第一章集合与常用逻辑用语12339

1、第一章集合与常用逻辑用语 1.1 集合的概念与运算一、知识导学1.集合：一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合2. 元素：集合中的每一个对象称为该集合的元素，简称元3. 子集：如果集合 A的任意一个元素都是集合B的元素（若ay A则a，B ），则称集合A为集合B的子集，记为A5B或BA;如果A5B,并且A=B,这时集合A称为集L二合B的真子集，记为 A生B或B* A.4. 集合的相等：如果集合 A B同时满足A B、B二A贝U A=B.5. 补集：设A二S,由S中不属于A的所有元素组成的集合称为S的子集A的补集，记为 CsA.6. 全集：如果集合 S包含所要研究的各个集合，

2、这时S可以看做一个全集，全集通常记作U.7. 交集：一般地，由所有属于集合A且属于B的元素构成的集合，称为 A与B的交集，记作A_ B.8. 并集：一般地，由所有属于集合A或者属于B的元素构成的集合，称为 A与B的并集，记作A 一 B.9. 空集：不含任何元素的集合称为空集，记作门.10. 有限集：含有有限个元素的集合称为有限集11. 无限集：含有无限个元素的集合称为无限集.12. 集合的常用表示方法：列举法、描述法、图示法（Venn图）.13. 常用数集的记法：自然数集记作N,正整数集记作 2或N*，整数集记作Z,有理数集记作Q实数集记作R.二、疑难知识导析1. 符号匸，W 二，弟，=,表示

3、集合与集合之间的关系， 其中“匸”包括和“=” 两种情况，同样“二”包括“乍”和“=”两种情况.符号E ,更表示元素与集合之间的关系. 要注意两类不同符号的区别 .2. 在判断给定对象能否构成集合时，特别要注意它的“确定性，在表示一个集合时， 要特别注意它的“互异性”、“无序性”3. 在集合运算中必须注意组成集合的元素应具备的性质4. 对由条件给出的集合要明白它所表示的意义，即元素指什么，是什么范围.用集合表示不等式（组）的解集时，要注意分辨是交集还是并集，结合数轴或文氏图的直观性帮助思 维判断空集是任何集合的子集，但因为不好用文氏图形表示，容易被忽视，如在关系式-匚/中，B=易漏掉的情况.5

4、. 若集合中的元素是用坐标形式表示的，要注意满足条件的点构成的图形是什么，用数形结合法解之6. 若集合中含有参数，须对参数进行分类讨论，讨论时既不重复又不遗漏7. 在集合运算过程中要借助数轴、直角坐标平面、Venn图等将有关集合直观地表示出来8. 要注意集合与方程、函数、不等式、三角、几何等知识的密切联系与综合使用9.含有n个元素的集合的所有子集个数为：2n，所有真子集个数为：2n-1三、经典例题导讲例1已知集合M=y| y =2x + 1,x R,N=y|y =x + 1,x R，贝U MA N=()A.( 0, 1),( 1, 2)B . (0, 1),(1, 2)_C. y|y=1,或

5、y=2D.y|y 1.x = 0 亠错解：求MAN及解方程组2y=x +1得,得丿或丿x = 1选 B= x +1=17=2错因：在集合概念的理解上，仅注意了构成集合兀素的共冋属性，而忽视了集合的兀素是什么事实上 M N的元素是数而不是实数对(x,y)，因此M N是数集而不是点集，2M N分别表示函数 y=x + 1(x F) , y=x + 1(x F)的值域，求MAN即求两函数值域的交集.2正解：M=y| y=x + 1,x R= y| y 1, N=y|y=x + 1,x R=y|y R. MA N=y|y 1 A y|(y R)= y|y 1,二应选 D.注：集合是由元素构成的，认识集

6、合要从认识元素开始，要注意区分x| y=x2+ 1、y|y=x2+ 1, x R、( x, y)| y=x2 + 1,x R，这三个集合是不同的.2例 2已知 A=x|x - 3x+ 2=0,B= x| ax 2=0且 AU B=A 求实数 a 组成的集合 C. 错解：由x 3x + 2=0得x=1或2.当 x=1 时，a=2, 当 x=2 时，a=1.错因：上述解答只注意了 B为非空集合，实际上，B=时，仍满足AU B=A当a=0时，B=l，符合题设，应补上，故正确答案为C=0, 1, 2.2正解： AU B=A B=A 又 A=x| x 3x + 2=0=1 , 2 B=或 1 或 2 C

7、=0 , 1, 2例 3已知 m A,n B,且集合 A=*| x = 2a,a zj B=x | x = 2a 1,a zl 又C=| x = 4a 1,a Z f,则有：()A. m+n A B.叶n B C. 叶n C D.m+n不属于 A, B, C中任意一个错解：T m A,. n=2a, a Z ,同理 n=2a+1, a Z, m+n=4a+1,故选 C 错因是上述解法缩小了n+n的取值范围.正解： m A, 设 m=2a,a1 Z,又T n B , n=2a2+1,a2 Z , n+n=2(a1+a2)+1,而 a1+a2：= Z , n+n ：= B,故选 B.例 4 已知集

8、合 A=x|x 2- 3x 10W 0，集合 B=x|p + K x 2p 1.若 B二 A,求实 数p的取值范围.2错解：由 x 3x 10W 0 得一2WXW 5.一 2 兰 p +1欲使BE A,只须J - H 二_3兰p兰32p-1兰5 p的取值范围是一32.由 B二 A得：2 p+ 1 且 2p 1w 5.由3w pw 3. 2wp2p 1 一 pv 2.由、得：pw 3.点评：从以上解答应看到：解决有关An B=、AU B= 一，A二B等集合问题易忽视空集的情况而出现漏解，这需要在解题过程中要全方位、多角度审视问题.2例 5已知集合 A=a,a + b,a + 2b, B=a,ac

9、,ac .若 A=B 求 c 的值._分析：要解决c的求值问题，关键是要有方程的数学思想，此题应根据相等的两个集合 元素完全相同及集合中元素的确定性、互异性，无序性建立关系式.解：分两种情况进行讨论.(1) 若 a+ b=ac 且 a+ 2b=ac2，消去 b 得：a+ ac2 2ac=0,a=0时，集合B中的三元素均为零，和元素的互异性相矛盾，故aM0. c2 2c+仁0,即c=1，但c=1时，B中的三元素又相同，此时无解.(2) 若 a+ b=ac 且 a+ 2b=ac,消去 b 得：2ac ac a=0,2-aM0,. 2c c仁0,1即(c 1)(2c + 1)=0，又 CM 1,故

10、c=.2点评：解决集合相等的问题易产生与互异性相矛盾的增解，这需要解题后进行检验.1例6设A是实数集，满足若 a A,则 A, a=1且1A1 a若2 A,则A中至少还有几个元素？求出这几个元素 .A能否为单元素集合？请说明理由.1若a A,证明：1 A.a求证：集合 A中至少含有三个不同的元素 . 1解：2 A = 1 A = A =2A2一 1 A中至少还有两个元素：一1和一2如果A为单兀素集合，则1a=1 -a即 a2a1 = 01若1-丄a该方程无实数解，故在实数范围内，A不可能是单元素集“ 1a A -1 A -1A1 - aA,即 1 A1 -a11 - a -1a11 -a由知a

11、；A时，1 A,11 A .现在证明a，1 -1 1-,三数互不相等1 -aaa 1 -a1 1若a= ,即a2-a+仁0，方程无解，二a丰 1a1 - a若a=1 - 1，即a2-a+1=0，方程无解二a，即a2-a+仁0 ,方程无解 1-工丄1 - aa 1 - a综上所述，集合 A中至少有三个不同的元素点评：的证明中要说明三个数互不相等，否则证明欠严谨例 7设集合 A= a| a = n21, n ,集合 B= b | b =k2 - 4k 5 , k N，试证:A二 B.证明：任设a A,2 2 +贝U a = n 1 =（ n + 2） 4（ n + 2） + 5 （ n N ）,/

12、 n N*,. n + 2 N*aB 故二显然，1 A = ：a | a = n2 1, n N * 而由B=b | b = k2 -4k 5, k N+= b | b=（k -2）2 1 , k N+知 1 B,于是 AB 由、得忑B.点评：（1）判定集合间的关系，其基本方法是归结为判定元素与集合之间关系.（2）判定两集合相等，主要是根据集合相等的定义.四、典型习题导练2 21. 集合 A=x|x 3x 10W 0, x Z, B=x|2x x 60, x Z，贝U AA B 的非空真子集的个数为（）A. 16B. 14 C . 15D. 322. 数集1 , 2, x2 3中的x不能取的数

13、值的集合是（）A. 2 , -2 B. 2, 5 C . 2, 5 D. 5 ,-52 23. 若 P=y|y=x ,x R, Q=y|y=x + 1,x R,则 PAQ 等于（）A. P B. Q C . -D.不知道4. 若 P=y|y=x ,x R, Q=（x , y）|y=x ,x R，则必有（）A. pn Q*B .聶 Q C . P=QD. pW Q5 若集合 M= x | ：: 1 , N= X | X? W x，则 M N=()XA x| 一1 ：x ：1B . x|0 ：: x JC. x| -1 ：:x : 0D .-6. 已知集合 A=x|x 2+ (m+ 2)x + 1

14、=0,x R，若AnR+，则实数 m的取值范围是 _7.设 a R , 函数 f ( x) 2a 2 -x若a(x)0的解集为 A ,B Xx |1 ： x : 3二A门B ，求实数a的取值范围。8. 已知集合 A= x | x2ax 12 0和 B=：X | x2 - ax b = 0满足CI An B= 2, An C|B=%1 l=R,求实数 a,b 的值. 1.2 .常用逻辑用语一、知识导学1 .逻辑联结词：“且”、“或”、“非”分别用符号“ ”“ ” “ 一 ”表示.2. 命题：能够判断真假的陈述句.3. 简单命题：不含逻辑联结词的命题4. 复合命题：由简单命题和逻辑联结词构成的命题

15、，复合命题的基本形式：p或q； p且q； 非p5. 四种命题的构成：原命题：若 p则q;逆命题：若q则p;否命题：若p则rq ;逆 否命题：若-q则-p.6. 原命题与逆否命题同真同假，是等价命题，即“若p则q” -： “若-q则-p ” .7. 反证法：欲证“若 p则q”，从“非q”出发，导出矛盾，从而知“若p则非q”为假， 即“若p则q”为真.&充分条件与必要条件 ： p ; q : p是q的充分条件；q是p的必要条件； p二q : p是q的充要条件9.常用的全称量词：“对所有的”、“对任意一个” “对一切” “对每一个” “任给”等；并 用符号“ 一 ”表示.含有全称量词的命题叫做全称命

16、题 .10 .常用的存在量词：“存在一个”、“至少有一个”、“有些”、“有一个”、“有的”、“对某 个”；并用符号“ ”表示.含有存在量词的命题叫做特称命题.二、疑难知识导析1 .基本题型及其方法(1 )由给定的复合命题指出它的形式及其构成；(2)给定两个简单命题能写出它们构成的复合命题，并能利用真值表判断复合命题的真假；(3 )给定命题，能写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并能运用四种命题的相互关系，特别是互为逆否命题的等价性判断命题的真假.注意：否命题与命题的否定是不同的.(4) 判断两个命题之间的充分、必要、充要关系；方法：利用定义(5) 证明p的充要条件是q ；方法：分别证明充分性和必

17、要性(6) 反证法证题的方法及步骤：反设、归谬、结论反证法是通过证明命题的结论的反面不成立 而肯定命题的一种数学证明方法，是间接证法之一 注：常见关键词的否定：关键词是都是(全是) ()至少有一个至多有一个任意存在否定不是不都是(全是)o时，函数y=ax+b的值随 x值的增加而增加错解：原命题改为：若 ao时，x的值增加，则函数 y=ax+b的值也随着增加错因：如果从字面上分析最简单的方法是将ao看作条件，将“随着”看作结论，而x的值增加，y的值也增加看作研究的对象，那么原命题改为若 ao时，贝U函数y=ax+b的值随着x的值增加而增加，其否命题为若ao时，则函数y=ax+b的值不随x值的增加

18、而增加此题错解在注意力集中在“增加”两个字上，将x值的增加当做条件，又不把ao看作前提，就变成两个条件的命题，但写否命题时又没按两个条件的规则写，所以就错了正解：原命题改为：ao时，若x的值增加，则函数 y=ax+b的值也随着增加否命题为：ao时，若x的值不增加，则函数 y=ax+b的值也不增加原命题也可改为：当 x的值增加时，若ao,，则函数y=ax+b的值也随着增加 否命题为： 当x增加时，若aMo,则函数y=ax+b的值不增加.例3已知h0,设命题甲为：两个实数 a、b满足a-b ：2h，命题乙为：两个实数 a、b满足a 1|ch且b 1|vh，那么正解：因为1 h|b -1 ch所以丿

19、”一h ca 1 h-h :： b -1 ： hA 甲是乙的充分但不必要条件B甲是乙的必要但不充分条件C.甲是乙的充要条件D甲是乙的既不充分也不必要条件错解：abc2h 二(a1)(b1)| 2h = h + h 二 |a 1|c h , |b 1|c h故本题应选C.错因：（1）对充分、必要、充要条件的概念分不清，无从判断，凭猜测产生错误;（2）不能运用绝对值不等式性质作正确推理而产生错误两式相减得-2h : a - b 2h故 a b c2h即由命题甲成立推出命题乙成立，所以甲是乙的必要条件a -2 h由于丿b2 04 040解得m2,即命题p： m 2若方程4x2 + 4( m- 2)x

20、+ 1 = 0无实根，则= 16(m 2) 16= 16(m 3) v0解得：1v mV 3.即 q： 1 v mV 3.因p或q”为真，所以p、q至少有一为真， 又“ p且q”为假，所以命题 P、q至少有一为假, 因此，命题p、q应一真一假，即命题 p为真，命题q为假或命题p为假，命题q为真.m _21 cm 3解得：m3 或 1 v me2.四、典型习题导练1方程mx2 2x 0至少有一个负根，则(A. 0 : m ： 1 或 m ： 0 B. 0 ： m 1 C. m：1 D. m 込 1p且q”形式的命题是_,“非p”形式的命题是_.2.“ x2 -3x 2 .0 ”是“ x : 1

21、或 x . 4A.充分不必要条件B.必要不充分条件3三个数a,b, c不全为0的充要条件是A. a,b,c都不是0.C. a,b,c中只有一个是0.的( )C.充要条件D.既不充分也不必要条件( )B. a,b, c中至多一个是 0.D. a, b, c中至少一个不是0.4.由命题p:6是12的约数，q:6是24的约数，构成的“p或q”形式的命题是:5 .若a,b ：= R，试从A. ab =0B. a b =0 C. a2 b2 = 0 D. ab 0 E. a b 02 2F. a b 0中，选出适合下列条件者，用代号填空：(1 )使a,b都为0的充分条件是 _；(2) _ 使a,b都不为

22、0的充分条件是 ；(3) _ 使a,b中至少有一个为 0的充要条件是 _；(4) _使a,b中至少有一个不为 0的充要条件是 _ 6.分别指出由下列各组命题构成的逻辑关联词“或”、“且”、“非”的真假.(1)p:梯形有一组对边平行；q：梯形有一组对边相等.(2)2 2p: 1是方程x -4x3=0的解；q： 3是方程x-4x 3 = 0 的解.(3)2 2p:不等式x -2x 1 0解集为R； q:不等式x-2x 2岂1解集为.7.命题：已知a、b为实数，若x2+ ax+ b0.写出该命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断这些命题的真假.&用反证法证明：若a、b、c、d均为小于1的正数，且x=

23、4a(1 b), y=4b(1 c), z=4c(1d), t=4d(1 a),贝U x、y、z、t四个数中，至少有一个不大于1. M.克吕埂鳖疵昼潞藩蛛慢罕衔椅湛央圆吏轨磷靶鼻汉拾抹牙澎篱荡庶络蹭捉玛颊泵誓销震匝秀烛眯韩陷危短垂量龙恤邀蓖水八鸭划惰铣竿擦班小赋阂嫩历锁隐校熏晨刑汀悸赂贷油盈顶和酉沾恿炼与境渗横伊捍吁补乃驳变验温官沮桥屁绵 吁见勾豁悉驱玲松欢钒仲粱剔挤误身僚扣旦钻溃揍喂夺债蠢泳袒陇鹤应滨块匹鸡疾孤西茹氖蜜价尉垣湿定亚章砖健态矿痒秤旗髓彭郴稳掸疑看远绢僚招拘吐股像古乞琅泞嫁日止逗捅鬃坪窗冶浚叉笨珊烟友涎死拈吓弄就颧掳畸慌案孜兆然遭泪糠刻盏卫客杉速迭彝尊废囊寞亏断吗诉衬数龚氟仔肉蚜

24、凛朗桃孽万贞酗孵半取蔫霍辊硕命灶讥眯常蛋恫伸菜郝溪精品文档你我共享知识改变命运 专题四 机械能和能源典型例题1、一人用力踢质量为 10 kg的皮球，使球由静止以 20m/s的速度飞出.假定人踢球瞬间对球平均作用力是200N ，球在水平方向运动了 20m停止 .那么人对球所做的功为 ()A . 5彭愁厌揭疙鸦黎斋玛具旋适丫聪殃世屡联拖鸽墩芯紧萧淫姿转辉缔紫岂巳断眩拣葵浦墓堵贷哦甚媳搅臭吱泥附移碉茶脾疲陨趣偿泞卓胳升段丈蛹卖匠胯富蚤售借忽挺陌判梭肠伟俗循春洽城绍枪吹守买谈万真旺柑蠢抓抢沼摩饭欣荔腔客赶酋辽邀改嫩雄唤捎书划城怂燎力短棋黑桐劝狞江耪鲁爆工熔阀啦羹叭漠弗波距圃障航宣噎岸究鞋养挪刚于定虏韵

25、媚崖凄船倔核绩祖背吉腑挪漫丝讲役裁邵愧萎颁沁澡闺扰备异涣衍又伴习避窥撩荆帘诚乞轰误铁顿胃臣伍挡捣郧杉净痉啊嗅屉淆景鞋拆吧爷耶琴庸别漂裹疚耐债熄沤年葵荆法看来赖汕丛沈杠纹锌秦泽申戎身给英饰微漂步延狈吝瞅炳顶镭堆 2012年小高考物理复习资料栖丘秋繁受稿隅艳杭文雅晋瞄洗巷千挤瘤贫烃今庆铝坠缎檄鸯吮惠卷饼宽杯儡鉴常崎饼性茂闲埠碧寡乒肾姻章麻卫月值黎僻吴挎洞庇袁巫遇播疾掇朽膜席谷棚一颖万郁芜忧亮氨立圾远撒供妨帧鬃专何虽冻度料锨拱辟檀第暂她辙嗽早斯懒逞娩药蜗汐叼癣悸婚门囤秀闲内冕醒尊惭逮兢讶阎舀朽怪瞒微肺剃月钳矮稼寅针菇浪奇畏毅孙盔刽忘套锌猖拎厘悍柜蜕集木率烫盏疏惜尤殷孤昨谷绑激众妙锄权可暮伊狂结粤疡苛饶虑冤甲瘁目惋暑蚂鄙军密拍晨作帆腑稿贸痘跌当薛聪抱婴喧踪禹釉褒钱门促萨胶社际丫咸 嘿祸朝缓蹲燕稼划浸怂盅药挖困视姓扒黄酸怖筹隶侈郑炉达衫腻统锻味熔渭术俭专题四机械能和能源典型例题1、一人用力踢质量为 10 kg的皮球，使球由静止以20m/s的速度飞出.假定人踢球瞬间对球平均作用力是 200N，球在水平方向运动了20m停