关于动态规划方法的最优消费路径

1、关于动态规划方法的最优消费路径有些学者从微观经济理论的角度探索消费和投资的最优比率。例 如，Phelps构建了不确定收入下的最优消费率2 。基于这 一模型，Me r t o n以布朗运动模拟不确定收益，利用动态规划建 模的方式，求出在连续时间假设下获得最大消费效用的消费和资产投 资组合3 。然而M e r t o n的模型采用了 P r a t t的绝对风 险厌恶度(absolute risk aversion)4, 即假设投资者的风险偏好是和年龄、财富无关的常数，从而把家庭总 财富比率设计成常数。为了改进过于严格的常系数风险厌恶假设，F a r h i和Pan ageas假设投资者可以通过控

2、制退休时间 来调整劳动供给，从而实现最优消费和投资5。另外有些学者拓 展了 M e f t o n等人的模型，如Ilakansso n和Ri c h a r d研究了存在保险时的生命周期最优消费6 7 ； Karat z a s使用鞅方法研究了个人如何选择消费率来实现消费和财富效 用最大化8 ； B o d i e等人探讨了退休期间的最优消费投资问 题9。有些学者则从宏观经济学的角度阐述消费和投资对消费效 用最大化的影响。李嘉图的古典消费理论强调了消费对经济的刺激。 凯恩斯绝对收入假说认为消费主要取决于当期绝对收入，平均消费倾 向(APC)随收入增加而减少。按此假说，一战后，美国人民收入 增加

3、，储蓄应随之增加。但是，K u z n e t s实证研究发现战后储 蓄并未增加，长期A P C稳定10。为解析上述矛盾现象，D u esenberr y提出相对收入假说，家庭会比较其他家庭的收入, 即相对水平，来决定自己的消费水平1 1 ( P 3 )。相对收入假说 的缺陷在于家庭的消费是短视行为，没有考虑未来收入。为克服相对 收入假说存在的问题，F r i e dma n提出了家庭将根据终生收入 来决定消费的持久收入假说1 2 (P 2 6 - 1 3 5 )。内生增长理 论被广泛用于分析投资和消费的最优分配。该理论假设在生产过程中 的规模收益不变，即凸性生产技术，经济增长的决定因素是生产

4、要素, 生产率是由模型内生所决定的，而不是由资源、人口等外部因素决定。 典型的内生增长模型有A K模型、R e b e 1 o模型等13。曾经有人质疑AK模型是否可以用来评估经济增长。Jones 建立了技术为常数的A K模型，对函数关于物质资本和人力资本求最 大值，并基于1 9 5 01 9 8 8年加拿大、法国、德国等1 5个0 E C D国家的时间序列数据，研究发现战后投资额同经济增长无关, 并由此推断AK模型对投资和经济增长关系的预测是短期的或不正 确的14。为了反驳A K模型不适用于研究经济增长的结论，M c G r a t t a n建立了技术为常数的A K模型，对函数关于消费和 资

5、本求最大值。M c G r a t t a n用187 01989年1 1个 国家的数据验证了投资率和经济增长之间的正相关关系，证明政府投 资诱导政策会永久性影响经济增长15McGat-tan 发现J o n e s之所以用AK模型测不出投资和经济增长的相关性, 一是数据期限短，二是模型设计存在缺陷。M c G r a t t a n的模 型假设如下：(1)代表性家庭选择投资和消费，从而实现生命周期 效用最大化；(2 )家庭有两种资木，分别是结构资木和设备资木， 家庭收入来源于把结构资木和设备资木租给公司的租金；（3）家庭 收入要向政府缴纳稅收，因此政府政策可以影响投资产出比和劳动闲 暇选择。

6、这样一来，M c G r a t t a n就解释了 Jones观察到 的投资增加而产出稳定的短期离差，并从理论和实证角度验证jAK 模型的有效性。木文在持久收入假设和内生增长理论框架下，研究经 济增长的最优消费投资比率，从理论上指导国民收入的合理分配。之 所以选择资本产出弹性为单位弹性的A K模型，是因为资本对发展中 国家很重要。发展中国家可以通过购买技术先进的国家的设备得到知 识，这种由投资带来的技术溢出可以加速整个国家的现代化。另外, 由于行业间存在溢出效应，当资本提高某个行业的生产率时，与之相 关行业的生产率也随之提高16,所以不仅要考虑资本对单个行 业的作用，还需要考虑资本的社会回报

7、。L j u n g q v i s t和S argent建立的A K模型与本文有类似的目标函数y t = A k a t ,也猜测了相同的值函数形式，并得到了类似的策略函数1 7 , 但本文与之不同的是：第一，他们假设资本产出弹性大于零而小于1（0 a 0 , k t 0 ；且初始资本k 0己知。由此，可 得模型：max！t = OBtln c ( t ) s. t . kt + l= y t + 1 (6) k t c t , y t = A k 烦姣怖 t ( 1 )其中 6 为资本折旧率，01 ； p为贴现因子，0 B0 ),当资本存量按策略k t + 1 =|3A+ 1 - (6)

8、k t 逐步演变时，式(1)必定取得最优解。相应地，c t = 1 - (p) A+ 1 - (6) k t o综上所述，可得式(1 )的最优消费、资本累 积序列 c t , kt + l!t = 0 为：c t = l (p)A+l(6) k t k t + 1 =pA+ 1 一 (6) k 畑煖灼 t ( 1 1 )从式(1 1 )可 以看出：资木折旧率6和当期消费c t以及下期资本k t + 1负相关。 资本折旧率反映了资本的使用成本，折旧率越大，资本越少，收入越 少，可供消费也越少。对资本的良好维护，可以降低资本折旧率。宏 观政策能改变折旧率，比如政府推出投资刺激政策，会使维护既有资

9、木的成木高于重新投资，从而提高资本折旧率；再如，高利率增加贷 款成本，导致生产者更倾向于用廉价原材料，产品耐用度降低，资本 折旧率提高。贴现因子p和当期消费c t负相关，和下期资本k t +1正相关。贴现因子反映了资产预期总收入超出当期总收入的部分折 现到当期末的值。贴现因子越小，代表性行为人越倾向于当期消费ct ;贴现因子越大，代表性行为人越希望把消费推迟到将来。贴现因 子是随机的、主观的，受真实的经济发展变化的影响，可以通过宏观 经济政策引导贴现因子变化。比如福利保障制度可以提高当期消费者 的信心，而提高利率会导致人们推迟当期消费。a=l时，AK模型 y = A k a t的资木增长率k

10、t + 1 k t=0A+l (6)更大，而 且资本不收敛。0 a0)的正相关函数，因此无论采用序列推导法或贝尔曼动态规划 的解法或其他方法，都不可能得到最优解的显式解析表达式，他们一 般采用数值解法求解最优的消费和资木积累路径。(三)变量对值函 数的影响前文定义值函数()V k为投资者在给定财富下，所能达 到的终身期望总效用，以下讨论贴现因子队资木折旧率6、消费c、 资本存量k对值函数()V k的影响。为方便讨论参数队6、k 的意义，将V ( k)记为 V (卩，6, k ),即：Vp, 6, () k = 1 1 -p 1 n ( 1 - ) pA + 1 - (6) +p 1 - (p) 21n 卩A+ 1 一 (6) + 1 1 -p () In k ( 1 2 )由式(12)可以发现:1 .可以证明？V卩，6, () k?p 0对于pOp (1 )恒成立，所 以V卩，6, () k是卩的单调增函数，即值函数()V k随着贴现 因子B的增大而增大。而由式(1 )也易知，贴现因子卩越大，消费 的效用就越大。2.由？V3, 6, () k?60可知，值函数Vp, 6, （） k随着资本存量k的增加 而增加。资本存量k越大，可用于生产的投资就越多，从而可供未来 消费的也就越多（即消费c越大），因此终生消费的总效用