2.1含参变量的反常积分ppt课件

1、19.2 含参变量的反常积分含参变量的反常积分19.2.1 一致收敛性及其判别法一致收敛性及其判别法19.2.2 含参变量的反常积分的性质含参变量的反常积分的性质19.2.3 含参变量的无界函数反常积分含参变量的无界函数反常积分19.2.1 一致收敛性及其判别法 , ,)a bc都收敛, ( , ) (1)cf x y dy( )( , ) (2)cI xf x y dy广义积分,或简称含参变量反常积分. :(1)证明,由定义1来证0, 0,N 取, ,),:ANx 有sinAxydyysinAxydyy u xy令sinAxuduu0sin,uduu 0,M,:AM有sinAuduusinA

2、xuduuM()AxAM ,).此含参量广义积分在一致收敛(2). ,由定义1的否定判断来证0 0,取0,N0 ,AN取0 (0,),x取:使00sinAx ydyy0.0 0sinA xuduu0sinlimttuduu0sinuduup记为02p由保号性,0,:0,tt 有:sin2tupduu01sin22puduu1N2(1)N00(,0)2A x此时2p(0,).所论积分在非一致收敛注:1 ( )( , )nnAnAuxf x y dy其中11( , )nnAAnf x y dy11lim( , )kknAAnkf x y dy1lim( , )nAcnf x y dy( , )cf

3、 x y dy1cA2A3A4AnA: 证必要性0, 0,N取, , ,:nmNxa b 有( )( )mnuxux11( , )( , )mnmnAAAAf x y dyf x y dy1( , )nmAAf x y dy(7) , .a b级数在上一致收敛(1)( , ) , ,cf x y dya b由在上一致收敛 故, , ,:McAAMxa b 总有( , )AAf x y dy (),nAn 又由,M对上述1,N正整数1,nmN只要当时 有:1,nmAAM1N充分性用反证法. 使得 0( , )AAf x y dy1max 1,Mc取,211AAM则1 , ,xa b及2110:

4、( , ).AAf x y dy使得,一般地21max, (2),nnMn An取则有221 , ,:nnnnAAMxa b及使得2210(, ) ( )nnAnAf xy dylimnnA 由()式知, 2122()(, )nnAnnnAuxf xy dy0,2 , sup( )0nxa bux0,( )nux 0, , xa b( Weierstrass ( Weierstrass 判别法判别法 ) )Dirichlet 判别法判别法:Abel判别法判别法:证22cos1(,),: ,11xyyxx 有201,1dxx而收敛,M 由判别法20cos(,).1xydxx 在内一致收敛:证0s

5、inxdxx收敛,0, yd(当然,对于参量 ,它在上一致收敛),0, yd每个固定的,( , )xyg x yex函数为 的单调函数,0,0,yd x且对任何都有( , )xyg x ye1由阿贝尔判别法,0sin0, xyxedxdx得在上一致收敛.:(证反证法)( , ) , ),cf x y dya b设在上一致收敛120, , ),:McA AMxa b 则有21( , ), ( )AAf x y dy12( , ) , ,f x ya bA A又在上连续21( , ), , AAf x y dyxa b作为 函数 在上连续.( ),xb中令得:21( , ),AAf b y dy(

6、 , ).cf x y dyxb在处收敛.矛盾/19.2.2 含参变量的反常积分的性质:,nnAA 且分析( )( , )cI xf x y dy11( , )nnAAnf x y dy1( )nnux1 , ( ),nna bux对上一致收敛的级数,用性质定理 即得所以,极限运算与积分运算可交换:分析( )( , )cI xf x y dy11( , )nnAAnf x y dy11( )( , )nnAAnI xf x y dy11( , )nnAAnf x y dy 逐项求导( , )xcfx y dy119.31( , )nnAxAnfx y dy定理:分析( , )bacdxf x

7、y dy11( , )nnbAaAndxf x y dy11( , )nnbAaAndxf x y dy逐项积分19.6定理11( , )nnAbAandyf x y dx( , )bcadyf x y dx:证明(18),不妨设中第一个积分收敛( , ),acdxf x y dy也收敛dc当时,( , )( , )ddcaacIdyf x y dxdxf x y dy记( , )( , )( , )ddcaacaddyf x y dxdxf x y dydxf x y dy( )19.11i由条件及定理( , )addxf x y dy( , )( , ) (20)AadAddxf x y

8、dydxf x y dy: lim0ddI来证AA待定,通过对 的选定,让上式的二项都任意小( ),ii由条件0,:GaAG 对于有( , )2Acdxf x y dy1, ( , ) ,cAGf x y dy选定由的一致收敛性, , ,McdMxa b 有:( , )2()df x y dyAa(20)把这两个结果应用到式得到22dI lim0,ddI即(19).这就证明了式/lim( , )0AAcdxf x y dyddc:解sinsinbxaxxcos,baxydy0sinsin pxbxaxIedxx0cosbpxaexydy dx0cosbpxadxexydycos,pxpxexy

9、e由于0pxedx广义积分收敛,M 根据判别法0cos , ,pxexydxa b知在上一致收敛cos0,) , ,pxexya b 由于在上连续,于是 可交换积分顺序 从而0cosbpxaIdyexydx22bapdypyarctanarctan.bapp/:解5 ,0,:b 例 中 取得0sinpxaxedxxarctan, (0)app( )F p ,:由阿贝尔判别法 可知0sin:pxaxpedxx含参量 的广义积分0.p 在上一致收敛( )0F pp在上连续,0sin(0)axdxFx0lim( )pF p0lim arctanpapsgn .2a/:解(,),:r 有22cos,x

10、xerxe20 xedx而收敛,20cos (,).xerx dxr 在内一致收敛20cos xrerxdx又20sin (24)xx erx dx(,),0,:rx 由于有22sinxxxerxxe20 xxedx而收敛,20sin (,).xx erx dxr 在内一致收敛19.10(),由定理可微性定理 得( ) r20sin xx erx dx20limsin AxAx erx dx220011limsincos 22AAxxAerxrerx dx20cos 2xrerx dx ( )2rr :解方程( )( )2rrr 20(0) xedx224: ( ).2rre得/20 2xedx此结论在第22章19.