2002考研数二真题及解析

1、J.xarcs in2设函数f (x)二位于曲线y = xeae0,*x)下方，x轴上方的无界图形的面积是20GG年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题填空题(本题共5/小题，每小题3分，满分15分，把答案填在题中横线上) x 0在x =0处连续，则a二.2 1微分方程yyJy，=0满足初始条件y|x)=1,7 x兰匕 的特解是_.L 匚 rnrilim L +cos+cos+.+cos = 7 0时,(h)2f (2h)3f (3h) - f (0)是比h2高阶的无穷小.十、(本题满分6分)已知A,B为3阶矩阵，且满足2AB二B-4E,其中E是3阶单位矩阵.(1) 证明：矩阵A-2E可逆；1

2、-201若B= 120，求矩阵A.0 0 2 i十二、(本题满6分)已知4阶方阵A =(1,23, 4), 1, 2, 3, 4均为4维列向量，其中234 线性无关，=22 -3.如果 亠2必3心4，求线性方程组AX = ?的通解.20GG年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、填空题(1)【答案】-2【详解】如果分段函数f (x)连续，则f (x)在0点处的左右极限相等，从而确定a的值.当 xo 时，1-etanx LI-tan x _ -x ;lim f (x)二 lim ae2x = a = f (0) 2 x )0 0 -x0tan x1 -e lim f (x)二 lim xT

3、x0二arcsin 如果 f(x)在 x=0 处连续，必有 f(0) = f(OJ = f (0),即 a - -2.【答案】1【详解】面积S二其中【答案】.x二 - xel i mbe b_j:.y 二 x 1xe 公dx - -xde 公= xe 公-x x-x-elim xe -e0 b，：-b 、1【详解】X-：-e dx- 0b = 一 iim bee一订=1 0by：-陶 be旷.0: 这是属于缺xdp方法1” dp dp dyy p, yp -.dx dy dx dy原方程yy + y2 =0化为yp些+ p2 = 0，dyp = 0 或 y 匹 p = 0dyP=0，即理=0,

4、不满足初始条件ydx所以，y如 p =0,分离变量得业二 yx = 0 一2，dx dp . dy由初始条件y是得解之得,dy =丄dx 2yy x C2, y x C2 .=f (y, y)类型. 命1x=0 Y， -虫，解之得p二p可将G先定出来：-弃之；所以y丄。.于2 1 2p = 0即史dx y1以yx=1代入，得仁C2，所以应取“ + ”号且C2 =1 于是特解是y.X 1 .方法2 :将yy - y2=0改写为(yy)=0,从而得讨讨二1 1 1 y(0)= 1y (0)2 代入，有 1 2 二 G，所以得 yy =2 (y2)、1.解得y =x C2, y= - x C2 .再

5、以初值代入,C 以初始条件即2yy =1，改写为-,C2所以应取且C2 =1 .于是特解yX 1 .22【答案】【详解】利用定积分的概念将被积函数化为定积分求极限.兀2兀Jnn 1 cos I 1 cos “ 1 - cos n r n 1nn_一 i #= limE f ()山人 n 兀 n i 4n其中f (x) =、1 cosx,. ：Xi,(i=1,2,|l(, n)，所以根据定积分的定义，有_n1兀 J2兀nnlim 1 cos : .1 - cos ：.1 cos n ；：n ,n1 2 二1 cos xdx =(-：0 二 0(5)【答案】4_0-2【详解】记A =丨2 一 2因

6、为im -n n=lim 二.1 cos nT：】ij nn x 2、2 cos dx =271Aw*0-2-2、52 22-22 22-2-2丸-22 y (x)1y(x)=0, y (0)二 1 . 代入ln.y(x)limlimx=0 y(x) x 刃 122、x o(x )【详解】方法1:排斥法.21 2令 f (x)si nx，则 f(x)在(0,：)有界，xjimf(x)=0，但xim：f(x)不存在，故(A)不成立；limj. f (x) =1=0, (C)和(D)不成立，故选(B).f (x)存在，记m- f (x) = A，证明A = 0 .方法 2 :由于y(0) = y

7、(0)x22y(x) =0 0 o(x )，22In (1 x2)四+f(x)=0，但 li方法2 :证明(B)正确.将函数y(x)按麦克劳林公式展开，有_ . 1-lim22.21o(x2)22 x1 2 2f (x)2 sin x 2cos x ，x设limAA 0，则对于0，存在X 0，使当x X时,即 A = A _ :： f (x) ： A =2 2 2 2由此可知，f(x)有界且大于-在区间x,X上应用拉格朗日中值定理,2用反证法，若Af(x)-A 0时，In(1 x2)L x2，所以 ln(1 x2).x2lim_0故选(C).Af (x)二 f(X) f ( )(x-X) f

8、(X) (x-X)2从而lim f (x)=+=c，与题设f (x)有界矛盾.类似可证当AcO时亦有矛x_jbc盾.故A=0 .(5)【答案】A【详解】方法1 :对任意常数k，向量组、，,k M :2线性无关.用反证 法，若k M2线性相关，因已知线性无关，故k 1,线性表出. 即存在常数1, 2, 3 ,使得 k r 亠，2 =心亠2二2 亠；3-：3又已知?1可由aa 2,a 3线性表出，即存在常数IJ3,使得 11 I ? 2 I代入上式，得k “ 亠=k(l仁- 122 l3二3)亠= d, 2 二2 川二3；2 =( 1 -klj： 1 2 -灯2)： 2 (3 -刘3)： 3与J不

9、能由1,2,3线性表出矛盾.故向量组1,2,3 , k 2线性无关， 选(A)方法2 :用排除法B选项：取k =0，向量组1,2,3 , k 1/2/3线性表出.即存在常数1, 2, 3，使得：211 2233与已知 矛盾，排除(B).C选项：取k = 0，向量组：、，：， 1 k 2，即r,：、， S线性无 关不成立，因为1可由 m,3线性表出，1,2,3，-1线性相关，排除(C).D选项：k=o时，m,：，1 k:2线性相关不成立.若 m3，1 k ：2线性相关，因已知=12/3线性无关，故12可由?1-23线性表出.即存在常数1, 2, 3，使得：k ：2二1：j 2： 33 又已知：1

10、可 由：仆:匕，、线性表出，即存在常数h,l2,l3，使得=lr 1 l 2 lr 3代入上式，为直角坐标的参数方程为_Lx = (1 _cos J)COS V 站，即y = (1 -cos Rs in)的直角坐标为cos ： sin2 r -sin v 2cos J sin 二曲线上日=的点对应一，在、6dy _dx理直-于是得切线的直角坐标方程为3八 3 3y -() = x -(一2424(这是由直线的点斜式得到的，直线的点斜式方程为.2X = co s - cos 33 I(二-2 4,2coss si n=1.，即 x-y-3V3 + 5=0 .444y - y 二 k(x-x)，由

11、导数的 几何意义知在时斜率为1，且该点的直角坐标为(上3-色，624 2法线方程为刊,j .3、1 z -.3 33 1 门y -() (x -(),即x y0 .2412444(这是由直线的点斜式方程及在同一点切线斜率与法线斜率为负倒数的关系而四【详解】当-1空X 7时XX 3 221 3F(x)二(t )dt 二.,2t -t2)d(t2 -t3)x-1X3 X2-丄2 2X0X213F(x)二(t)dt =.(t)dt 0 f(t)dt =(t2 J3)01 ；(dtetdt三【详解】由极坐标到直角坐标的变换公式x 一 r cos rylrg 化极坐标曲线如r 亠 k ：2 = (h -

12、：” 亠丨2-：込 T3-：3)亠 k ：2 =什冷亠2二2 亠3-：匚3= k -2 = (，1 h )厲 (，2 I2)d2 (，3 DS因为k=0，故/ J =2U3kkk与-2不能由1,2,3线性表出矛盾.故1,2,31 * kj线性相关不成立,排除(D).故选(A).x dteix1x , e 小x ln = ln 22ex 1ex1所以五【详解】1321-x x,F(x)= 2 x 21，1 帆匸(In f (x hx) - ln f (x)，f (x)h0hln f (x hx)-lnf(x). xf (x)=lim() x = (ln f (x) x =P、hx竺空-i二由题设

13、exe、f旳一 lim ln h)0h因为Lf(x hx)f(x hx)f(x)(l nf f(x)从而得到于是推得limh )0 xf (x)解此微分方程，得 lnf再由条件ximf(X)=c =1，f(x)11x *)=，即(ln f(x) xx1(x ) C，改写成f (x) = Cex丄于是得f (x) = e x.p(x)dxdx C)有方程为y p(x)y二q(x)那么通解为y=e dx1X1td 厂20 (e - 1) x edt)1 e=1xxln (1 e1)2 ex 1六【详解】这是一阶线性微分方程yZy = -1，由通解公式(如果一个一阶线性x一 p(x)dx1Jq(x)

14、edx21212y=ex - e x dx C=x 2dx C = x( C)=x Cx ,1_x_2 xx由曲线y=x，Cx2与x=1,x=2及x轴围成的图形绕x轴旋转一周的旋转体的体积为22 2312157V (x Cx ) dx =二(C C )1523(旋转体的体积公式：设有连续曲线;:y= f (x)(b) , f(x)-0与直线X二a,x=b及x轴围成平面图形.该图形绕x轴旋转一周产生旋转体的体积为b 2V 二 J：f(x)2dx)取C使V最小，由求最值的万法知先求函数的驻点，即一 =0的点，dCdV6215K( C )=0dC527575解得C又V(C)0,故C-75为V的惟一极

15、小值点，也是最小值点,124124于是所求曲线为75 2 y = x x .124由于底部是二次抛物线我们设此抛物线为dmfy = px2 q，由坐标轴的建立知此抛物线过（0,0）,（1,1）点，把这两点代入抛物线的方程，; 2/曰 0 = p 0q得2 ，所以 q = 0, p =1 .1 = p 1 q即底部的二次抛物线是y =x2，-1乞x空1 .lh_BO细横条为面积微元，按所建立的坐标系及抛物线的方程，得到面积微元dA=2xdy，因此压力微元dp =2gx（1 h - y）dy（这是由压力的公式得到的：压力 =压强 面平板ABCD上所受的总压力为1 hR = ( 2Pgx(1+h-y

16、)dy其中以x =1代入，计算得R = Pgh2.抛物板AOB上所受的总压力为1P202巾刈1 h-y）dy,其中由抛物线方程知x =、y，代入计算得P2 =4g（h 2 315、”h25由题意 P : P2 =5: 4，即 - - =14（-）4解之得h=2（米）（h=-舍去），即闸门矩形部分的高应为2m .3八【详解】由0 ：为：:3知为及（3 - xj均为正数，故130 ： x2二、捲（3 - x（）区 3-xJ22 假设0 : X寸，则再一次用不等式ab眾a 2咛，得13Xk 1=、Xk（3 -Xk）乞?（Xk 3-Xk） =22 I为正数）七【详解】方法1 :建立坐标系如下图, 由数

17、学归纳法知，对任意正整数 n 一 2有0 ： xn乞3 .2 2 另一方面，人1-禺=頑口7-禺乞X?仕x；二朋一趴)一。.Jxn(3Xn) +Xn JQXn) +人 所以g单调增加.单调增加数列焉有上界，所以lim xn存在，记为a. n_c佝=lnb-lna-理T g心空宀a +b+宀)一(五壬)=0,由Xm二Xn(3 -人)两边取极限，于是由极限的运算性质得a =.：扁(3匚a),即 2a2 _3a =0,3解得a 或a=0，但因x!0且单调增，故a=0，所以2lim xn ：n厂2九【详解】左、右两个不等式分别考虑.先证左边不等式, 方法1 :由所证的形式想到用拉格朗日中值定理.In

18、b -1 n a “.1-,(In x) x ,0 : a ：: b.b a11 2a22而 - 二一2中第二个不等式来自不等式a2 b22ab (当 0 ： a : b时)，b a +b这样就证明了要证明的左边.方法2 :用单调性证，将b改写为x并移项，命:(x) = In x -In a -2黔?，有(a)二 0 .a +x21 2a .4ax(x-a) (x-a) 4ax(x-a) 当 (x八厂(07(当0 : a ： x)，所以，当x a 0时;：(x)单调递增.所以：(x)(a) = 0 ,故(b)0 ,a2 b2ba再证右边不等式，用单调性证，将b改写为x并移项，命山1(x)=l

19、nx-l na -(x-a),Vax有(a)=0,及 * (x)-.)-x2x7 x2 Wax所以当x a 0时，(x) -3-20 110)1 0qo0 318B 4E =因为若A E 310.0（对应元素相减） :E 进行初等行变换，1、行互换T-21004怔7二 /对)IB44E-0 0 L1 1 02行4)b进1怡一201-20101010乎80 11 000 00IB -4E：E I -L1 -2014182行 1 行 3T1行七行2 T 11-2 10 04。3 严h3 1-037故(B -4E)A =8(8(P ,0代4鸟号8(B04BO-4E02严80（常数与矩阵相乘，矩阵的每

20、2E) + 2E 中则2 2 一勺每一个元素都需要乘以该常-1I 02-30O -20卜十二【详解】方法020=| 1 10-2J（对应元素相加），由2,3,4线性无关，及 1=（A-2E）（B - 4E） =8E 二（A-2E） - （B - 4E） = E1根据可逆矩阵的定义知 A-2E可逆，且（A 2E）=： （B4E）.8 由结果知（A2E）=-（B4E），根据逆矩阵的性质（从尸糸讯二,8-1-2-2- 3 0 4,即:可以由-2/-3/-4线性表出，故12,3,4线性相关，及： 匕2：3心4即可由：1,2,：3,：4线性表出，知rAL 】=r 11,23,4,一 r123,4 丄 r

21、（A）二 r 匚123 丄3系数矩阵的秩与增广矩阵的秩相等，故A -有解.对应齐次方程组Ax=0，其系数矩阵的秩为3，故其基础解系中含有4-3（未知量的个数-系数矩阵的秩）个线性无关的解向量，故其通解可以写成 k， ”是Ax二1的一个特解，根据非齐次线性方程组的解的结构定理，知I 1-21因为Ax = 0的基础解系中只含04 -卜1,2,3,4 1又:=宀 亠：2 亠：3 亠；4 - 1，二2, 故”1,1,1,1是Ax二-的一个特解，ll11根据非齐次线性方程】| |，即A组的解的结构定方法2 :令X - %, X2,X3,X4，则线性非齐次方程为Ax -:3/4 lx=xi 亠：2X2 亠：3X3，-：*X4 二=匕 1