泰州中学高三质量调研测试--数学

1、2010年9月江苏省泰州中学2011届高三数学质量检测试卷1 .已知集合 A则的率的频数为10,则抽取的学生人数是.103750.0128 已知扇形的圆心角为 2 (定值)，半径为R (定值)，分别按图一、二作扇形的内接矩、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70 分)3,m2 , B 1,3,2m 1,若 A B，则实数 m 的值为 .2 .若复数z (2 i)(a i),(i为虚数单位)为纯虚数，实数a的值为 .3 .长方形ABCD中 , , AB= 2, BC= 1, O为AB中点，在长方形 ABCD内随机取一点，取到的点到O的距离大于1的概为.4 执行右边的程序框图，若p 15，则

2、输出的n.5 .设a, b为不重合的两条直线，为不重合的两个平面， 给出下列命题：(1 )若 a / 且 b / ，则 a / b ; (2)若 a 且 b ，则 a / b ;(3 )若 a / 且 a / ，贝 U /； (4 )若 a 且 a ，贝 U /上面命题中，所有真命题 的序号是.6如图是某学校学生体重的频率分布直方图，已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1:2:3，第2小组7 若函数y=cos x (0)在(0,)上是单调函数，则实数 的2取值范围是.yx+2，贝H 竝 的取值范围为 。X。2 2X y10如图，已知是椭圆C：r 2 1 (a b 0)的a b左、右焦点，点

3、 P在椭圆C上，线段PF2与圆X2 y2 b2相切于点Q，且点Q为线段PF2的中点，则椭圆C的离心率为11. 等腰三角形 ABC的腰AC上的中线BD的长为3,则厶ABC的面积的最大值为 12 给定正整数n(n 2)按右图方式构成三角形数表：第一行依次写上数1，2，3,n,在下面一行的每相邻两个数 的正中间上方写上这两个数之和，得到上面一行的数(比 下一行少一个数)，依次类推，最后一行(第 n行)只有 一个数.例如n=6时数表如图所示，则当n=2010时最后J1248 &420 28 368 12 16 203 5 7 H12 3 4 5 6行的数是.13已知函数是定义在(0,)上的单调增函数，

4、当n N 时，f(n)N，若 ff (n)3n，则f(5)的值等于. 214 .已知 f(x)=ax +bx+c(a 丰 0)， g(x)=f 若f(x)无零点，贝U g(x)0对 x R成立； 若f(x)有且只有一个零点，则g(x)必有两个零点； 若方程f(x)=0有两个不等实根，则方程 g(x)=0不可能无解。其中真命题的个数是 个。二、解答题uur2 uuu_uur uuu15. (本题 14 分)已知 O 为坐标原点，OA (2sin x,1),OB (1, 2 3sin xcosx 1)， f (x) OA OB m .(I) 求yf(x)的单调递增区间;(n)若f (x)的定义域为

5、一，值域为2,5，求m的值.216. (14 分)在四棱锥 P ABCD 中，/ ABC =Z ACD = 90 / BAC = Z CAD = 60 PA丄平面 ABCD，E 为PD 的中点，PA= 2AB = 2.(I)求四棱锥 P ABCD的体积V;(n)若F为PC的中点，求证 PC丄平面AEF ;D(川)求证CE /平面FAB .当-且灌溉渠的横截面面积大于8平方米时，求当x=2时，试求灌溉渠的横截面面积的最大值.x的最小正整数值;18.（本题满分16分）已知圆 C:x2 y29，点 A（ 5,0），直线 l : x 2y 0.求与圆C相切，且与直线l垂直的直线方程；PBPA在直线OA

6、上（O为坐标原点），存在定点B （不同于点 A），满足：对于圆C上任一点P，都有为一常数，试求所有满足条件的点B的坐标.19. 已知无穷数列an中，ai, a2,，am是首项为10,公差为一2的等差数列；am+1,am+ 2,，a2m是首项为1 ,公比为1的等比数列（其中3, m N* ）,并对任意的n N*，均有2 2an+ 2m an h成立.（1）当 m= 12 时，求 a2oio；i（2）若a52 =，试求m的值；128（3） 判断是否存在 m （m3, m N* ）,使得S128m+ 32010成立？若存在，试求出m的值；若不存在， 请说明理由.20. （本小题满分16分）已知 f1

7、（x） |3x 1|, f2（x） |a 3x 9|（a 0）, x R,曰f1（x）, f1（x）f2（x）且 f （x）.f2（X）, f1（X）f2（X）（i）当a 1时，求f （x）在x 1处的切线方程；（n）当2 a 9时，设f（x） f2（x）所对应的自变量取值区间的长度为1（闭区间m, n的长度定义为n m）,试求I的最大值；（川）是否存在这样的a，使得当x 2, 时，f（x） f2（x）?若存在，求出a的取值范围；若不存在,请说明理由一、填空题（本大题共1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 二、解答题15.江苏省泰州中学 2011 届高三数学质量检测答题纸14 小题，每小题

8、 5 分，共 70分）8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 号学16.17.18.19.20.江苏省泰州中学2011届高三数学质量检测答案一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1.已知集合 A3,m2 , B 1,3,2m 1,若A B，则实数 m的值为 .1. 1 2. 若复数z (2 i)(a i), (i为虚数单位)为纯虚1实数a的值为 2.3.长方形ABCD中 , , AB= 2, BC= 1, O为2中点，在长方形 ABCD内随机取一点，取到的点到O的距离大于1的概率为144执行右边的程序框图，若p 15，则输出的n.55.设a, b为不重合的两条直线，为

9、不重合的两个平面，给出下列命题：(1 )若 a /且 b /，则a /b ；(2)若 a且 b，则 a/ b；(3 )若 a /且 a /，贝 U /；(4 )若 a且 a，贝 U /0.03750.0125上面命题中，所有真命题.的序号是 . 5. (2), (4)6如图是某学校学生体重的频率分布直方图，已知图中 从左到右的前3个小组的频率之比为1:2:3，第2小组 的频数为10，则抽取的学生人数是.407 若函数y=cos x (0)在(0, 3)上是单调函数，则实数 的&已知扇形的圆心角为 2出的矩形面积的最大值为第8题图P在直线x+2y-仁0上，点 Q在直线x+2y+3=0上，PQ的中

10、点为 M( x。，y。),R2 tan 2取值范围是. (0,2 9.已知点且 yX0+2,则匹的取值范围为X。(丄,-)252 210如图，已知Fi,F2是椭圆C：笃 2a b左、右焦点，点 P在椭圆C上，线段PF2与圆x21 (a b 0)的2 ,2y b相切于点Q，且点Q为线段PF2的中点，则椭圆C的离3心率为yp11.等腰三角形 ABC的腰AC上的中线BD的长为3,则厶ABC的面积的最大值为6 12给定正整数n(n 2)按右图方式构成三角形数表：第一行依次写上数1, 2, 3,n,在下面一行的每相邻两个数 的正中间上方写上这两个数之和，得到上面一行的数(比 下一行少一个数)，依次类推，

11、最后一行(第 n行)只有一 一个数.例如n=6时数表如图所示，则当n=2010时最后一8 12 16 203 57 9 H12 34 5 6J124S 6420 28 36行的数是 . 2011 x 2200813.已知函数是定义在 (0,)上的单调增函数，当n N 时，f(n) N，若 f f (n)3n，则f(5)的值等于. 814 .已知 f(x)=ax 2+bx+c(a 丰 0), g(x)=f 若f(x)无零点，贝U g(x)0对 x R成立； 若f(x)有且只有一个零点，则g(x)必有两个零点； 若方程f(x)=0有两个不等实根，则方程 g(x)=0不可能无解。其中真命题的个数是

12、个。0个二、解答题uur2 uuu_uur uuu15. (本题 14 分)已知 O 为坐标原点，OA (2sin x,1),OB (1, 2 3sin xcosx 1) , f (x) OA OB m .(I) 求yf(x)的单调递增区间;(n)若f(x)的定义域为,，值域为2,5，求m的值.215. (本题14分)2sin2x 2.3sin xcosx 1 m=1cos2x3sin x1 m=由2k2x -32k262得y f(x)i的单调递增区间为k解: (I) f(x)时，72sin(2x )2 m 4 分(k Z)2,k (k Z)7 分63(n)当一x22x13- Sabcd =2

13、ABBC1-AC CD21 1运122 石 5 J3 .222贝U V= 1 -4325廳.3 23(n)v PA = CA, F为PC的中点， AF丄 PC.7分/ PA丄平面ABCD , PA 丄 CD ./ AC 丄 CD ,PA A AC= A, CD丄平面PAC. CD 丄 PC. E为PD中点,F为PC中点， EF / CD .则EF 丄 PC.9分/ AF A EF =F, PC丄平面AEF.10分（川）证法一：取AD中点M,连 EM , CM .贝UEM / PA. / ACM = 60 而/ BAC = 60 MC / AB/ MC平面 PAB, AB平面 PAB, MC /

14、平面PAB .14 分/ EM A MC = M ,平面EMC /平面PAB ./ EC 平面 EMC , EC /平面PAB.15分11 si n(2x6) 211分1 m f (x)1 m24 m, m 114分4 m516. (14 分)在四棱锥 P ABCD 中，/ ABC =Z ACD = 90 / BAC = Z CAD = 60 PA丄平面 ABCD , E 为PD 的中点，FA= 2AB = 2.(I)求四棱锥 P ABCD的体积V;(H)若F为PC的中点，求证PC丄平面AEF;(川)求证CE/平面PAB.16. 解：(I)在 RtAABC 中，AB= 1 ,/ BAC = 6

15、0 BC =73 , AC = 2.在 Rt ACD 中，AC = 2，/ CAD = 60 - CD = 2 3 , AD = 4./ EM平面 PAB, PA 平面 PAB, EM /平面 PAB. 12 分在 Rt ACD 中，/ CAD = 60 AC= AM = 2,证法延长DC、AB，设它们交于点 N，连PN . / NAC = Z DAC = 60 AC丄 CD, C为ND的中点.12分/ E为PD中点， EC/ PN.14分/ EC平面 PAB, PN 平面 PAB, EC /平面 PAB. 15 分17. 如图，灌溉渠的横截面是等腰梯形，底宽2米，边坡的长为x米、倾角为锐角(

16、1) 当一且灌溉渠的横截面面积大于8平方米时，求x的最小正整数值;3(2) 当x=2时，试求灌溉渠的横截面面积的最大值18.解：设所求直线方程为y 2x b，即2x y b 0 ,解：由已知得等腰梯形的高为xsin,上底长为2+2xcos ,从而横截面面积cos+2xs in1 2S= (2+2+2xcos) - xsin =x sin2时，面积S=34x2 +3x 是(0,+g)上的增函数，当x=2时，S=3、. 38;当x=3时,3 38 所以，灌溉渠的横截面面积大于8平方米时，x的最小正整数值是 3.当 x=2 时，S=4sincos+4sin, S=4cos2 -4sin 2 +4co

17、s=4(2cos 2 +cos -1)=4(2cos-1) -(cos +1),由 S=0 及是锐角,S是增函数；当32时，S0, S是减函数。所以，当得当 00,33S有最大值3. 3.满足:A),的点综上所述，灌溉渠的横截面面积的最大值是18. (本题满分16分)2y 0.已知圆C :x2 y29，点A( 5,0)，直线l : x求与圆C相切，且与直线l垂直的直线方程；(不同于点在直线OA上(O为坐标原点)，存在定点BPB对于圆C上任一点P，都有匚B为一常数，试求所有满足条件PAB的坐标.Q直线与圆相切一223，得b3,5,所求直线方程为 y 2x3、5方法1 :假设存在这样的点B(t,O

18、)当P为圆C与x轴左交点(3,0)时,PB当P为圆PA PBC与x轴右交点(3,0)时，PBPA|t 3| ；2 ；|t 3|8 ，依题意,|t 3|2点B(，解得，t 5 (舍去)，或t89pb9,0)对于圆C上任一点P，都有PB为一常数。5PA设 P(x, y),则 y29/ * 2 .pb2 & 5) y PA (x 5)2 y2PB 3从而为常数。PA 521881 门2x x 9 x5252x10x 25 9 x225(5x 17)2(5x 17)925，15方法2 :假设存在这样的点PBB(t,0)，使得 为常数，则PAPB22 2PA ,2 2- (x t) y2(x5)2 y2

19、，将 y29 x2代入得,x2 2xt t2 2(x 10x25 9 x2)，即22(5 t)x34t23,3恒成立,5 2 t34 2 t290,，解得0,359或t -5(舍去)，9所以存在点B( ,0)对于圆519.已知无穷数列an中，a1, a2,C上任一点PB为常数PAam是首项为10,公差为2的等差数列；am+1,都有15am+ 2,，a2m 是首项为1 ,公比为1的等比数列(其中 m3 , m N*),并对任意的n N*，均有an+ 2m = an成立.2 2(1) 当 m= 12 时,求 a2010；(2) 若a52=丄，试求m的值；128(3) 判断是否存在 m (m3 ,

20、m N*),使得S128m+ 3 2010成立？若存在，试求出 m的值；若不存在,请说明理由.19. 解(1) m= 12时，数列的周期为 24. 2010= 24X 83+ 18,而ai8是等比数列中的项,a2010 = a18= a12+6 =1 6（2）(2)设am+ k是第一个周期中等比数列中的第k项，贝y am+ k= (-)k .21128等比数列中至少有7项，即m7,则一个周期中至少有14项.- a52最多是第三个周期中的项. 若a52是第一个周期中的项，则 - m= 52 7 = 45;若a52是第二个周期中的项，则1a52= am+ 7=1281a52= a3m + 7=3m

21、 = 45 , m= 15 ；128若a52是第三个周期中的项，则综上，m= 45,或15,或9.(3) 2m是此数列的周期，a52= a 5m + 7 =1128 5m = 45, m= 9;- S28m+ 3表示64个周期及等差数列的前 3项之和.-S?m最大时，S128m+ 3最大.Qm= 10nm 1）丄1m（m 1）,小、2(扪2 1112125 1（2） 21m 11m 1 （m ）m 2 彳242m12当m = 6时，S2m = 31 =“6330 一 ；6464当mW 5时，63S2m V 30 ；64当mW 7时，S2m V （7 口）212529V 30空.2464当m =

22、 6时，S2m取得最大值，则 S128m+ 3取得最大值为64 X 30+ 24= 2007.64由此可知，不存在 m ( m3, m N*),使得S128m+ 32010成立.20. （本小题满分16分）已知 f1（x） |3x 1|, f2（x） |a 3x 9|（a 0）, x R,曰f1(x), h(x) f2(x)且 f (x).f2(X), f1(X)f2(X)(i)当a 1时，求f (x)在x 1处的切线方程；的长度定义(n )当2 a 9时，设f(x)f2(x)所对应的自变量取值区间的长度为1(闭区间m, n为n m),试求I的最大值；（川）是否存在这样的 a，使得当x 2,

23、时, 请说明理由.f （x） f2（x）?若存在,求出a的取值范围；若不存在,20.解:(I)当 a 1 时，f2(x) |3x 因为当 x (0,log 3 5)时，t(x) 且 f1(x) f2(x)2 3x 102所以当 x (0,log 35)时，f(x)9|.3x 1 , f2(x)3log35 102x9 3X,5 100,31,且 1 (0,log3 5)(3分)由于 f (x)3xl n3,所以 k f (1) 3ln3 ,又 f(1)2,故所求切线方程为即(3ln3) xy 23l n3(n )因为2a 9,所以0当i9当 x log 3 -时，因为xa 3a所以由f2（x）f,x)(a 3从而当log39xlog