浅析分块矩阵的性质和应用1讲解

1、 共 18 页 河南理工大学数学与信息科学学院本科毕业论文 第 1 页 浅析分块矩阵的性质和应用 作者姓名：周甜 河南理工大学数学与信息科学学院数学与应用数学专业 2007 级 2 班 性质 1：分块矩阵都是可逆的，且逆矩阵为分块初等矩阵。 性质 2：分块单位矩阵经过一次分块矩阵的初等变换后所得到的矩阵仍为分块初等矩阵。 摘 要：分块矩阵在高等代数中有着广泛的应用，矩阵的分块运算是矩阵运算的一种重要方法。本文主要讨论了分块矩阵的运算性质，初等变换，并举例说明和分析了分块矩阵在解决矩阵特征值计算和有关矩阵证明等问题中的应用。利用分块矩阵可以使阶数比较高，比较复杂的矩阵和抽象矩阵的特征值问题的解决

2、变得简明而清晰。 关键词：分块矩阵 行列式 特征值 初等变换 矩阵的逆 Tentative Analysis of Properties and Applications of Block Matrices Author Name：Zhou Tian Class 2 Grade 2007 of Mathematics and Applied Mathematics of College Mathematics and Information Science of Henan Polytechnic University School Summary：Block matrices has a w

3、ide use in Advanced Algebra. Operations of block matrices play an important role in the operation of matrices. This paper mainly illustrates the operation properties and the elementary transformations of block matrices. Several examples are given in the paper to show the applications of block matric

4、es in calculating the eigenvalues of a matrix and proving a subject in connection with matrices. It is convenient to apply block matrices to deal with questions containing matrices with high order and complex appearances and calculating the eigenvalues of abstract matrices. Keywords: block matrices

5、determinant eigenvalues elementary transformation the inverse of a matrix 学生：周甜 指导教师：朱盛 共 18 页 河南理工大学数学与信息科学学院本科毕业论文 第 2 页 1 引言 在高等代数中，矩阵是一项非常重要的内容，也是高等数学的很多分支研究问题的工具。当我们处理阶数较高或者具有特殊结构的矩阵时，用一般处理低阶矩阵的方法，往往会比较困难，为了研究问题的方便，也为了显示出矩阵中某些部分的特性，我们常常把一个大型矩阵分成若干子块。把每个子块矩阵看成是一个元素，从而构成分块矩阵。分块矩阵形象地揭示了一个复杂或是特殊矩阵的

6、内部本质结构。利用矩阵分块可以把高阶矩阵划分为阶数较低的“块” ，然后对这些以“块”为单位的矩阵施行矩阵的运算。本文就分块矩阵的加法与数量乘法、乘法、转置、初等变换等运算性质，以及分块矩阵在矩阵求逆、行列式展开等方面的应用作了较为深入的研究。 1.分块矩阵的概念分块矩阵的概念 有时候，我们把一个大矩阵看成是由一些小矩阵组成的，就如矩阵是由数组成的一样，A是一特别是在运算中，把这些小矩阵当作数一样来处理，这就是所谓的矩阵的分块。设snmr块，于是，我块，再用若干纵线条将它分成 个矩阵，若用若干横线条将它分成rs块的分块矩阵，们就得到了一个有 AAs111AA表示的是一个矩阵。 ，在这里 ijAA

7、r1rs2.分块矩阵的运算性质分块矩阵的运算性质 分块矩阵的运算在形式上和数字矩阵的运算完全一样，只要进行运算的矩阵的分块适当，分块矩阵有类似于普通矩阵的运算法则： a.分块矩阵的加法分块矩阵的加法 mnAABB用同样的方法进行分块：,矩阵，并且对都是 ,设AAABBB121111121kk1BBAAAB22k21k212222BA BBAAABlkl2l2l1llk1 A,BmnA,B使同型矩阵，那么矩阵，即 都是其中 ijiijijijjABABABk111121112k1BABABAk22212122k22BA ABABABlkll2llk11l2 应注意的是，利用分块法对两个同型矩阵进

8、行加法运算时，两个矩阵必须采用相同的分块 学生：周甜 指导教师：朱盛 共 18 页 河南理工大学数学与信息科学学院本科毕业论文 第 3 页 法。下面我们通过一个例题来详细了解加法的运算法则。 a100a000a000a001,设 AB 求 AB . ，2.1 例：例：000b100b01b010b0a1a100,A1a0AO000a1A,B,A 解：将其中分块OA100b1b2;A2b010b10a00a0,B1a1BO01a01B, 其中OB000b0b2;B2b001b1a1a02a1AB, 110a1a12ab1b02b1AB, 221b1b22b2a100OBAO12a0011AB 。

9、BOAO1b200220022bmnAA进行分块：矩阵，把同理，设 都是AAAaAaAaAk1111k111212aAAAAaAaAkk2222122212aaAA ，为任意数，则 aAAaAAAaAlklk1l1l2ll2 b .分块矩阵的乘法分块矩阵的乘法 下面的定理表明，分块矩阵的乘法类似于矩阵的乘法： ，AB其中 用分块法计算 2.2 例：例： 学生：周甜 指导教师：朱盛 4 页 第 河南理工大学数学与信息科学学院本科毕业论文 共 18 页 125401003BA451,210001022 。BA, 如上分块，解：BBBAA1312111211BABBBAA2322222121 ， ，

10、 其中421(5),A,A(0,0),AA21122211021 14120B02,B,B0,BB,B； 2322112112130531CCC131211CAB 令，其中CCC2321221BCABA)0(5)(00)0) ，2111111211542)ABAB(00C102500 ，2212121112131BABCA)(00)(5)(0(0 ，23121311130141142ABCAB(0) ，211121212255120201441422BABAC2)(0 ，2212222221323011341421ABCAB)0( 。232223211300102 学生：周甜 指导教师：朱盛

11、5 页 第 河南理工大学数学与信息科学学院本科毕业论文 共 18 页 00010CCC1311121414204C CABAB。 故CCC2322215303值得注意的是，利用分块法对两个矩阵进行乘法运算时，左矩阵列的分法和右矩阵行的分法必须完全相同。 c.分块矩阵的转置分块矩阵的转置 AAs111Ars，有块的分块矩阵对于一有 AArs1rTTAAAA s111r111TAA TTAAAArs1ssrr1值得注意的是，转置时，每一个小块也要转置，并且它的位置也要行列对调。 d.对角分块矩阵的一些性质对角分块矩阵的一些性质 A，经过分块后，非 0 对角块都只在主对角线上，而且每个小块都是方阵；

12、即对于方阵 A00010A002A(i1,2,s)AA为方块对角矩阵。有，其中都是方阵，那么称i000 A000 s如下性质： AAAA 。 （1）行列式s12 ,s)AiA0(1,2,0，并且有 （2）若则 i1000A 110A0012A. 000 10A00s（3）分块对角阵的乘法， 0A000BB0A011110BB0A000A02222 000 A0A0B0B000ssss 学生：周甜 指导教师：朱盛 共 18 页 河南理工大学数学与信息科学学院本科毕业论文 第 6 页 （4）分块对角阵的转置， T00A0000A11T0A0000A02T2AA ，那么000000 TA000A00

13、0ss 3.分块矩阵初等变换的应用分块矩阵初等变换的应用 A用若干条纵线和横线分成许多块的低阶矩阵，将一个分块矩阵每一块低阶矩阵定义 3.1 AAE分块：称为称为分块矩阵。我们将单位矩阵的子块。以子块为元素的矩阵0E0r100EEr1isE为分块单位矩阵。 是）称阶单位矩阵（，其中riiE00rs3.1 应用应用分块矩阵初等变换求矩阵的逆分块矩阵初等变换求矩阵的逆 1 MMEE 中阵块矩 推广到分下面我们先将初等变换求逆矩阵的方法 去。AAAs11121AAAs21222M可以写成分块初等矩阵的乘积，其 3.1.1 可逆分块矩阵定理AAAssss12AAAA均为矩阵。 ， ，中，ssii221

14、1证明： AAAM同阶的不等于 0，若满秩，故必存在与不是可逆的，由于的子式，考虑111111AAA可逆，位置的块就是可逆的，位置，于是因此不妨设用初等变换，将此子式换到11111111is2,ij列A，) 然后将第一列右乘 A，加到第 A 行将第一行左乘 A(加到第ij1i1111s,j2 ） （，可得 学生：周甜 指导教师：朱盛 共 18 页 河南理工大学数学与信息科学学院本科毕业论文 第 7 页 A0.011AA02s22 .AA0ss2sAA若不可逆，则用上述方法，使位置的块换成可逆的块，然后用初等变换使第2222M可变成二行，第二列其余的块均消为零块，如此下去， B11B22， Bs

15、s1BBii1,s2,s1i,2,)） 。最后用。便得左乘第可逆（ 行(iiiiE1E2， ESBE 这里是与同阶的单位矩阵。iiiPQQP，使,， ,则存在分块初等矩阵,t11tE1E2QPQPEM, = t11t ES11111111PPQPPQQQEM （1） 从而：= tttt11tt而分块矩阵的逆也是分块初等矩阵，故命题得证。 MM的主对角线上的块均为矩阵，可通过行或列的初等 3.1.1 可逆分块矩阵，其中推论变换化为分块单位矩阵。 学生：周甜 指导教师：朱盛 共 18 页 河南理工大学数学与信息科学学院本科毕业论文 第 8 页 A0AMD可逆。,=的逆，其中 例 3.1.1：求DC

16、 解：10EA0 0A0E 00AE 1111EDCA0E0CDD0CAED 所以，10A1M。 =111DDCAabbaddcc0bcadM （）的逆矩阵。例 3.1.2：求矩阵=bbaadccd 解：abAAadbc0AMA可逆，由，则令知= AAcdAAE0 0AEA0AEA 11 A0EE0AA02AEEE 221111 110A0AAEEE 2222 111111EAAEEA00 2222所以， 11dbAA1111AM， =， 112acbcadAA故 学生：周甜 指导教师：朱盛 共 18 页 河南理工大学数学与信息科学学院本科毕业论文 第 9 页 dbdbacac11M。 = b

17、dbd)bc2(adaacc30021200M=的逆矩阵。 例 3.1.3：求矩阵312332341914解： A0MM，其中分块为 将=DC0031233223CDAB， ，=，=，3004191421AD可逆，且 ,显然，223311DA =。 ，=1243 所以， 由例 3.1.1，598311CAD = 10184所以， 3200100210A1M =111283359DCAD38410143.2 应用分块矩阵初等变换求解行列式 利用初等变换可使分块矩阵的行列式的计算得到简化。为讨论分块矩阵行列式的计算，先讨论分块初等矩阵的行列式，它们的行列式有下列的计算公式。 学生：周甜 指导教师：

18、朱盛 共 18 页 河南理工大学数学与信息科学学院本科毕业论文 第 10 页 引理 3.2.1 分块初等矩阵的行列式有以下性质： )(1(i,j)Er(rr)r(rr)ij)， ， ，(（1）特别地， 其中1jiji1i1jrr)1,j)(E(i1ji 则,；若jiP)(i(PEr P （2） ，其中阶可逆矩阵；是i 1P),i)jE(rrP 是 3） ，其中矩阵。 （jiA 定理 3.2.1 设是一个分块矩阵： A1A)(ji, ）交换，其中的两行（列） ，行列式变为（1r(rr)r(rr) =1jji1iji1rr A(A1) 。特别地，交换，行列式变为的相邻两行（列）1iiAAPr iP

19、 的第(行列)（2）用一个。阶可逆矩阵乘以的所有矩阵，等于用左（右）乘i AP的某一行（列）的所有矩阵再加到另一行（列）的对应）用一个矩阵左（右）乘（3 元素上，行列式不变。 ）可得如下推论：由定理 3.2.1 中的（2 AP，可以以 推论 3.2.1 分块行列式的某一行（列）的所有子矩阵的可逆左（右）因子 P 行列式的形式提到行列式符号外。 下面通过几个例子来说明分块矩阵初等变换应用的灵活性。AB MAMr。是是一个分块矩阵，其中例 3.2.1：设 阶可逆矩阵，求DC解：由推论及定理 3.2.1 的（3） ， 11 BABBAEAE 1rr AAMABDCA =1DCCAB0DDC 学生：周

20、甜 指导教师：朱盛 共 18 页 河南理工大学数学与信息科学学院本科毕业论文 第 11 页 A B0ADA,B,C,CAAC Mr。均是，例 3.2.2：已知 ，阶矩阵且C D 证明： AB ADMCB。= DCE0MEXrr,得为设 是阶单位矩阵，用阶矩阵，左乘EXBE0ABA (6) =DCDXCXAXBE1 0AA存在。因为 ，故1CAX0CXA 式，取行列式得：令，代入得(6) E0ABAB, 1EB0DXDCCA 即得ABAB 11ADCB BCAABADADACA =1BCACDD0 babaAD a。 ，求：设例 3.2.3=，其中 0n2dcdc 解： 设 学生：周甜 指导教师

21、：朱盛 共 18 页 河南理工大学数学与信息科学学院本科毕业论文 第 12 页 D=n2babadccdBA = DCCA 3.2.1、得可交换，所以由例由于 bcadn )ad(bcadbc)E(DCBAD = =。n2bcad 分块矩阵初等变换在秩问题中的应用 3.3 矩阵的秩在矩阵理论中起着非常重要的作用。而矩阵秩的问题，比较复杂，处理起来也没有一般的方法，而初等变换不改变矩阵的秩。利用分块矩阵的初等变换来处理矩阵秩，即对一个分块矩阵作一次分块矩阵初等行（列）变换，相当 2 的问题，要充分利用性质于用一个相应的分块初等矩阵左（右）乘该矩阵，利用分块矩阵左乘、右乘的灵活性，构 造适当的分块

22、矩阵，使问题得以简化。BAnmA 是：设矩阵的可逆顺序主子阵，则例 3.3.1DCBA1)CABr(rDr(A) 。DC 证明： 0EBBAAr 11ECABCA0DCDrmA 而是可逆矩阵，由以上性质知ACBA1)BrA)(DCA(rrr= 1BCA00BD)Q(An)Ar( 例 3.3.2 必为偶数。：设阶矩阵为反对称矩阵，证明ij 证明： 学生：周甜 指导教师：朱盛 共 18 页 河南理工大学数学与信息科学学院本科毕业论文 第 13 页 n应用数学归纳法对 n=2 时命题显然成立。1） nnAA分块成的反对称矩阵 2）设阶数小于 时命题为真，则对阶数为，将AB1A， DC 其中a012A

23、 ，10a12a0。不妨设 12 1A00EBABAE111 11DCAECA0BDCE011 A0BA1111B)DCAB)2r)r(Ar(Dr(A)rCAr( 1111D0CABDC11DCABA低的反对称矩阵，又因为 为阶数比11)CABr(D 由归纳假设可知为偶数，1)r(A 为偶数。所以 。 ） 、2） ，可知命题成立 1 综合snnmBA 分别为矩阵，则和：（Sylvester 公式）设，例 3.3.3r(A)r(B)nr(AB)min(r(A),r(B). 证明： 0EEBE0EBnnnn）1， E0AEA00ABsnEBnr(E)r(AB)nrr(AB) n0A 学生：周甜 指

24、导教师：朱盛 共 18 页 河南理工大学数学与信息科学学院本科毕业论文 第 14 页 EBBEnnr(A)rr(Br) 又00AAr(A)r(B)nr(AB) AAB0ABCD,， 2）记AB000EBAAAB0n E00000sr(AB)r(C)r(A) 0EB00Bn又 ，EAAB000mr(AB)r(D)r(B). r(AB)min(r(A),r(B) 所以综合 1） 、2） ，命题得证。 3.4 结论结论 分块矩阵初等变换是矩阵理论中的一个不可缺少的部分。在简化计算矩阵的逆、行列式和秩等问题时一定要找出合适的分块初等矩阵。与普通的初等变换相比，要注意分块矩阵初等变换必须在矩阵乘法能够进

25、行的前提下运算才能进行,这是分块矩阵初等变换与普通分块矩阵的区别所在。 4. 分块矩阵在矩阵特征值问题中的应用分块矩阵在矩阵特征值问题中的应用 矩阵的特征值问题在高等代数中也是一项非常重要的内容，特征值对于线性变换的研究具有基本的重要性。而我们在求一些阶数较高和较复杂的矩阵特征值时，经常会用矩阵的分块去解决，这样可以使问题的解决更简明。下面就分块矩阵以及分块矩阵的初等变换在矩阵特征值问题中的应用进行一些简单的讨论。 )f(mmnnBAAB的特的特征多项式与阶矩阵，证明阶矩阵，B 是是例 4.1：设 AABnm)f()ff()(0)A 有关系： 征多项式 BAABBA分析：我们先把上式改写为 n

26、mEBAEAB nm 学生：周甜 指导教师：朱盛 共 18 页 河南理工大学数学与信息科学学院本科毕业论文 第 15 页 nm BAABEE直接算出来，但它们是两和因为都是抽象矩阵，我们无法把nmnABE 个行列式的值，我们就不妨构造出两个矩阵来，使得他们的行列式为和mm BAEn ，这样，我们构造分块矩阵1BE nH ，EAm ABEH 作初等变换，即左乘一个广义初等分块矩阵要出现行列式，则我们对m11BE0E BEn nnEA1EAmB0E mm 对上式求行列式，得到： 11mABEEAB()H mmH 右乘一个矩阵同理，1110EBBEBAE nmn EAEA0Emmm 两边取行列式得到

27、：1nBA()EH n 2）命题得证。由（1）和（n(A)r(AE)r为引理 4.1 设 A是 n 阶矩阵，则 E，A 为幂等矩阵的充分必要条件是这里)Ar( n 阶单位矩阵，表示 A 的秩。000Er)(Arr A 引理 4.2 幂等矩阵与或者相似， 。E000r21,r)Ar(iAAA,AA,Ar)(rA。若，阶方阵，且均为设 ：例 4.2n，ii2121 学生：周甜 指导教师：朱盛 共 18 页 河南理工大学数学与信息科学学院本科毕业论文 第 16 页 2rrrA,A,AAA的特征值为 1 或 0，则，且 1 的个数和它们的秩相等。 ， 2121分析：因为给出的矩阵并不是具体的，所以我们

28、考虑用分块矩阵初等变换来解这个题目。 证明： 2rrrEAAAAnr(A)EA， ，1） A 可可逆时，即，又，因为，所以22112n)r(AA)r(A)r(EA)r(AA 。1 由已知得得到，由引理112111000Er2， ，AAA,AAA，是幂等矩阵，由引理。2 同样，12221210E00r2000Er，有相同的特征值，所以AA,AA,A,A,1 和 E，的特征值是12211E000r2或 0，且 1 的个数和它们的秩相等。 r(A)0A0，结论显然成立。时，即 2） 当 2AAn0r，使 PA 为非零又不可逆矩阵。 ，故存在可逆矩阵 3） 设，即111APPAPPAPPrr(A) ，21AABB0E12121111r1PAP(A)， ，这里令ij1BABA00222121221AP(B)EABP 11211ijrrr(AB)r(A)r(B)r(A)r(A)r 2111111111r(A)r(B)r(A)r(A) 211111r(A)r(A)0r(A)r(B)0r(A)r(A)r(A)r(B)， ，从而，111111111122EABr(AB)r，由 1）的证明可知，存在可逆矩阵 Q，且，使这样，11111111r000Er11QBQQQA