走了全程的还差丄小轿车从乙地返回甲地时，与大货车的速度比为4回到

25、与大货车相遇时，大货车又走了全程的125，那么大货车从甲地到乙地需要99小轿车往返一次需要 -(1 50%)55甲、乙两地间平路占 1，由甲地去往乙地，5时,12小时,53小时.4 (1 50%) :32:1，小轿车从乙地返，即相遇时大货车共走了全程的12小轿车从甲地到乙地需要12 3 9小上山路千米数是下山路千米数的2，一辆汽车从甲320%，行下山路的速度比平路快地到乙地共行了 10小时，已知这辆车行上山路的速度比平路慢20%，照这样计算，汽车从乙地回到甲地要行多长时间？根据题意，可以把甲、乙两地之间的距离看作25，这样两地间的平路为 5,从甲地去往乙地，上23山路为20 8，下山路为20

26、12 ;再假设这辆车在平路上的速度为5,则上山时的2 323【例20】【解析】【例21】【解析】【巩固】【解析】速度为4,下山时的速度为 乙地回到甲地时，汽车上山、下山路变成了此时的上山路,6，于是，由甲地去乙地所用的总时间为： 8 4 5 5 12下山的速度不变，但是原来的上山路变成了此时的下山路，原来的所以回来时所用的总时间为:12 4 5 5 8 6 53 -6 5 ;从由于从甲210小时.3153甲、乙二人在同一条圆形跑道上作特殊训练：他们同时从同一地出发，沿相反方向跑，每人跑地到乙地共行了 10小时，所以从乙地回来时需要10完第一圈到达出发点后立即回头加速跑第二圈，跑第一圈时，乙的速

27、度是甲的速度的第二圈的速度比第一圈提高了1，乙跑第二圈的速度提高了1，已知沿跑道看从甲、35二次相遇点到第一次相遇点的最短路程是190米，问这条跑道长多少米？-，所以第一次相遇的地方在距起点3从起跑由于跑第一圈时，乙的速度是甲的速度的处.由于甲的速度比乙快，所以甲先跑完第一圈,点还有1圈，根据题意，此时甲要回头加速跑,31倍.所以乙跑完剩下的 1圈时甲又跑了3此时两人相向而行，速度比为以跑道长甲跑完第一圈时，乙跑了即此时甲与乙方向相同,-.甲跑3乙两人第2圈，此时乙距出发3速度为乙的1 13|2190两次相遇点间隔2-圈,31此时甲距出发点还有-圈，而乙又要回头跑，所以35:3 ,所以两人第二

28、次相遇点距离出发点2140，注意到21404041，所以最短距离为40圈，所19400 米.40400米环形跑道练习跑步，两人同时从跑道的同一地点向相反方向跑去.相遇后甲、乙两人沿甲比原来速度增加 4米/秒，乙比原来速度减少4米/秒，结果都用25秒同时回到原地.求甲原来的速度.因为相遇前后甲、乙的速度和没有改变，如果相遇后两人合跑一圈用一圈也用25秒.（法1）甲以原速V甲跑了 25秒的路程与以V甲 425W 25 Vp 4 400，解得 V甲 6 米/秒.（法2）由跑同样一段路程所用的时间一样，得到V甲400 16，这是个典型的和差问题.可得2525秒，则相遇前两人合跑的速度跑了 25秒的路程

29、之和等于400米,4 V乙，即二者速度差为 4;而二者速度和为V甲为：16 426米/秒.从 A村到B村必须经过C村，其中A村至C村为上坡路，C村至B村为下坡路，A村至B村的 总路程为20千米.某人骑自行车从 A村到B村用了 2小时，再从B村返回A村又用了 1小时45 分.已知自行车上、下坡时的速度分别保持不变，而且下坡时的速度是上坡时速度的2倍.求A、C之间的路程及自行车上坡时的速度.设A、C之间的路程为x千米，自行车上坡速度为每小时 y千米，则C、B之间的路程为（20 x）千米，自行车下坡速度为每小时2y千米.依题意得:x 20 xy 2y20 x xy 2y2，两式相加，得:1?4【例2

30、2】【解析】【例23】【解析】【例24】【解析】【例25】【解析】31 一，解得y 8;42020C2y 2y速度为每小时8千米.（2008年奥数网杯”六年级）代入得x 12 故A、C之间的路程为12千米，自行车上坡时的欢欢和贝贝是同班同学，并且住在同一栋楼里早晨7: 40，欢看到身穿校服的贝贝才想起学校的2倍，回家换好校服，再赶往学校；欢欢 8:00赶 6分钟且调头时间不计，那么贝贝从欢从家出发骑车去学校，7: 46追上了一直匀速步行的贝贝；通知，欢欢立即调头，并将速度提高到原来的到学校时，贝贝也恰好到学校.如果欢欢在家换校服用去 家里出发时是点分.欢欢从出发到追上贝贝用了 6分钟，那么她调

31、头后速度提高到原来的 3分钟，换衣服用时 6分钟，所以她再从家里出发到到达学校用了原速度到达学校需要 10分钟，最开始她追上贝贝用了6分钟，还剩下2倍，回到家所用的时间为20 6 3 65分钟，故她以4分钟的路程，而这 4分钟的路程贝贝走了 14分钟，所以欢欢的6分钟路程贝贝要走14 6 421分钟，也就是说欢欢追上贝贝时贝贝已走了21分钟，所以贝贝是 7点25分出发的.甲、乙两人都要从 A地到B地去，甲骑自行车，乙步行，速度为每分钟20分钟，甲在距 A地1920米的C处追上乙，两人继续向前，甲发现自己忘带东西，于是将速度提高到原来的1.5倍，马上返回 A地去取，并在距离 C处720米的D处遇

32、上乙.甲到达A地 后在A地停留了 5分钟，再以停留前的速度骑往两地之间的距离是米.乙从A地到C处所用时间为1920 6032分钟，192012160米/分钟，速度提高后为160 1.5共用时间192072060米.乙比甲早出发B地，结果甲、乙两人同时到达B地.A、B甲用的时间为 3220 12分钟，甲的速度为240米份钟.甲从D处回到A地并停留5分钟,1920720240 5 16分钟，此时乙又走了 60 16960米，两人的距离为9603600米，此时相当于追及问题，追及时间为3600240 6020分钟，所以A、B两地之间的距离为 240 20 4800米.小芳从家到学校有两条一样长的路，

33、一条是平路，另一条是一半上坡路, 学走这两条路所用的时间一样多.已知下坡的速度是平路的的多少倍？设小芳上学路上所用时间为 2，那么走一半平路所需时间是半下坡路.小芳上1.6倍，那么上坡的速度是平路速度同，根据路程疋，时间比等于速度的反比，走下坡路所需时间是1 .由于下坡路与一半平路的长度相11.6 8，因此，走上坡路需53要的时间是2 513，那么，上坡速度与平路速度的比等于所用时间的反比，为8 8所以，上坡速度是平路速度的 倍.113 8:11 ,8（2003年 祖冲之杯”小学数学邀请赛）某校在400米环形跑道上进行运动员同时起跑后，乙的速度始终保持不变，开始时甲比乙慢，在第保持这个速度不变

34、，在第18分钟时甲追上乙并且开始超过乙。在第而在23分50秒时甲到达终点。那么，乙跑完全程所用的时间是多少分钟？ 本题中乙的速度始终保持不变，甲则有提速的情况，但是甲提速后速度就保持不变，所以可以从1万米比赛，甲、乙两名 15分钟时甲加快速度，并 23分钟时甲再次追上乙，甲提速后的情况着手进行考虑根据题意可知，甲加速后，每过圈，即每分钟比乙多跑 400 5 80 （米）由于第18分钟时甲、乙处于同一位置，则在 秒时甲到达终点时，乙距终点的距离就是此时甲、802350 181400 （米）,即乙在23分50秒内跑了603持不变，所以乙每分钟跑10000 空023 400 （米）.所以，乙跑完全程

35、需要36023 185 （分钟）比乙多跑一23 分 50即乙距离终点还有乙之间的距离，10000 3米,由于乙的速度始终保10000 40025 （分钟）.【例26】.如果出发时乙的速度25%，而乙的速度立即减少 20%，并100米，那么这条环形跑道的周长是（2003年迎春杯）甲、乙两人同时同地同向出发，沿环形跑道匀速跑步是甲的2.5倍，当乙第一次追上甲时，甲的速度立即提高且乙第一次追上甲的地点与第二次追上甲的地点相距米.DC【解析】如图，设跑道周长为1,出发时甲速为2,则乙速为5.假设甲、乙从 A点同时出发, 向跑.按逆时针方 此时甲跑了1 (5度变为由于出 发时两者的 速度比为2:5 ,乙

36、追上甲要比甲多跑1圈，所以2） 2 -，乙跑了 5 ；此时双方速度发生变化，甲的速度变为2 （1 25%）335 （1 20%） 4，此时两者的速度比为 2.5: 4 5:8 ;乙要再追上甲一次，又要比甲多跑12.5，乙的速圈，则此次甲跑了 1 （8 5） 5 5，这个5就是甲从第一次相遇点跑到第二次相遇点的路程.从33环形跑道上来看，第一次相遇点跑到第二次相遇点之间的距离，既可能是525 13个周长，又可【例27】【解析】51能是2 -个周长.3321那么，这条环形跑道的周长可能为100 2 150米或100丄300米.33如图所示，甲、乙两人从长为400米的圆形跑道的 A点背向出发跑步。道

37、路比较泥泞，所以两人的速度都将减慢，在正常的跑道上甲、乙速度均为每秒 泞道路上两人的速度均为每秒4米。两人一直跑下去，问：他们第还有米。跑道右半部分（粗线部分）8米，而在泥99次迎面相遇的地方距 A点本题中，由于甲、乙两人在正常道路和泥泞道路上的速度都相同，可以发现，如果甲、乙各自绕 着圆形跑道跑一圈，两人在正常道路和泥泞道路上所用的时间分别相同，那么两人所用的总时间 也就相同，所以，两人同时出发，跑一圈后同时回到A点，即两人在 A点迎面相遇，然后再从 A点出发背向而行，可以发现，两人的行程是周期性的，且以一圈为周期.在第一个周期内，两人 同时出发背行而行，所以在回到出发点前肯定有一次迎面相遇

38、，这是两人第一次迎面相遇，然后【例28】【解析】【例29】【解析】回到出发点是第二次迎面相遇；然后再出发，又在同一个相遇点第三次相遇， 四次相遇 可见奇数次相遇点都是途中相遇的地点，偶数次相遇点都是 99次迎面相遇的地点与 A点的距离，实际上要求的是第一次相遇点与 相遇点的位置，需要分段进行考虑：由于在正常道路上的速度较快，所以甲从出发到跑完正常道 路时，乙才跑了 200 8 4 100米，此时两人相距 100米，且之间全是泥泞道路，此时两人速度 相同，所以再各跑 遇点与A点的距离，再回到出发点是第A点.本题要求的是第A点的距离.对于第一次50米可以相遇.所以第一次相遇时乙跑了100 50 1

39、50米，这就是第一次相也是第 99次迎面相遇的地点与 A点的距离.（2009年第七届 跑道上进行比赛，丁丁的玩具甲虫每分钟跑 了一个神秘遥控器，按第一次会使丁丁的玩具甲虫以原来速度的 使丁丁的玩具甲虫以原来速度的走进美妙的数学花园”初赛六年级）丁丁和乐乐各拿了一辆玩具甲虫在400米30米，乐乐的玩具甲虫每分钟跑20米，但乐乐带10%倒退1分钟，按第二次会 20%倒退1分钟，以此类推，按第 N次，使丁丁的玩具甲虫以原来的速度的N 10%倒退1分钟，然后再按原来的速度继续前进，如果乐乐在比赛中最后获 胜，他最少按次遥控器。乐乐的玩具甲虫跑完全程需要400 20 20分钟，丁丁的玩具甲虫跑完全程需要

40、400 30 理 分320 分钟乐 33钟，乐乐要想取胜，就必须使丁丁的玩具甲虫因倒退所耽误的总时间超过乐第一次按遥控器后，丁丁耽误的时间为倒退的1分钟及跑完这1分钟倒退路程所花费的时间，为1 10% 1 1.1分钟；乐乐第二次按遥控器后，丁丁耽误的时间为1 20% 1乐第n次按遥控器后，丁丁耽误的时间为1 n 10% 1 10.1n分钟.6?326-,所以乐乐要想取胜，至少要按31.11.2 1.3 L 大于 2031.11.2 1.3 1.4 1.5 1.68.1由于 1.11.2 1.31.4 1.51.2分钟；乐 所以相当于要使6.5636次遥控器.唐老鸭和米老鼠进行 5000米赛跑.

41、米老鼠的速度是每分钟125米，米.唐老鸭有一种能使米老鼠停止或减速的遥控器，每次使用都能使米老鼠进入 分钟，1分钟后米老鼠就会恢复正常，遥控器需要1分钟恢复能量才能再使用状态也在逐渐适应，第1次进入 麻痹”状态时，米老鼠会完全停止，米老鼠第状态时，就会有原速度5%的速度，而第3次就有原速度10%的速度 ，唐老鸭的速度是每分钟1001麻痹”状态.米老鼠对2次进入第20次进入麻痹 麻痹 麻痹状态时已有原速度95%的速度了，这以后米老鼠就再也不会被唐老鸭的遥控器所控制了 鸭与米老鼠同时出发，如果唐老鸭要保证不败，它最晚要在米老鼠跑了多少米的时候第一次使 用遥控器？5000 12540（分钟）,500

42、0 10050 （分钟），所以米老鼠正常情况下要鸭要50分钟跑完全程若唐老鸭使米老鼠麻痹 20次，由于5% 10% 痹的20分钟内，米老鼠实际跑的路程为正常状态下9.5分钟跑的路程.唐老40分钟跑完全程，唐老L 95%9.5，则在这麻这样，米老鼠一共需要40 9.5 20 50.5分钟才能到达终点.由于唐老鸭只需要50分钟，所以若使唐老鸭保持不败，并不需要使米老鼠麻痹20次，即可以尽量晚的第一次使用遥控器.根据题意，第20次使用可以使米老鼠多损失0.05分钟，第19次使用可以使米老鼠多损失0.1分钟，第18次使用可以使米老鼠多损失0.15分钟，第17次使用可以使米老鼠多损失0.2分钟，总计正好

43、是 0.05 0.1 0.15 0.2 0.5分钟所以只需要使米老鼠麻痹16次，唐老鸭就能保持不败这样米老鼠也要50分钟由于还要留出15分钟的遥控器恢复能量的时间，所以第一次使用遥控器的时 候后面剩下的时间不能少于 16 15 31分钟，此时米老鼠已经跑出了 125 （50 31） 2375（米）,所 以唐老鸭最晚要在米老鼠跑了2375米的时候第一次使用遥控器.【例30】小周开车前往某会议中心，出发20分钟后，因为交通堵塞，中途延误了20分钟，为了按时到达会议中心，小周将车速提高了25%，小周从出发时算起到达会议中心共用了多少分钟？【解析】【例31】将车速提高25%后，前、后两种情况下车速的比

44、为 1:（1 25%） 4:5，那么所用的时间的比为 5: 4 , 由此省出的时间就是堵车耽误的 20分钟，所以这段路程原来需要开 20 （5 4） 5 100分钟，再 加上开始的20分钟，可知小周从出发时算起到达会议中心共用了20 100 120分钟.（2008年清华附中入学测试题）如图，甲、乙分别从A、C两地同时出发，匀速相向而行，他们的速度之比为5: 4，相遇于B地后，甲继续以原来的速度向C地前进，而乙则立即调头返回，1并且乙的速度比相遇前降低1，这样当乙回到C地时，甲恰好到达离 C地18千米的D处，那么5A、C两地之间的距离是千米。【解析】【例32】【解析】【例33】【解析】【例34】

45、【解析】由于甲、乙的速度之比为 5:4，所以,调头后两人速度之比为5: （4 4）516BD : BC 25:16，即 BC CD，则9AB:BC 5: 4，乙调头后的速度为原来速度的-，所以乙525:16 ,而乙回到C地时甲恰好到达D处，所以AC 9BC 4CD 72 （千米），即A、C两地之间的距离4为72千米.甲、乙两车分别从 A、B两地同时出发相向而行，甲车速度为1/时，它们到达B地和A地后，甲车速度提高乙车速度减少4次相遇地点相距74千米，那么A、B之间的距离是多少千米？32千米/时，乙车速度为48千米-，它们第一次相遇地点与第二6开始时两车速度比为 32:48 2:3，所以第一次相

46、遇是在距 B地全程的3处；当乙车到达 A地时,5甲车离B地还有全程的1，此时乙车速度减少 1,变为原来的5，两车速度比为62:(3 -)4:5 ,6那么当甲车走完剩下的-时，乙车已经往回走了31时甲车速度提高1,两车速度比变为45(4 -):54次相遇点距离B地全程的.所以24寺，此时两车相距全程的1:1，所以两车再各走A、B之间的距离为74 （3524)240 千米即第二8点20 分甲与从B地出发匀速去 A地的乙相遇；相遇后甲将速度提高到原来的3倍，乙速度不变；8点30分，甲、乙两人同时到达各自的目的地那么，乙从B地出发时是8点分.甲、乙相遇时甲走了 20分钟，之后甲的速度提高到原来的3倍，

47、又走了 10分钟到达目的地，根据路程一定，时间比等于速度的反比，如果甲没提速，那么后面的路甲需要走10 3 30分钟，所以前后两段路程的比为 20:30 2:3，由于甲走20分钟的路程乙要走10分钟，所以甲走30分 钟的路程乙要走15分钟，也就是说与甲相遇时乙已出发了15分钟，所以乙从B地出发时是8点5分.甲、乙往返于相距1000米的A , B两地甲先从 A地出发，6分钟后乙也从 A地出发，并在距A地600米的C地追上甲乙到 B地后立即原速向 A地返回，甲到B地休息1分钟后加快速度 向A地返回，并在 C地追上乙问：甲比乙提前多少分钟回到A地？由于甲比乙早出发 6分钟，乙在走了 600米时追上甲

48、，可见乙走 600米比甲要少用6分钟，那么 对于剩下的400米，乙比甲要少用 400 6 4（分钟），也就是说乙比甲早 4分钟到达B地那么600（2008年日本第12届小学算术奥林匹克初赛 ）上午8点整，甲从A地出发匀速去B地,乙从B地出发比甲早4 1 5（分钟），走到C地被甲追上，相当于甲走 400米比乙少用5分钟， 那么对于剩下的600米，甲比乙要少用600 5 7.5（分钟）.所以甲比乙提前7.5分钟回到A 地.400【例35】（2005年 祖冲之杯”小学数学邀请赛）如图所示，有 A、B、C、D四个游乐景点，在连接它们的三段等长的公路 AB、BC、CD上，汽车行驶的最高时速限制分别是12

49、0千米、40千米和60千米。一辆大巴车从 A景点出发驶向 D景点，到达D点后立刻返回；一辆中巴同时从D点出发，驶向B点。两车相遇在 C景点，而当中巴到达 B点时，大巴又回到了 C点，已知大巴和 中巴在各段公路上均以其所能达到且被允许的速度尽量快地行驶，大巴自身所具有的最高时速 大于60千米，中巴在与大巴相遇后自身所具有的最高时速比相遇前提高了12.5%，求大巴客车的最高时速。【解析】由于AB、BC、CD三段公路等长，不妨设 AB BC CD 60千米，大巴从 C D C用60 2 602 （小时），此时中巴从C 7 B,速度为60 230 （千米/小时），所以中巴从D C、士宀、r80809的

50、速度为30（1 12.5%）（千米/小时），用时为60 （小时），这也是大巴从A7 B 7 C3 349 I討时）大39用的时间.大巴在BC上最少用60 402（小时），所以大巴在AB上最多用-2【巩固】巴的最高时速为60 380 （千米）.4从甲市到乙市有一条公路，它分成三段.汽车速度是每小时 90千米；在第三段上，好是第三段的2倍，现有两汽车分别从甲、在第一段上，汽车速度是每小时 汽车速度是每小时 50千米. 乙两市同时出发，相向而行，40千米；在第二段上, 己知第一段公路的长恰1小时20分后，在第【解析】【例36】二段从甲到乙方向的 1处相遇.那么，甲、乙两市相距多少千米?3如图所示，A

51、、B、C、 而汽车在AB上的速度为所用的时间之比为:40 50D分别为三段路的端点， E为两车相遇的地点.由于 AB为CD的两倍，40千米/时，在CD上的速度为50千米/时，所以汽车在 AB上与在CD上31-5: 2，即在AB上比在CD上多用了 -的时间；由于 BE 1 BC，所以231BE -EC，而汽车在整个BC段上速度都是相同的，所以汽车在EC上所用的时间是汽车在 BE2上所用的时间的2倍，即多用了 1倍的时间.由于两辆汽车同时出发，在E处相遇，两车所用的3时间相同，所以在CD上所用的时间的-倍等于在BE上所用的时间，可以得到在CD上所用的时2间与在BE上所用的时间之比为 2:3，那么可以得到在 AB、B