【2019年整理】计算方法练习题(20210411235804)

1、练 、 1. 2. 3. 4. 5. 二二 1. 2. 3. 4. 5. 是非题 1. x =-12.0326作为x的近似值一定具有 6位有效数字，且其误差限 -10 2 2. 对两个不同数的近似数，误差越小，有效数位越多 3. 一个近似数的有效数位愈多，其相对误差限愈小。 O 2 4. 1 亠 、 用 2近似表示cosx产生舍入误差。 5. 3.14和3.142作为二的近似值有效数字位数相同。 填空题 心2+二一亠+亠 1.为了使计算x_1 x-1 X 的乘除法次数尽量少，应将 该表达式改写为 位有效数字，误差限 2. x =-.003457是x舍入得到的近似值，它有 ，相对误差限为 3.

2、误差的来源是 截断误差为 设计算法应遵循的原则是 、选择题 1. X* =0026900作为x的近似值，它的有效数字位数为() (B) 3； (D) 5. (A) 7; (C)不能确定 2. 舍入误差是()产生的误差。 (A)只取有限位数 (B)模型准确值与用数值方法求得的准确值 (C)观察与测量(D)数学模型准确值与实际值 3. 用1+x近似表示e所产生的误差是()误差 (A)模型(B).观测(C).截断 (D).舍入 1 (g为重力加速度)，st是在 4. 用s = 2.设计算球体积允许的相对误差限为 1%,问测量球直径的相对误差限最 大为多少？ gt2表示自由落体运动距离与时间的关系式

3、时间t内的实际距离，贝U st - s*是()误差。 (A) .舍入 (B).观测(C).模型 (D).截断 5. 1.41300作为2的近似值，有()位有效数字。 (A) 3 ;(B) 4;(C) 5;(D) 6。 四、计算题 22 1. 1. 3.142, 3.141, 7分别作为二的近似值，各有几位有效数字? 3. 3.利用等价变换使下列表达式的计算结果比较精确: 11 X + (1) 1 2x 1 x |x|i： 1 X 11 X 1 t2 dt ex -1, |x1， In(. x21 - x) x 1 4. 4真空中自由落体运动距离 丄 s与时间t的关系式是s= 2 gt2 , g

4、为重力加速 度。现设g是精确的，而对t有-0.1秒的测量误差，证明：当t增加时，距 离的绝对误差增加，而相对误差却减少。 5*.采用迭代法计算，取 |x = 2 I 1 z 7、 Xk+ =-(x +) J2Xkk=0,1,， 若Xk是 7的具有n位有效数字的近似值，求证Xk 1是；7的具有2n位有效 数字的近似值。 练习题二 、是非题 1. 1. 单点割线法的收敛阶比双点割线法低。 ( ) 2. 2. 牛顿法是二阶收敛的。 ( ) 3. 3. 求方程x3 - x -1 =0在区间1, 2内根的迭代法总是收敛的。 ( ) 4. 4. 迭代法的敛散性与迭代初值的选取无关。 ( ) 5. 5. 求

5、非线性方程f (x)=0根的方法均是单步法。 ( ) 二、填空题 1. 1.用二分法求非线性方程f (x)=0在区间(a,b)内的根时，二分n次后的误差 限为； 2. 2.设f (x)可微,求方程x二f (x)的牛顿迭代格式是 ； 3. 3.用二分法求方程xx-1=0在区间0,1内的根，进行一步后根的所在区 间为，要求准确到10”，则至少应二分 次； 4. 4.：(x) =x :，(x2 -5)，要使迭代格式xk 1(xQ局部收敛到x*二5，贝叭 的取值范围是; 3 5. 5.求方程x *一4=0根的单点割线法是 ，其收 敛阶为; 双点害U线法是 ，其收敛阶 为。 三、计算题 2 1.1.用二

6、分法求方程x -x-1=0的正根，使误差小于0.05。 2. 2.求方程x3-x2-1=0在x0=1.5附近的一个根，将方程改写为下列等价形 式，并建立相应迭代公式。 d1 x 芬，迭代公式xk1 1 x2 ; 1 X3 = 1x2，迭代公式兀1 = 1 Xk 3 ； 1 x -1，迭代公式 试分析每种迭代公式的收敛性，并选取收敛最快的方法求具有4位有效数字 的近似值。 3. 3. 用牛顿切线法求 5的近似值。取X。= 2,计算三次，保留三位小数。 4. 4.用割线法求方程x3-3x-1=0的在Xo=1.5附近的一个根，精确到小 数点后第二位 * 四、证明题 已知方程f(x)=O，试导出求根公

7、式 x x2f (Xk)f(Xk) Xk 彳一Xk 2 2 f (Xk) - f (xk)f(xk) 并证明：当X*是方程f(x)=O的单根时，公式是3阶收敛的 练习题二 、是非题 1. 1. 单点割线法的收敛阶比双点割线法低。 ( ) 2. 2. 牛顿法是二阶收敛的。 ( ) 3. 3. 求方程x3 - x -1 =0在区间1, 2内根的迭代法总是收敛的。 ( ) 4. 4. 迭代法的敛散性与迭代初值的选取无关。 ( ) 5. 5. 求非线性方程f (x)=0根的方法均是单步法。 ( ) 二、填空题 2. 1.用二分法求非线性方程f (x)=0在区间(a,b)内的根时，二分n次后的误差 限为

8、； 6. 2.设f(X)可微,求方程x = f (x)的牛顿迭代格式是 ； 7. 3.用二分法求方程xx-1=0在区间0,1内的根，进行一步后根的所在区 间为，要求准确到io3，则至少应二分 次； 8. 4.：(x)二x (x2 -5)，要使迭代格式xk i(xQ局部收敛到x*二.5，贝L 的取值范围是; 3 9. 5.求方程x，x-4=0根的单点割线法是 ，其收 敛阶为; 双点害U线法是 ，其收敛阶 为。 三、计算题 2 5. 1.用二分法求方程x -x-1=0的正根，使误差小于0.05。 6. 2.求方程x-x2- 1 X2 = 1Xk 1 二厂1 X -1，迭代公式Xk _1 ； 试分析

9、每种迭代公式的收敛性，并选取收敛最快的方法求具有4位有效数字 的近似值。 在xo=1.5附近的一个根，将方程改写为下列等价形 式，并建立相应迭代公式。 11 X = 12xk 1 = 1 (1)X ,迭代公式Xk ； 1 x3 =1 x2，迭代公式兀1 = 1 xp ； 7. 3.用牛顿切线法求.5的近似值。取X。二2,计算三次，保留三位小数。 8. 4.用割线法求方程x3-3x=0的在冷胡.5附近的一个根，精确到小 数点后第二位。 * 四、证明题 已知方程f(x)=0，试导出求根公式 x x2f(xQf(xQ xk 勺xk .2- 2厂(Xk) f (Xk)f(Xk) 并证明：当x是方程f(

10、x)=0的单根时，公式是3阶收敛的 练习题四 是非题 3-11 A = 25-3 1.矩阵 1 2 5 _ 具有严格对角优势。 1 3 -1 1 A = -1 5-3 () () () () 2. 25 一是弱对角优势矩阵。 3 高斯一塞德尔迭代法一定比雅可比迭代法收敛快。 4. |M卜1是迭代格式x(k1Mx(kK f收敛的必要条件 5*.逐次超松弛迭代法是高斯一赛德尔迭代法的一种加速方法。 、填空题 g +5x2 =1 1. 1.解方程组 N +2X2 =0的雅可比迭代格式(分量形式)为 ,该迭代矩阵的谱半径(B1)=; 3x1 +5x2 =1 2. 2.解方程组N +2X2 =0的高斯一

11、赛德尔迭代格式(分量形 式) 为，迭代矩阵B2二 ,该迭代矩阵 的谱半径?(B2； 3. 3.幕法的迭代公式为 4*. QR算法是用来求 矩阵的全部特征值的一种方法。 5* 雅可比方法是用来求 矩阵的全部特征值及特征向量的一种 变换方法。 、选择题 1. 解方程组Ax =b的迭代格式x“ = Mx“ + f收敛的充要条件是() (A) l|A| ；(B) IIM |； (C) :(A) ：. 1 ；( D)(M)。 2幕法的收敛速度与特征值的分布() (A)有关；(B)无关；(C)不一定。 3幕法是用来求矩阵()特征值及特征向量的迭代法。 (A)按模最大；(B)按模最小； (C)任意一个；(D

12、 )所有的。 4. 解代数线性方程组的松弛法收敛的必要条件是() (A) 0 ： 1 ； (C) 0 ： ： 2 ； 5 反幕法是用来求矩阵( (A)按模最大； (C)任意一个； 四、计算题 (B) 0 -1 ； (D) 0 - 2。 )特征值及特征向量的迭代法。 (B) 按模最小； (D )所有的。 1. 1 用简单迭代法(雅可比迭代法)解线性方程组 | 3x1x = 5 * X1 3x2 +X3 = 1 捲 _x2 +4x3 = -8 取x(0) =(0,0,0)T，列表计算三次，保留三位小数。 2用高斯一赛德尔迭代法解线性方程组 3x1 xi 3x2 X3 = 5 X3八1 取x =(0

13、,0,0)T，列表计算三次，保留三位小数。 400 A= -12-1 3 用幕法求矩阵 -12 一按模最大特征值及相应特征向量，列表计 算三次，取x(0)珂1，1，1，保留两位小数。 4* .取川-1.46，用松弛法解线性方程组 Xi - x2 = 1 -X1 2x2 X3 = 0 -X2 2X3 -X4 =1 -X3 4X4 =0 取x(0) =(0,0,0)T，列表计算三次，保留三位小数。 410 A= 121 5*.用雅可比方法求实对称矩阵 卫15的特征值及相应特征向量（按四位 小数计算，；=0.1） 01 1 4 -的全部特征值。 2 1 A= 13 6*用QR算法求矩阵 1 练习题五

14、 、是非题 6. 1.在求插值多项式时，插值多项式的次数越高，误差越小。（） （x xj（x X2） 7. 2.（x -X1）（x - X2）表示节点x处的二次插值基函数。（） 8. 3.牛顿插值多项式的优点是：在计算时，高一级的插值多项式可利用前 一次插值的结果。（） 9. 4.在拉格朗日插值中，插值节点 x，x1l，xn必须按顺序排列。（） 10. 5.利用等距节点的牛顿插值公式计算x附近的f（x），用后插公式 ( 、填空题 6. 1.已知n =3,则三次插值基函数l2(x)二。 n li(X)= 7. 2. n+1个节点的拉格朗日插值基函数h(x)的和y。 8. 3.已知f(x)=x4，

15、取节点xk二k (k二。，1,2,)，用线性插值求f(21)的 近似值，其计算公式fQ.DRQ.Dr 0 9. 4. 插值不仅要求插值函数和被插值函数在节点取已知 函数值而且取已知导数值。 10. 5.已知 f3)=2, f(0)=1,f(2)=3,则 f70=, f0,2 =, f-1,0,2 =，牛顿二次插值多项式 N2(x) = 三、选择题 X _ X| 1 .函数x0 -人表示线性插值()点的基函数. (A) X。；(B) y。;(C) x1(D) y10 2. 过点(-1,1),(,3),(2,4)的二次插值多项式P2(x)中x2的系数为(). (A) -.5(B) 0.5(C) 2

16、(D) -2 3. 给定互异的节点冷,冷|,召，p(x)是以它们为插值节点的插值多项式，则P(x) 是一个(). (A).n+1次多项式(B). n次多项式 (C) .次数小于n的多项式(D).次数不超过n的多项式 4. f(x)=-3x99 +50 x6 -7x,差商 f1,2,22,2100=() (A) 0(B) -3(C) 50(D)-7 5. 对于次数不超过n的多项式f(x)，它的n次插值多项式P(x)为(). (A)任意n次多项式(B)任意不超过n次的多项式 (C) f(x)本身(D)无法确定 四、计算题 1. 1.已知f (-1) = 2, f=3, f (2) = -4,求f(

17、x)的牛顿插值多项式N2(x)，及 f(1-5)的近似值，取三位小数。 2. 2.证明：若f (x)二阶连续可微，则对于f (x)的以X0为节点的一次插值多 项式Pi(x)，插值误差 f(x)R(x)| 兰 (Xi X。)2 8 max XoK： f (x) 节点的三次插值多项式 4*.已知函数y = f(x)的数据f(1) = yo, f(2yi,f (1)= mo,用基函数法求f(X) 的二次插值多项式 H 2(x)使 H2(1)= yo, h2(2) = yi,H2(1)= mo. 5* 要给出f (x)二ex在区间-2,2上的等距节点函数表，用分段三次Hermite插值 求ex的近似值

18、，要使误差不超过10*，问函数表的步长h应为多少? x -1 1 4 f (Xi) -2 4 5 6.已知的f(x)函数表 (1) (1)求f (x)的二次插值多项式； (2)用反插值求x,使f (x)=0。 练习题六 、 判断题 1. 1.在等距节点的情况下， 才能计算函数的差分。 ( ) 2. 2.向刖差分与向后差分不仔在等量天糸。 ( ) 3. 3.已知观察值(xi，yi)(i =0,1,2,n)，用最小 1乘法求得的拟合多项式其 次数为n次。 ( ) 4. 4.利用最小二乘原理对一组数据找出合适的数学公式来拟合，首先应确 定公式的类型。() 5. 5.数据拟合的步骤首先是建立正规方程组

19、。() 二、填空题 1. 1.已知某函数的二阶向前差分2 fi为0.15，则其二阶向后差分V 2 f3为 2. 2.利用牛顿前插公式计算某点的近似值，应首先确定公式中的t,其计算 公式为t =。 3. 3.已知函数y=f(x)在a,b上的n+1个节点Xi处的函数值yi，则其三次样 条插值函数s(x)满足的条件为 。 4. 4.已知(人)0 =1,2,30),其线性拟合的正规方程组为 。 _x_ 5. 5.用形如y_ax+b的非线性拟合数据(K)做变换 为线 性拟合y = a bx .选择题 1.()是利用函数的值求自变量的值。 (A)三次样条插值(B)反插值 (C)分段插值 (D)爱尔米特插值

20、 2.记、i二 -yJ 2川,n,最小二乘法原理要求下列哪个为最小() nn (C) V(D)v max (A)1 空 i * * 3当线性方程组满足 (A) (A) n (B)第 ()时称为超定方程组。 未知数的个数等于方程的个数 (B) (B) 未知数的个数大于方程的个数 (C) (C) (D) (D) 未知数的个数小于方程的个数 未知数的个数与方程的个数大小任意 4. x是超定方程组Ax二b的最小二乘解的充分必要条件是(). (A) x 是 AT Ax 二 At b 的解 (C) x*是At x=bT 的解 (B) x 是AAt x 二 At b 的解 (D) 三者都不对 Pn(x) =

21、 n 5.勒让德多项式2 n!dx (A)小于n次的多项式 (C)大于n次的多项式 1 d2 n _ n(x-1)曰 是 (B) (D) ( ) 等于n次的多项式 小于等于n次的多项式 四、计算题 已知函数y = f (x)的函数表如下，解答下列冋题 Xi 0.0 0,1 0.2 0.3 f(Xi) L01 1,34 1慮 2.CS 2. 2.已知 f (1.3)746 f (1.6)=174 f (2.4) = 18.5, f (3.1) =20.0 ,按最小二乘 原理求一次多项式拟合上述数据。 3. 3.求超定方程组 的最小二乘解 4. 4已知观察值 Xi _ 2 _ 1 0 1 2 yi

22、 yo y1 y2 y3 y4 3x1 2x2 二 2 4Xr 5x2 = 3 + x2 =11 利用f (x)的二次拟合多项式P2(x),求f (0)的近似值。 5. 5用形如丫二al nx巾的函数拟合下列数据 Xi 1. 2. 、填空题 1.已知f(1) 3 1 f(x)dx :( 3 1 f(x)dx :( 2.已知 f 0 =3， f (0)( ( 1.1 3. 4. f (x) f(2) = 1.2 )0 f 0.5 =4 I; )，fj0( 3,84245 习题七 ,f（3） = 1.5，则二点式咼斯求积公式为 ），用抛物线求积公式求得 f 1 =3，则用三点式可求得 ），f1 （

23、 )，且 f (x)：- 3. 复合梯形求积公式为af（X）CX：（ 当 f（x） C2a,b时,其余项 Rn（f）=（ 4. 数值积分代数精确度的定义是（ ） ）。 ）， 5.求积公式 最咼，具有（ 、选择题 1.1.求积公式研究的误差为（ A.观测误差B.模型误差 5. o bn L f（x）dx 迈 Ak f（xk） 心的代数精度以（ ）次代数精度，其节点称为（ ）求积公式为 ）点。 2. 2. 。 C.舍入误差 D.截断误差 b a h = 已知在a,b上, f（x）兰2，且f（x）EC2a，b，步长n ，则复合 梯形求积公式的误差限为（） A. (b-a)3 6 C. (b-a)3

24、B. -6 忙 D. 6 梯形公式、抛物线公式及 n阶N -C求积公式的代数精度分别至少为( 1,2,nB. 2,3,nC. 1,3,nD. 1,4,n+1 数值微分的二点公式中，其误差限为(),其中h = x1 X。：X!。 3. A. 4. A. O(h2) hf () C. 2 B. -x0 5.已知 f(x) C40,2，在0 , 2内 复合抛物线求积公式计算要保证有 A. 0.1B. 0.2 判断题 D. (x)叮 5位有效数字, C. 0.3 -f() 2 max f (x) 2 x0誉芒 2 0 f(x)dx有两位整数, 步长最多应为( D. 0.4 bn f (x)dx 叱送

25、高斯求积公式a心的代数精度为2n+1。 梯形求积公式和抛物线求积公式都是高精度方法 在使用插值型求积公式时，勿须进行误差分析。 n越大，N -C求积公式的代数精确度就越高， 性也越好。 5、具有n+1各节点的插值型求积公式至少具有 计算题 Ak f (xk) 1、 2、 3、 4、 ( ( ( 相应地求积公式的稳定 ( n+1次代数精度。( 1、分别用梯形公式和抛物线公式计算积分 计误差。 dx ，0，1 八等分，并估 3. 4. 5. 三、 1、 2、 3、 4、 5、 四、 1、 2 3 2、 2、 n=4,用复合梯形公式求 计误差。 0(X 2)dX的近似值，取四位小数，并估 1.514

26、 f exdx10 3、3、用复合抛物线公式计算0，要使截断误差不超过2 ，应至 少将区间0，1.5多少等份？ 2 4、4、设有求积公式(如：Af(O) 2Af(1) 3A2f(2)，求代人人使 代数精度尽量高。 5、5、利用二次插值推导出数值微分的三点公式，并由此计算 2 f(x)=(1 x)在 x=1.0,1.1 和 1.2 处的导数值。 练习题八 一、填空题 y = _y + x + 1 1. 1.用Euler方法解常微分方程初值问题y(01，步长h = 0.1， 计算格式为yn+= ()， y1 =()。 f (x,y) 2. 2.求解常微分方程初值问题 jy(xo) = yo改进的欧

27、拉公式为 ( ) 3. 3.常微分方程初值问题的数值解法一般分为()法和() 法。 4. 4.求解常微分方程初值问题的 Adams公式是()步法。 5. 5.求解常微分方程初值问题的四阶R-K方法的局部截断误差为 ( )。 二、选择题 2 1、已知一个求解常微分方程的差分公式的局部截断误差为O(h )，则该方法的 阶是（ A. 1 B. 2 2、求解一阶常微分方程初值问题的梯形公式为（ ）步法 B. 2 A.多 A. 2 B. 4 C. 3 D . 5 、四阶R-K方法每步要计算（） 次f的值。 A. 4 B. 5 C. 2 D . 3 、改进的Euler公式的局部截断误差为（ ）。 A. O

28、(h2) B. O(h3) C. O(h4) D.O(h5) 3、梯形公式是求解常微分方程的（ ）阶方法。 4 5 三、判断题 1、R-K法是一类低精度的方法。 2、求解微分方程初值问题的二阶 R-K方法是多步法。 3、梯形方法是一种隐式的多步法。 4、求解微分方程初值问题的向后 Euler法是隐式方法。 0(h2)。 5、求解常微分方程初值问题的预估一校正公式的局部截断误差为 四、计算题 1、1、用Euler法求解 V= 2x + y :y（o）=1 h = 0.2，保留两位小数。 2、2、用Euler法求 X t2 y（x） = e dt 在x =0.5,0,1.5,2.0处的近似值，保留

29、5位小数 3、3、用改进的Euler法（梯形公式）解初值问题 V = 8-3y e。 计算方法练习册答案 习题一 1. 3.；4.； 二、1. 4.略; 三、1. y =12 (3(-4 9t)t)t, 5.略. C； 2. A ;3. C; 4. C； 四、1. 4 位, 1 X 2! (3) 3 位, 3 位; -x3 3! X2 5. 1 R ； 0.333% ; 3. (1) 4,- 10 2 2x2 1 3x 2x2 , - ln( . x21 x) ； 4.略; -10 6；3.略; arcta n (2)1 x(x 1), 5.略. 1. 2. 习题二 1. ；3. b - a

30、2n ； Xn 1 =X 4. Xn 一 f(Xn) 1- f (Xn)； 3. Xn 1 = Xn 5. 3. Xn Xn - 4 3. Xn Xn-4 33 Xn Xn - Xo (xn Xo),1, X0 Xn 1 = Xn -33 Xn*人一 XnXn J. (Xn - Xn J), 1.618 1. 1.59375 ; 2. （1）收敛，（2）收敛，（3）发散，（2）收敛速度快，X* =1.467 ; 3. 2.236 ; 4. 1.88 . 四、略. 习题三 二、1. 2, 4, 76. 2. 8, 7, 56 - 1 - 1 1 0 0 2 -1 0 A =LU 1 1 0 0

31、3 -1 _2 2 2 4 0 1 0 0 - _3 3 一 3. 1 1 0 0 2 2 2 1 1 -0 1 0 4. 7 ； 5. -3一 3 一 三、1. B；2. B；3 B ； 4. B ； 5. D. 四、1. x= (2 ,-2 ,1) T 2. x= (1, 1,1) T ；3 、1.;2.;3.;4.; 5. 习题四 x= (1, 1, 1, 1) T; 4. x= (2, 1, -1) （k寺） 5(k) * 1 （心） 5 (k)1 5 X1 =一一 X2十一 JI X1= x2+_ 0 丿 33 3 3 3 、1. (k奇 X2 1 (k) =x1 2 Y6 ；2.

32、（k卅） X2二 1 2 (k谢 X1 0 5 6 一 1.；2.；3.;4.; 5. yk = Ax 2 “mik =max(yQ 1 Xk =一yk 3. mk； 4任意实的非奇异； 三、1. D ； 2. A ； 3. A ； 4. C； 5. B. 四、1 . x= ( 2.444, 0.333, -2.531 ) T 5.实对称. 2 . x= ( 2.399, 0.401, -2.499 ) 3. =4, v1 = (1, - 0.47, O.14) 4.略；5 .略；6 .略. 习题五 、1.;2.;3.;4.; 5. (X Xg)(X Xj(X X3) 、1. (x2 - Xo)(x2 - xi)(x2 - X3) ； 2. 1 ； 3. 22.5 ； 2 2 -1,1,2 (x+1)+(x+1)x 4. Hermite ；5.33. 三、1. A ;2. A ;3. D;4. A ;5. C . 155 21 N2(x) =2+(x+1) (x+1)(x1) = x2 +x + 5,0.125 四、1 .2222；2.略； 2 2 2 3 2x3 +x2 14