数学教学的应有追求

1、数学教学的应有追求数学教学的应有追求 ?据说，一位化学家每周阅读据说，一位化学家每周阅读40小时，只是小时，只是 浏览世界上一年发表的化学方面的论文和 著作就要读48年。 ?一个人一生所用的有效知识，在学校里所 学的知识仅占学的知识仅占10% 。 思考：面对这种状况，教育应该怎么应对？思考：面对这种状况，教育应该怎么应对？ 为何进行数学课程改革？为何进行数学课程改革？ ?解决应试教育问题 ?减轻学生学习负担 ?激发学生学习兴趣 ?实施推进素质教育 ?教育的好坏取决于两条教育的好坏取决于两条 第一，是不是有利于学生的发展 第二，是不是有利于国家的发展 现在国家最需要的是创新人才现在国家最需要的是

2、创新人才 ?中国的经济已经得到了快速的发展，要 保持这个速度发展，创新是很重要的。 新的思想、新的工艺、新的技术很重要， 所以创新人才的培养是国家重要的发展 战略。 创新人才应该在基础教育阶段开始培养创新人才应该在基础教育阶段开始培养 ?创新最起码依赖于三个条件，创新意识、 创新能力和创新机遇。事实上创新意识、 甚至创新能力都是在基础教育阶段培养。 创新意识培养创新意识培养 ?鼓励学生积极思考、发散思考 ?给学生提供表达自己的想法的机会 ?给学生提供展示自己的做法的机会 ?允许学生有不同的想法、做法 ?对学生的行为给予积极的评价 （补充案例） 创新能力的基础创新能力的基础 ?知识的掌握 ?思维

3、的训练 ?经验的积累 ?数学活动经验积累数学活动经验积累 ?积累哪些活动经验？ ?案例：初中四边形的学习 ?学员思考：针对某一具体内容教学，你认为 要让学生积累哪些具体的数学活动经验？ ?思维训练主要靠两个能力，一个是演绎能力，思维训练主要靠两个能力，一个是演绎能力， 一个是归纳能力。一个是归纳能力。 ?爱因斯坦说过：西方科学的发展是以两个伟爱因斯坦说过：西方科学的发展是以两个伟 大成就为基础，希腊哲学家发明的形式逻辑大成就为基础，希腊哲学家发明的形式逻辑 体系（在欧几里德几何中），以及通过系统体系（在欧几里德几何中），以及通过系统 的实验发现有可能找出因果关系（在文艺复 兴时代，特别是工业革

4、命以后）。前者指的 是演绎能力，后者指的是归纳的能力。是演绎能力，后者指的是归纳的能力。 ?杨振宁先生在我的生平中说：我很 有幸能够在两个具有不同文化背景的国 度里学习和工作，我在中国学到了演绎 能力，在美国学到了归纳能力。 我国数学教育现状我国数学教育现状 ?基础知识本质上是概念的记忆和命题的 理解，要求基础知识扎实；基本技能本 质上是证明的技能和运算的技能，要求 基本技能熟练。 ?主要关注演绎能力培养。 ?主要关注学生成绩高低。 我们缺少什么我们缺少什么 ?缺少的是根据情况预测结果的能力和根 据结果探究成因的能力。这两个能力很 重要，是创新的基础。前者有利于创造 新产品，形成新工艺；后者有

5、利于发现 新理论，发明新技术。 ?穆尔在其著作论自由中认真地总结 了归纳推理。归纳推理十分庞杂，就方 法而言，包括枚举法、归纳法、类比法、 统计推断、因果分析，以及观察实验、 比较分类、综合分析。 ?借助归纳推理可以帮助学生培养预测结果 和探究的能力，这是演绎推理不可比拟的，和探究的能力，这是演绎推理不可比拟的， 因此从方法、思维角度来说，过去双基教因此从方法、思维角度来说，过去双基教 育缺少了对归纳能力的培养，对学生未来 走向社会不利，对培养创新人才不利。走向社会不利，对培养创新人才不利。 如何培养归纳能力如何培养归纳能力 ?现在的教育本质上是知识的教育，考察 的是该教的内容是否教了，教了的

6、知识 学生是否掌握了。这样的教育是不够的。 我们必须知道教育应该是以人为本的教 育，要考虑学生的全面发展。不仅考虑 学生知识的掌握，还要考虑身心的发展， 要考虑能力、思维的教育。 演绎推理表现为一种知识，归纳演绎推理表现为一种知识，归纳 推理则表现为一种智慧。推理则表现为一种智慧。 ?知识在本质上是一种结果，可能是经验 的结果，也可能是思考的结果。单纯追 求知识的教育是一种结果的教育，这种 教育要走在时代的前面是不可能的。 ?智慧并不表现在经验的结果上，也不表 现在思考的结果上，而表现在经验的过 程，表现在思考的过程中。智慧表现于 对问题的处理，对危难的应付，对实质 的思考以及实验的技巧等等。

7、归纳能力 是建立在实践的基础上的，更多地依赖 于过程，依赖于经验的积累。 ?要培养一个人的创新能力，必须注重过程，要培养一个人的创新能力，必须注重过程， 启发思考，总结经验，教会反思。启发思考，总结经验，教会反思。 ?“过程的教育过程的教育”不是指在授课时要讲解、不是指在授课时要讲解、 或者让学生经历知识产生的过程，甚至不 是指知识的呈现方式，而是学生探究的过 程、思考的过程、抽象的过程、预测的过 程、推理的过程、反思的过程等等。程、推理的过程、反思的过程等等。 ?分类分类 ?归纳归纳 ?类比类比 如图所示如图所示, , 桌子上散落着各式各样的扣子，请把桌子上散落着各式各样的扣子，请把 扣子分

8、成几类？分类的标准是什么扣子分成几类？分类的标准是什么 ? ? 运算分类运算分类 34+42=76 37+17=54 69-15=54 59+17=76 91-15=76 83-29=54 把它们分成两类，有什么好办法？ 为什么可以这样分？ ?归纳是从特殊到一般的推理方法，即从归纳是从特殊到一般的推理方法，即从 特殊的前提导出一般的结论。特殊的前提导出一般的结论。 ?阿凡达是阿凡达是 20092009年年 美国科幻巨作，以外 星生命为题材，目前 为止全球票房收入超为止全球票房收入超 过26亿美元. 以外星生 命为题材的科幻片还 有很多，比如长江 七号、火星宝贝 等.由阿凡达、 长江七号、火 星

9、宝贝票房收入都星宝贝票房收入都 不错，推测以外星生 命为题材的科幻片票 房收入都不错。房收入都不错。 ?由两类对象具有某些类似特征和其中一由两类对象具有某些类似特征和其中一 类对象的某些已知特征，推出另一类对 象也具有这些特征的推理称为类比推理。 ?例如，我国地质学家李四光发现中国松例如，我国地质学家李四光发现中国松 辽地区和中亚细亚的地质结构类似，而辽地区和中亚细亚的地质结构类似，而 中亚细亚有丰富的石油，由此，他推断中亚细亚有丰富的石油，由此，他推断 松辽平原也蕴藏着丰富的石油。松辽平原也蕴藏着丰富的石油。 ?又如，法国微生物学家巴斯德发现乳酸又如，法国微生物学家巴斯德发现乳酸 杆菌能使啤

10、酒变酸，接着又发现细菌是杆菌能使啤酒变酸，接着又发现细菌是 引起蚕病的原因，据此，他推断人身上引起蚕病的原因，据此，他推断人身上 的一些传染病也是由细菌引起的。的一些传染病也是由细菌引起的。 ?再如，奥地利医生奥恩布鲁格观察到父再如，奥地利医生奥恩布鲁格观察到父 亲经常用手指敲击盛酒的木桶，根据声亲经常用手指敲击盛酒的木桶，根据声 音推测桶内的酒还剩多少，联想到胸腔音推测桶内的酒还剩多少，联想到胸腔 和酒桶有类似之处，从而发明了叩诊和酒桶有类似之处，从而发明了叩诊 法法通过叩击人体胸腔的方法判断其通过叩击人体胸腔的方法判断其 中有无积水或积水的多少。中有无积水或积水的多少。 数学中的归纳与类比

11、数学中的归纳与类比 ?哥德巴赫猜想 ?一元一次不等式的解法 ?自然数的方幂和 ?基础知识基础知识 ?基本技能基本技能 ?基本思想方法 ?基本活动经验 ?三维目标定位：经历学科知识探究的过 程，在获取学科知识的同时，掌握获取 学科知识的方法，积累获取学科知识的 经验，并在这一过程中产生积极的情感 体验（自信心、成就感） ?掌握数学有关知识掌握数学有关知识 ?引发学生数学思考引发学生数学思考 ?培养好的数学学习习惯培养好的数学学习习惯 ?维持数学学习兴趣维持数学学习兴趣 ?培养学生的创造性思维培养学生的创造性思维 ?不是仅让学生理解现成知识，而是要让学不是仅让学生理解现成知识，而是要让学 生自己发

12、现知识、建构知识。生自己发现知识、建构知识。 ?不仅要强调教师与学生之间的相互作用，不仅要强调教师与学生之间的相互作用， 也要强调学生与学生之间的相互作用。也要强调学生与学生之间的相互作用。 ?不仅要强调学生个体作用的发挥，也要 强调学生群体作用的发挥。 ?不仅要强调教师的有效引导，更要强调 学生的有效参与。 ?发现问题和提出问题的能力发现问题和提出问题的能力 ?分析问题和解决问题的能力分析问题和解决问题的能力 ?总体目标：总体目标： 基础知识+基本技能+基本思想+基本活动经验 分析问题+解决问题+发现问题+提出问题 数学教学的应有追求数学教学的应有追求 ?数学教学应抢占制高点 ?数学教学应注

13、意有效性 ?数学教学应追求创造性 ?数学教学应注重思维量 数学教学应抢占制高点数学教学应抢占制高点 ?一是指从宏观的、整体的高度来分析和设计数 学教学，而不是就一节课的知识分析该节课的 知识。 ?二是指运用高等数学的知识和观点看待中小学 的数学知识。（补充案例） ?三是指帮助学生感受体验蕴涵在数学知识背后 的数学思想方法。（补充案例） ?四是能够准确把握中学有关数学知识的本质。 （补充案例） ?案例案例1 购物问题购物问题 ?案例案例2 面积平分问题面积平分问题 ?案例案例3 四边形内角和的教学四边形内角和的教学 ?案例案例4 函数概念的教学函数概念的教学 ?案例5 数的概念扩充教学 ?购买甲

14、货物购买甲货物3 3件，乙货物件，乙货物7 7件，丙货物件，丙货物1 1件，件， 共需3.153.15 元；购买甲货物 4 4件，乙货物件，乙货物 1010 件，丙货物件，丙货物1 1件，共需件，共需4.204.20 元元. . 如果三种货如果三种货 物各购买物各购买1 1件，需要多少钱？件，需要多少钱？ 现有如图1所示的方角铁皮，工人师傅想用一条直线 将其分割成面积相等的两部分，请你帮助工人师 傅设计三种不同的分割方案。（不写作法，保留 作图痕迹或作简要文字说明） 图 1 “四边形内角和四边形内角和”的教学的教学 ?教师在两个水平相当的班上所进行的学习 活动是一样的，都组织学生去探究，找出

15、的解题途径也大体相同，如图所示 ?教师总结讲评后，在一个班（记为教师总结讲评后，在一个班（记为 A A 班）增加了 一个环节，组织学生讨论在这“一题多解”的背 后，有什么共同的地方后，有什么共同的地方“化归为三角形的内化归为三角形的内 角和角和”；另一个班（记为；另一个班（记为 B B班）没有这个环节班）没有这个环节 ?25天后，组织了一次测试，求下图中各角天后，组织了一次测试，求下图中各角 之和（凹五边形的内角和），结果，A班有 89 % % 的学生能够完成，的学生能够完成，B B班有班有25% 的学生能的学生能 够完成在所完成的同学中，多数都是连够完成在所完成的同学中，多数都是连 结两条辅

16、助线，如图转化为结两条辅助线，如图转化为3 3个个“三角形的三角形的 内角和内角和”之和来解决之和来解决 ?在在A A 班的讨论显化了数学内容和数学方法所班的讨论显化了数学内容和数学方法所 隐含的本质思想化归；在 B班没有这一 提炼，学生的认识停留在“一题多解”的操 作层面和化归思想的“渗透”阶段结果， 进行思想方法显化提炼的班 89% 通过测试， 未进行显化提炼的班只有 25% 通过测试，差 异十分显著，因而“进行数学思想方法的提 炼是可行和有效果的炼是可行和有效果的” ?本质思想本质思想1 1：化归所有这些解法都是通：化归所有这些解法都是通 过辅助线将“四边形的内角和”化归为 “三角形的内

17、角和”，它是“化归为已 经解决问题经解决问题”的一个具体形式的一个具体形式 ?本质思想2：数形结合从运算角度看，都是 几何上的隐性和，通 过角的分割、转移与合并，产生求和式的拆 项、交换与结合，转化为代数上的“显性 和”，数形结合又是一个本质思想 ABCD? ?本质思想本质思想3 3：分解与组合化归中图形的分：分解与组合化归中图形的分 割、转移与合并，代数和中数式的拆项、割、转移与合并，代数和中数式的拆项、 交换与结合，都体现了分解与组合交换与结合，都体现了分解与组合 ?本质思想本质思想4 4：不变量角：不变量角A A 、B B、C C、D D 变化，变化， 但和不变，体现了变动中的不变量但和

18、不变，体现了变动中的不变量 注意防止注意防止“认知基础认知基础”异化为异化为“认知障认知障 碍碍”，努力提供高认知水平的教学，努力提供高认知水平的教学 案例案例 数的概念扩充的教学数的概念扩充的教学 ?为什么要引进新数？ ?引进的新数需满足什么条件？ ?引进的新数怎么称呼？ ?引进的新数怎么表示？ ?引进的新数怎么认识？ ?新数能够施行哪些运算？ ?新数运算满足哪些规律？ ?新数有何应用？（推荐阅读林群院士论文） ?学员思考：学员思考： （1 1）数的运算教学的制高点是什么？）数的运算教学的制高点是什么？ （2 2）针对某一内容教学，你认为有哪些制）针对某一内容教学，你认为有哪些制 高点？高点

19、？ 数学教学应注意有效性数学教学应注意有效性 ?情境创设的有效性 ?课题引入的有效性 ?课堂提问的有效性 ?小组讨论的有效性 ?动手实践的有效性 ?技术运用的有效性 有效数学教学：西方的观点有效数学教学：西方的观点 ?情感关爱关注课堂交流，这有助于发 展学生的数学认同感和数学能力 ?教学组织提供学生独立学习和合作学 习机会，理解数学思想 ?基于学生的认知教学设计基于学生能 力、兴趣及经验 ?有效地数学活动有效地数学活动精选数学活动及例精选数学活动及例 题以帮助学生认识、理解与应用数学题以帮助学生认识、理解与应用数学 ?建立联系建立联系让学生建立数学方法之间让学生建立数学方法之间 的联系、数学内

20、容直接的联系以及数学的联系、数学内容直接的联系以及数学 与日常生活的联系与日常生活的联系 ?学习的评价学习的评价利用一系列打的评价方利用一系列打的评价方 式来了解学生的思维并进行教学式来了解学生的思维并进行教学 ?发展学生数学交流能力发展学生数学交流能力促进学生在课促进学生在课 堂上进行数学交流堂上进行数学交流 ?教具和数学表示精选教具与数学表示 以帮助学生数学思考以帮助学生数学思考 ?数学语言帮助学生正确理解、掌握和 运用数学语言 ?教师知识利用自身深厚的知识来激励 学生学习并满足学生的学习需求学生学习并满足学生的学习需求 有效数学教学：我国的观点有效数学教学：我国的观点 ?建立良好的师生关

21、系，营造和谐的学习 氛围 ?要有明确、合理的教学目标和任务意识 ?创设的问题情境要贴近学生的实际生活， 设问要合理 ?创造性的使用教材，精选例题习题 ?强调数学内容之间的联系强调数学内容之间的联系 ?教法要新颖多样，开展有效地合作学习教法要新颖多样，开展有效地合作学习 和研究学习 ?教学设计要考虑学生的认知基础教学设计要考虑学生的认知基础 ?一题多解，一题多变，拓宽学生思维 ?对学生有正确的评价 ?掌握数学的思想和方法 ?教师要提高自身的素质 ?课后要进行教学反思 有效教学有效教学是否是新的问题? ?每一堂课都有着十分明确的目标 ?数学教学环节紧紧围绕目标组织 ?教师在完成目标上作用举足重要

22、?教学时间教学时间 ?一年级（美国：70% ；日本：79% ；中国：；中国：85% ） ?五年级（美国：65% ；日本：82% ；中国：；中国：90% ） ?为什么会提出来？（形式主义泛滥：片面性、极为什么会提出来？（形式主义泛滥：片面性、极 端化）端化） 情境创设的有效性情境创设的有效性 ?是否都能创设情境？ ?情境一定是生活化的吗？ ?情境创设究竟为了什么？ ?情境创设仅是为了激发学生兴趣？（情感维度） ?创设的情境是学生抽象的素材吗？（抽象对象） ?注意：情境本身不能完成抽象过程，基于情境的 思维活动才是抽象的基础！ 小学乘法交换律的教学小学乘法交换律的教学 ?有一个教学设计，用一个柄特

23、别长的勺子喝水，勺 子太长自己喝不到，学生经过讨论找到交换喝水的 办法：你拿勺子喂给我喝，我拿勺子喂给你喝，喝 水问题圆满解决 ?这个活动固然有趣，办法也很好，但与乘法没有关 系，亦离开了“数量不变”的交换率本身交换律 的本质是变化中的不变性，学生在这里学到的不是 数学或不是“乘法交换律” FreudenthalFreudenthal 的经典活动情境的经典活动情境 ?黑板上留下“巨人”的手印，请设计为巨人 使用的书籍、桌子和椅子。 ?活动设计： 1.用自己的手和巨人的手相比 2.定下“比值” 3.量自己的书、桌子、椅子尺寸 4.按比例放大 量得有价值，有意义。 好的情境：平面坐标系概念好的情境

24、：平面坐标系概念 ?将教室的课桌并拢，用两根有箭头的 绳子做成坐标轴； ?坐标对应学生，请学生自己看坐标； ?两坐标都是非负的同学站起来；两坐 标相等的同学站起来； ?换一个同学做坐标原点； ? 活动抓住了坐标的数学实质 ?科学计数法的情境科学计数法的情境 课题引入的有效性课题引入的有效性 ?案例 一节课什么都没有听进去 ?案例 二次根式的概念教学 课堂提问的有效性课堂提问的有效性 ?维果茨基认为，人的认知结构可划分为三个层次： 已知区、最近发展区和未知区。 ?不值得提问的、不应该提问的 ?问题1：为什么一问就会、一做就错？ ?问题2：将一个有思维挑战的问题分解为若干个 小问题，其得与失是什么

25、？（第49页） ?问题3：提问是否促进了学生的思考？ 教学思考：教学思考： ?有了提问，不一定就有了启发；有了提问，不一定就有了启发； ?满堂问不等于再发现；满堂问不等于再发现； ?提问实质在于关注概念、性质记忆，不提问实质在于关注概念、性质记忆，不 存在理解的成分。存在理解的成分。 小组讨论的有效性小组讨论的有效性 ?什么问题需要讨论？ ?小组如何组建？ ?先思考后讨论 ?小组讨论规则 ?小组讨论时间充足 ?讨论与讲解的关系 动手实践的有效性动手实践的有效性 ?动手实践的对象是具体实物 ?动手实践的对象是数学符号 ?动手实践的两种分类动手实践的两种分类 ?动手实践的基本目的（积累经验，理解知

26、识）动手实践的基本目的（积累经验，理解知识） ?活动与数学究竟有何联系？（一定要有联系，活动与数学究竟有何联系？（一定要有联系， 需要及时提炼，否则就会降低数学要求需要及时提炼，否则就会降低数学要求) ) ?案例 握手游戏（第握手游戏（第6 6页） ?案例 搭配问题（第搭配问题（第3 3页） ?案例 三角形的内角和三角形的内角和 技术运用的有效性技术运用的有效性 技术运用的原则 ?做传统的教学做不了的 ?做得比传统教学要好的 主要问题主要问题 ?是否发散了学生的注意力是否发散了学生的注意力 ?是否增大课堂的教学容量是否增大课堂的教学容量 ?是否弱化学生的思维过程是否弱化学生的思维过程 数学教学

27、应追求创造性 ?案例 能被3整除的数的特征 ?案例 一元二次方程求根公式的推导 ?案例 平行四边形的判定方法 ?案例 等腰三角形的判定 （1）情境问题引发兴趣 如何复原一个被墨迹浸渍的等腰三角形？ 学生的三种“补出”方法： 只剩一个底角和一条底边 量出C度数，画出 BC， B与C的 边相交得到顶点A 作BC边上的中 垂线，与C的一 边相交得到顶点A 画出的是否为等腰三角形，由此引发判定定理的证明 “ 对折” 例如：等腰三角形的判定例如：等腰三角形的判定 （2）多种证法激活创造力 三种常规的办法： 两种创造性的证法： 作A的平分线， 利用“角角边” 过A作BC边的垂 线，利用“角角边” 作BC边

28、上的中线， “边边角”不能证明 假定ABAC, 由 “大边对大角”得 出矛盾 ABC ACB， 应用“角边角” A BC （3 3）变式练习分步解决问题）变式练习分步解决问题 不断变换题目的条件：不断变换题目的条件： ABC中，ABC ACB，BO平分 B，CO平分C。 能得出什么结论？ 过O作直线EFBC。 图中有几个等腰三 角形？为什么？线 段EF与线段BE、FC之 间有何关系？(学生编 题) 若B与C不相等。 图中有没有等腰三角形？ 为什么？线段EF与线 段BE、FC之间还有没 有关系？(学生讨论) 直观看到一个，简 单应用判定定理 必须综合应用判定 定理和性质定理论 证两个红色三角形

29、以及线段间的关系 直观看到三个，两个 红色三角形必须应用 判定定理论证；线段 关系用到性质定理。 数学教学应注重思维量数学教学应注重思维量 ?在数学教学过程中，教师如何启发、指 导是有讲究的？做一个懒教师如何？ 学生自己能说的，教师不说； 学生自己能学的，教师不讲； 学生自己能做的，教师不教。 教学水平是否下降？教学水平是否下降？ 教学水平教学水平 教学方式 教学内容 记忆 解释性理解 探究性理解 活动式 接受式 教学水平三分类 水平 分类 基本特点注意与建议 记忆记 住 事 实 和 操 作 程 序 ? 过时，不符合今天需要 ? 迫于考试影响与教学内部问题，还有较强势力 ? 不能一概否定，要有

30、合理的看法 解释教师讲解， 学生领会 ? 应予提倡与发展，争取更多教学工作达到这个 水平 ? 是教学的重要环节，但有不足：把学生往一条 路上引，束缚思维，不利创造 ? 充分发挥表述优势的基础上克服弊病 探究学生投入， 亲自探索 ? 应大力提倡，以适应未来与当今现代化建设的 需要 ? 需遵循有意义活动式学习的规律，积极创造条 件，如教师首先学会探究 ? 防止简单理解和形式化，有区别、分层次提出 合理的要求 两个突出的问题值得引起关注两个突出的问题值得引起关注 ?问题之一 许多本该达到解释水平的课，不少 教师将此下降为记忆水平，“满堂灌”或 “满堂问”（填空式问答，懂的要问、不懂 的不问）；有的课

31、把教学混同于学科习题机 械训练和简单强化，思考力水平明显下降。 ?问题之二 许多正在实验探究水平的课，教师 常常通过解释或让学生记住最简捷的方法得 出答案，“表面上像探究，实际上是讲解”， 达不到学生亲自投入的思考力水平。 高思考力水平的保持与下降 保持1探究 保持2 解释 记忆 下降2 下降1 下降3 高思考力水平得以保持有七个要素 给思维和推理“ 搭脚手架”； 为学生提供元认知方法； 示范高水平的操作行为； 维持对证明、解释或意义的强调； 任务建立在已有知识基础上； 在概念间建立联系； 适当的探索时间。 资料 ? 国际学习科学领域三句名言：听来的忘得快，看到的记得住，做过的才能会。 ? 我国教师：营造追问风气，变被动学习为主动学习。 高思考力水平下降的因素有六类 情境问题常规化（学生希望降低要求，教 师包办代替）； 重点转移到追求答案的正确性与完整性， 不注重意义、理解、概念获得等方面； 时间过多或过少； 课堂管