勾股定理和逆定理复习典型例题

1、勾股定理及其逆定理复习典型例题1.勾股定理：直角三角形两直角边 a、b的平方和等于斜边 c的平方。（即：a2+b2=c2）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长：a、b、c有关系a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形。2.勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理 联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。3.如果用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形（1 ）首先确定最大边（如： C,但不要认为最大边一定是C）（2）验证c2与a2+b2是否具有相等关系，若 c2=a2+b2，则 ABC是以/ C为直角的

2、三角形。（若c2a2+b2则厶ABC是以/ C为钝角的三角形，若 c2a2+b2则厶ABC是以 / C为锐角三角形）二、例题分析例1、若直角三角形两直角边的比是3： 4，斜边长是 20，求此直角三角形的面积。解：设此直角三角形两直角边分别是3x，4x，根据题意得：2 2 2（3x） + （4x） =202化简得x=16;二直角三角形的面积 =丄X3x X4X=6X2=962注：直角三角形边的有关计算中，常常要设未知数，然后用勾股定理列方程（组）求 解。例2、等边三角形的边长为 2，求它的面积。解：如图，等边 ABC 作 AD丄BC于D则：BD=1 BC （等腰三角形底边上的高与底边上的中线互相

3、重合）2 AB=AC=BC=2（等边三角形各边都相等） BD=1在直角三角形 ABD中 A6=AD+BD，即：Ab=AB2 BD=4 1=3 AD=. 31 SAABC= BC AD=32注：等边三角形面积公式：若等边三角形边长为a,则其面积为 丄3 a4例3、直角三角形周长为12cm,斜边长为5cm,求直角三角形的面积。解：设此直角三角形两直角边分别是x，y，根据题意得：x y 5 12(1)2 2 2X y 5(2)由( 1)得:x+y=7,222(x+y) =49，x +2xy+y =49 (3)(3) (2)，得：xy=12直角三角形的面积是!xy= 1 x 12=6 ( cm)2 2

4、例4、在锐角 ABC中，已知其两边 a=1，b=3，求第三边的变化范围。分析：显然第三边 b acb+a，但这只是能保证三条边能组成一个三角形，去卩不能保证它一定是一个锐角三角形，为此，先求ABC为直角三角形时第三边的值。解：设第三边为 c,并设 ABC是直角三角形2 2 2 _ 当第三边是斜边时，c =b +a , c= ；10 当第三边不是斜边时，则斜边一定是b,2 2 2 b =a+c , c=2.2 (即.8) ABC为锐角三角形所以点A应当绕着点 B旋转，使/ ABC成为 锐角(如图)，但当移动到点A位置时/ ACB成 为直角。故点 A应当在 A和A间移动，此时 2 . 2 ACv.

5、 10注：此题易忽视或中一种情况，因为假设中并没有明确第三边是否直角边，所以有两种情况要考虑。例5、以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是()A、8,15, 17 B、4, 5, 6C、5,8, 10D、8, 39, 402 2 2此题可直接用勾股定理的逆定理来进行判断，对数据较大的可以用c=a +b的变2 2 2 2形：b =c a = (c a) ( c+a)来判断。例如：对于选择支 D,v 8工(40+39 )x( 4039), 以8 , 39 , 40为边长不能组成直角三角形。答案：A例 6、四边形 ABCD中，/ B=90, AB=3, BC=4, CD=12 AD=13,求四边形

6、 ABCD的面.下载可编辑 .积。解：连结AC/ B=90, AB=3, BC=42 2 2 AC=AB+BC=25 （勾股定理） AC=5/ AC+CD=169 , AB=169 AC+cD=ADf/ ACD=90 （勾股定理逆定理）S四边形ABCEFSA ABC+SAACD=1 AB- BC+1 AC- CD=36本题是一个典型的勾股定理及其逆定理的应用题。例7、若直角三角形的三边长分别是n+1， n+2，n+3，求n分析：首先要确定斜边（最长的边）长n+3,然后利用勾股定理列方程求解。解：此直角三角形的斜边长为n+3，由勾股定理可得:2 2（n+1）+ （n+2） =（ n+3）化简得：

7、n2=4 n=2，但当 n= 2 时，n+1= 1.15，152、 6， 8， 103、8 cm4、D5、D6、本题类似于例 6，需连结 AC证岀 ACD也是直角三角形，从而/ 1 + / 2=90/ 3+Z 4=90二/ DAB+Z DCB=1807、 解：设第三边长为X, 当第三边是斜边时： =3+4=25，即x=5 当第三边不是斜边时，则斜边长为4: x2=42- 32,即卩x= . 78、此题类似于例 32 2 2解：根据题意得：a c b (c b)(c b) 25 c b 19、证明：作 DE丄AB于E/ AD=BD,DEL AB 2AE=AB (等腰三角形底边上的中线和底边上的高互相重合)Z DEA=90 (垂直