自动控制理论时域分析2 二阶系统

1、 3.2 3.2 二阶系统的瞬态响应二阶系统的瞬态响应 一个可以用二阶微分方程来描述的系统称为二阶系统。从物理上讲，二阶系统包含有二个独立的储能元件，经常用到的储能元件有电感、电容等。 一、二阶系统标准形式 JKsJFsJKKFsJsKsRsCsG?22)()()(1)Ks Ts?( )R s( )C s?FJssK? 令： 则 二阶系统标准式: 无阻尼自然振荡频率； 阻尼比 二阶系统的特征方程为： 系统的两个特征根（闭环极点）为 特征根的性质取决于 的大小，下面分四种情况讨论。 2nJK?nJF?2?122,1?nns?0s2s2nn2? ? ? ?2222)(nnnsssG?n?JKsJF

2、sJKsRsCsG?2)()()(1)Ks Ts?( )R s( )C s?FJssK?特征根的s平面的分布情况见图 1 1欠阻尼情况 : : 则二阶系统具有一对共轭复根： 式中： 称为阻尼振荡频率 ) 10(?dnjs?2, 1ssImRe0sImRe0s2s2s1s1s1s21n?n?01?00?(a)(b)(d)ImRe1?ImRe01s2s1?(c)21?nd1s2nn2 ,1?1s2nn2,1? ? ? ? ?cos特征根为： 特征根为：共扼复数 相等实数 不等实数 共扼虚数 d?输入为单位阶跃信号，则系统输出量的拉氏变换为 对上式进行拉氏反变换，可得单位阶跃响应： 式中： 欠阻尼二

3、阶系统的单位阶跃响应为一条衰减振荡曲线，包含在一对包络线 之内。振荡频率为 。 )2()(222nnnssssC?2222)()(1dnndnnssss?) tsin1t(cose1) t ( cd2dtn?)sincos1(11122tteddtn?)sin(112?tedtn?21arctan?d?2tn1e1? ? ? ? 越小，系统振荡越厉害，一般取0.50.8之间。 ?一条幅值按指数衰减的阻尼振荡曲线 2 2临界阻尼情况（ ） 由 可知，此时系统有两个 相等的实根 对单位阶跃输入，系统输出的拉氏变换可写为 响应曲线： 1?1s2nn2,1? ? ? ? ?n2 ,1s?nnnnnns

4、ssssssc?1)(1)2()(2222)1 (1)(tetcntn?( )c t( )r t01t( )c t一条单调上升的指数曲线 3 3过阻尼情况（ ） 此时系统有两个不相等的负实根 对单位阶跃输入，输出拉氏变换式写成部分分式为 将上式拉氏反变换，得过阻尼情况时的时域响应： 式中 1?1s2nn2,1? ? ? ? ?1s11( 21s)11( 2s1)s( c2nn1222nn122?)TeTe(1211)t ( c2t2T1t1T2?nnTT?)1()1(2221?( )r tt( )c t0也是一条单调上升的指数曲线 响应速度比临界阻尼缓慢 4无阻尼情况 此时系统有一对共扼虚根

5、这是一条等幅振荡曲线。 njs?2 , 11s2nn2 , 1?)0(?tcos1)t ( cn?)0t ( ? ?( )c t012t)0(?)0(? ?( )c t012t1?( )r tt( )c t01?( )c t( )r t01t( )c t) 10(?重点 控制系统的动态特性控制系统的动态特性 一动态性能指标一动态性能指标 通常以系统单位阶跃输入时的响应来定义时域性能指标。 1上升时间 ：阶跃响应曲线首次从零值上升到其稳态值所需 的时间。（若无超调量，取稳态值1090） rt2峰值时间 ：阶跃响应曲线第一次出现峰值的时间。 pt3超调量 ：阶跃响应超过稳态值的最大值与稳态值之比

6、的百分数。下式中， 为输出响应的最大值； 为稳态值。 %100)()()(?cctcMPP)(Ptc)(?cPM 4调整时间 （又称过渡过程时间） ：响应曲线达到并保持与稳态值之差在预定的差值内（又叫误差带 ）所需要的时间。一般取2%或5%。 st二、二阶系统的动态响应性能指标二、二阶系统的动态响应性能指标 （1）峰值时间）峰值时间 因为 整理得： 为输出响应达到第一个峰值所需的时间，应取 因为 ，得到 与极点虚部成反比, 一定时,极点离实轴越远, 越短。 )sin(11)(2?tetcdtn0dt) t (dcptt? ? ?0)cos()sin(?pdtdpdtntetepnpn?2pd1

7、)t(tg? ? ? ?21tg?Pt? ?Pdt21?ndPt?3 ,2,0?pptPtPtPt （2）最大超调量 因为最大超调量发生在峰值时间上，所以将 代入 得 表明:二阶系统的最大超调量仅与阻尼比有关, 越大, 越小。 21?ndPtPM221211)sin1(cos1)(?eetcP? ?%100121?etcMpP)sin(11)(2?tetcdtnPM（3）调整时间 ts 欠阻尼情况下输出响应的衰减情况可以用包络线近似。 （ ） 求得 当 时，忽略 （ ） ( ) 表明：调整时间与系统极点的实数值成反比。由于 由 决定，若 不变，加大 的数值，则可在不影响系统 的情况下，加快系统

8、的响应速度。 ?21ln05. 0ln1?nst1?21ln?nst?4?05.0111)(12?sntsetcnnst?305.0ln?05.0?02.0?05.0?PM?n?PMst （4）上升时间）上升时间 根据定义 因为: 必有： 所以: 其中 上式表明：在 一定的情况下，无阻尼自然振荡频率 越大，系统的响应就越迅速。 n?rt1)tsin(1e1)t ( crd2tnr?0?rnte?rdtdrt?21?nd?3.2 3.2 二阶系统的瞬态响应二阶系统的瞬态响应 小结 阻尼比小： 上升时间短，调整时间长，超调量大 阻尼比大：上升时间长 希 望：上升时间短、调整时间短、超调量小，工程

9、上阻尼比一般取0.40.8。阻尼比为0.707称 为最佳阻尼比. drt? ? ?nst?43?%10021?eMP21?ndPt例3-2 P67 例题 3-3 P97 通常把三阶以上的系统就称为高阶系统 。一般近似为一个二阶系统来处理。 设 控制系统的闭环传递函数为 阶跃响应 011n1nnn011m1mmmasasasabsbsbsb)s(D)s(M)s(R)s(C?rknknkkknkknkkkqjjjqjrknknkkjmiissCsBpsAsAssspszsksC12221011221)2(11)2()()()(?)1sin1cos()(21120tCtBeeAAtCknkkqjri

10、knkkttpjnkkj?3.3 高阶系统的瞬态响应 高阶系统阶跃响应曲线高阶系统阶跃响应曲线 1. 高阶系统时域响应的瞬态分量由一阶惯性环节和二阶振荡环节合成。 2. 响应曲线的类型（振荡情况）由闭环极点的性质所决定。 3. 闭环极点离虚轴愈近，其对系统的影响愈大。 4. 偶极子： 同一位置或相距很近的闭环零、极点 ，对系统的影响很小。 5. 主导极点：如果系统中有一个极点（或一对复数极点）距虚轴很近，且附近没有闭环零点，而其他闭环极点与虚轴的距离都比该极点与虚轴距离大5倍以上，这种离虚轴最近的闭环极点将对系统的动态响应起主导作用，并称其为闭环主导极点。 )1sin1cos()(21120tCtBeeAAtCknkkqjriknkkttpjnkkj?例：三阶系统的闭环传递函数 系统闭环极点： 系统单位阶跃响应： 实极点 P3的实部和P1 、P2的实部之比： 所以P1 、P2为一对主导极点。 如果忽略P3 对应的动态分