2021-2021版高中数学第三单元导数及其应用章末复习课教学案新人教B版选修1-1

1、第三单元导数及其应用【学习目标I 1.理解导数的几何意义并能解决有关斜率、切线方程等的问题2掌握初等函数的求导公式，并能够综合运用求导法那么求函数的导数3掌握利用导数判断函数单调性的方法，会用导数求函数的极值和最值4会用导数解决一些简单的实际应用问题.知识梳理知识点一在X= X0处的导数一 y1 .定义：函数 y= f(x)在x = xo处的瞬时变化率是 li Am0寸 =，我们称它为函数y= f (x)在x = xo处的导数.2. 几何意义：函数y= f (x)在x = xo处的导数是函数图象在点 (xo, f(xo)处的切线 .知识点二导函数当x变化时，f ( X)便是x的一个函数，我们称

2、它为f (x)的(简称) ,f(x)=y.知识点三根本初等函数的导数公式原函数导函数y= C(C为常数)y，=y = xu(u Q)y，=y = sin xy，=y = cos xy，=xy = ay =( a0,1)xy = ey，=y = log axy =(a0 且 a* 1, x0)y = In xy，=知识点四导数的运算法那么和差的导数f(x) g(x)=积的导数f(x) g(x)=商的导数f x g x=(g(x)丰 0)知识点五函数的单调性、极值与导数1 函数的单调性与导数如果在(a, b)内，那么f(x)在此区间内单调递增； ，那么f(x)在此区间内单调递减.2 函数的极值与导

3、数函数y=f(x)及其定义域内一点 xo,对于存在一个包含 xo的开区间内的所有点 x,如果 都有,那么称函数f (x)在点xo处取，记作y极大值=f (xo),并把xo称为函数f(x)的一个极大值点；如果都有 ，那么称函数f (x)在点xo处取，记作y极小值=f (xo)，并把xo称为函数f (x)的一个极小值点.极大值与极小值统称为极值极大值点与极小值点统称为极值点.知识点六 求函数y= f(x)在a, b上的最大值与最小值的步骤1.求f (x)在开区间(a, b)内所有2 计算函数f(x)在极值点和 ，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.类型一导数几何意义的应用例 1 函数 f

4、(x) = x- aln x(a R).(1) 当a= 2时，求曲线y= f(x)在点A(1 , f(1)处的切线方程;求函数f (x)的极值.反思与感悟 利用导数求切线方程时关键是找到切点，假设切点未知需设出常见的类型有两种，一类是求“在某点处的切线方程，那么此点一定为切点，易求斜率进而写出直线方程即 可得；另一类是求“过某点的切线方程，这种类型中的点不一定是切点， 可先设切点为 QX1,y1)，由yy = f (X1)和y1= f(x求出X1, y1的值，转化为第一类类型.Xo X1322跟踪训练 1 函数 f(x) = ax + 3x 6ax 11, g(x) = 3x + 6x +12

5、,直线 m y = kx+ 9, 且 f ( 1) = o.(1) 求a的值； 是否存在实数k，使直线 m既是曲线y = f (x)的切线，又是y= g(x)的切线？如果存在， 求出k的值；如果不存在，说明理由.类型二函数的单调性与导数ax 1例2 函数f(x) =l.e(1)当a= 1时，求f(x)的单调区间；1 假设对任意t e：2, 2 , f(t)t恒成立，求实数 a的取值范围.反思与感悟 (1)关注函数的定义域，单调区间应为定义域的子区间. 函数在某个区间上的单调性时转化要等价.(3) 分类讨论求函数的单调区间实质是讨论不等式的解集.(4) 求参数的范围时常用到别离参数法.跟踪训练2

6、 函数f (x) = x3 ax 1.(1) 假设f (x)在实数集R上单调递增，求a的取值范围；(2) 是否存在实数a,使f(x)在(1,1)上单调递减，假设存在，求出a的取值范围，假设不存在, 请说明理由.类型三函数的极值、最值与导数32例3函数f(x)= x + ax + bx+ c,过曲线y = f (x)上的点P(1 , f(1)的切线方程为y =3x+1, y = f (x)在 x= 2 时有极值.(1)求f (x)的表达式； 求y = f(x)在3,1上的单调区间和最大值.反思与感悟(1)极值点求参数的值后，要代回验证参数值是否满足极值的定义. 讨论极值点的实质是讨论函数的单调性

7、，即f(x)的正负.(3) 求最大值要在极大值与端点值中取最大者，求最小值要在极小值与端点值中取最小者.x a3跟踪训练3函数f (x) = 4 + x In x 2，其中a R,且曲线y = f (x)在点(1 , f(1)处的切线垂直于直线y= qX.(1)求a的值；求函数f(x)的单调区间与极值.类型四分类讨论思想In x例4 函数f (x) = 1.(1)试判断函数f(x)的单调性； 设m0,求f(x)在m,2m上的最大值；1| n1| n试证明：对？ n N+,不等式ln()e3,试判断f(x)在(0,1上的单调性，并证明你的结论； 是否存在a,使得当x (0,1时，f (x)有最大

8、值1?当堂训练1曲线 y=sinsin xx + cos x2在点m n, o处的切线的斜率为(i iA 2 B. 2 C -孑D.#2 如果函数f(x)的图象如下图，那么导函数y = f (x)的图象可能是()3. 体积为16n的圆柱，它的半径为 时，圆柱的外表积最小.4. a0,函数f (x) = x3 ax在1 ,)上单调递增，那么 a的最大值为 .1 35 .设f (x) = aln x +亍+ 2x+ 1，其中a R,曲线y= f (x)在点(1 , f (1)处的切线垂直于 y轴.(1)求a的值；求函数f (x)的极值.I一规律与方法 ,1. 禾U用导数的几何意义可以求出曲线上任意

9、一点处的切线方程y yc= f (xc)(x X。).明确过点P(xo, yo)的曲线y = f (x)的切线方程与在点 P(xo, yo)处的曲线y = f (x)的切线 方程的异同点.2 .借助导数研究函数的单调性，经常同三次函数，一元二次不等式结合，融分类讨论、数形 结合于一体.3利用导数求解优化问题，注意自变量中的定义域，找出函数关系式，转化为求最值问题合案精析知识梳理知识点一fXo+A x fXolim -A x-0A x2 .斜率知识点二导函数导数liA x-0f x+A x f xAAx知识点三u 1x0 ux cos x sin x aln a1_ xln a知识点四f(x)

10、g(x)f(x)g(x) + f(x)g(x)f x g x fxg x2g x知识点五1. f (x)0 f (x)02. f(x)f(Xo)极小值知识点六1 极值点2 端点的函数值题型探究a 例1解 函数f (x)的定义域为(0,+) , f(x) = 1 -.x(1)当 a= 2 时，f (x) = x 2ln x, 2 f(x) = 1 尹0), f(1) = 1, L (1) = 1, y = f(x)在点A(1 , f(1)处的切线方程为y 1 = (x 1),即 x+y 2= 0.a x a由 f(x) = 1 x= =，x0. 当a0，函数f(x)为(0 ,+)上的增函数，函数

11、 f (x)无极值; 当a0时，由f (x) = 0，解得x = a.当 x (0 , a)时，f (x)0, f (x)在x= a处取得极小值，且极小值为f ( a) = a- aln a,无极大值.综上，当aW0时，函数f (x)无极值；当a0时，函数f (x)在x = a处取得极小值a- aln a, 无极大值.跟踪训练1 解 因为f(x) = 3ax2 + 6x-6a,且f ( 1) = 0,所以 3a 6 6a= 0，得 a= 2.(2)因为直线 m过定点(0,9)，先求过点(0,9)，且与曲线y = g(x)相切的直线方程.2设切点坐标为(xo, 3xo+ 6x0 + 12)，又因

12、为 g(xo) = 6x0 + 6, 所以切线方程为2y (3xo + 6x0 + 12) = (6 Xo+ 6)( x Xo).将点 (0,9) 代入,得 9 3x0 6X0 12= 6X0 6X0, 所以 3x0 3 = 0，得 X0= 1.当 x0=1 时, g (1) = 12, g(1) =21,切点坐标为 (1,21) ,所以切线方程为 y= 12x9；当 X0= 1 时，g ( 1) = 0, g( 1) = 9,切点坐标为(一1,9), 所以切线方程为 y= 9.下面求曲线y = f (x)的斜率为12和0的切线方程：32因为 f(x)= 2x33x212x11,所以 f( x

13、)= 6x26x12.2由 f (x) = 12,得6x + 6x+ 12= 12,解得 x= 0 或 x= 1.当x = 0时，f (0) = 11,此时切线方程为 y= 12x 11;当 x=1 时, f(1) =2,此时切线方程为 y=12x10.所以y= 12x + 9不是公切线.2由 f (x) = 0，得6x + 6x + 12 = 0,解得 x= 1 或 x= 2.当x = 1时，f( 1) = 18,此时切线方程为 y= 18;当x = 2时，f(2) = 9,此时切线方程为 y= 9,所以 y= 9 是公切线.综上所述,当 k= 0 时, y= 9 是两曲线的公切线.x 1例

14、2解当a= 1时，f(x) =l,e,x + 2 f (X) = x.e由 f (x)0，得 x2,由 f (x)2.故f (x)的单调递增区间为(一g, 2)，单调递减区间为(2 ,+).1假设对任意t 近,2,f (t)t恒成立，1 ax 1那么当x】2，2时，xx恒成立，2 e1 x 1即当x, 2时，ae +恒成立.2，x沁x 11设 g(x) = e + x, x】2, 2,x 11那么 g(x) = e 严 x, 2.z.厶x1设 h(x) = e 子,z.21T h(x) = ex + x30在 x, 2上恒成立，x21 h(x)在【2, 2上单调递增，1 1即g，(x) = e

15、x1在-,2上单调递增.x 2,1 1T g(2)= e40,1 1 g(x) = ex -2在2, 2上有零点 mx 2-1 1 g(x) = e + -在【2, m上单调递减，在m,2上单调递增，即 21ae + , ae + 22 1即实数a的取值范围为(e2+ 2，+) 跟踪训练2 解 求导得f(x) = 3x2 a,因为f(x)在R上是增函数，所以f (x)?0在R上恒成立.即3x2 a0在R上恒成立，即 a0,所以 aw0.3当a= 0时，f (x) = x 1在R上单调递增，符合题意.所以a的取值范围是(一R, 0. 假设存在实数a,使f(x)在(1,1)上单调递减，那么f(x)

16、 W0在(1,1)上恒成立.即3x aw0在(1,1)上恒成立，2即 a3x,又因为在(一1,1) 上, 03 x2 3.2当 a= 3 时，f(x) = 3x 3,在(1,1) 上, f (x)0 ；2当 x ( 2, 3)时，f (x)0.22所以f(x)的单调递增区间为3, 2)和(-,1，单调递减区间为(一2,-).3 3又 f( 2) = 13, f(|) = 95, f( 3) = 8, f(1) = 4,所以f(x)在区间3,1上的最大值为13.跟踪训练3解(1)对f(x)求导得f(x)由f (x)在点(1 , f(1)处的切线垂直于直线y= 2x 知, f (1) = 3 a=

17、 2,解得a= 5.x 53 由(1)知 f (x) = 4+ 4x ln x 22那么 f(x) = X -：x-5.4x令 f (x) = 0，解得 x = 1 或 x= 5.因为x= 1不在f (x)的定义域(0 ,+s)内，故舍去.当x (0,5)时，f(x)0，故 f(x)在(5 ,+s)内为增函数.所以函数f(x)在x= 5时取得极小值f(5) = In 5.例4(1)解函数f (x)的定义域是(0 ,+).1 In x由f ( x) = p , z.令 f (x) = 0，得 1 In x= 0，所以 x= e.1 In x 因为当 0x0,z.,1 In x当 xe 时，f (x) =20,x所以函数f(x)在(0 , e上单调递增，在(e ,+)上单调递减. 解 由 知函数f(x)在(0, e上单调递增，在(e,+)上单调递减, 当 02mK e,即 0e时，f(x)在m|m上单调递减.In m所以 f ( X) max= f ( m) = - 1 ；e 当me2m 即|me时，当 me x0 ,当 ex2 m时，f (x)0,1 + n 所以In13,. a 3x20,即 f( x)0. f (x)在(0,1上单调递增. 当a3时，f(x)在(0,1上单调递增