完整版变化率与导数导数的运算

1、让青春之光闪耀在为梦想奋斗的道路上。13KliQG.lM 鬪心鼻阳旬厲町。曆HI话础必过教材奚1. 导数的概念(1) 函数y= f(x)在x= xo处的导数：函数y= f(x)在x= xo处的瞬时变化率Ayf xo+ Ax f xo 亠龙m0ax=Ax50 ax为函数y=f(x)在x= xo处的导数，记作f(xo)或y|x=xo,即f(xo)= AmoAy K f xo +Ax f xoAx= A-Ax(2) 导数的几何意义：函数f(x)在点xo处的导数f (xo)的几何意义是在曲线y= f(x)上点P(xo，yo)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数).相应地，切线方程

2、为y yo = f (xo)(x xo).(3) 函数f(x)的导函数：称函数f (x) = Am0_f x+ /Ax fx为f(x)的导函数.2基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x) = xn(n Q*)f (x)= n xn 1f(x)= sin xf (x)= cos xf(x) = cos xf (x) = sin xf(x) = ax(a0)f (x)= ain af(x) = exf (x)=ef(x)= logax(a0,且1)f (x) = xln af(x)= ln xf (x)=x3. 导数的运算法则(1) f(x) (x)= f (x) (x)；(2) f(x)g(x

3、) = f (x)g(x) + f(x)g (x);f xf x g x f x g x(3) =2(g(x)M o).g xg x 24. 复合函数的导数复合函数y= f(g(x)的导数和函数y = f(u), u = g(x)的导数间的关系为yx= yuux, 即卩y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.小题体验1 .已知 f(x)= 13 8x+ 2x2, f (xo) = 4,贝U xo=.2 .曲线y= x3 x + 3在点(1,3)处的切线方程为 .必过易措裳1 .利用公式求导时要特别注意不要将幕函数的求导公式(xa)= aX1与指数函数的求导公式(ax)= an a混淆

4、.2 .求曲线切线时，要分清在点P处的切线与过P点的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者.3 .曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时有差别.小题纠偏1. 函数y=罟的导函数为12. 已知直线y= x+ 1是函数f(x)=- 电图象的切线，则实数 a =a考点一导数的运算基础送分型考点一一自主练透题组练透 求下列函数的导数.(1) y= x2sin x;1(2) y= In x+ x；“、 COS X丫二 ex ；nn(4) (易错题)y= xsin 2x + 2 cos 2x+ 2 ；(5) y= ln( 2x 5).谨记通法求函数导数的3种原则原呵二根

5、式形式WK!三童杂分氏先展幵壮为名项 式册式.再求导-2戳爭，再求寻先赫分式化简. 再求导提醒复合函数求导时，先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元.如“题组练透”第题易错.考点二导数的几何意义题点多变型考点一一多角探明锁定考向导数的几何意义是每年高考的必考内容，考查题型既有选择题、填空题，也常出现在解答题的第(1)问中，难度偏小，属中低档题.常见的命题角度有:(1) 求切线方程；(2) 求切点坐标；求参数的值(范围).题点全练角度一：求切线方程11. (2017 州五校联考)曲线y= eqx在点(4, e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为()9A.|e2B. Ae2C. 2e2D

6、 . e2角度二：求切点坐标2. (2016郑州质检)曲线f(x)= x3 x+ 3在点P处的切线平行于直线y = 2x- 1，则P点的坐标为()A . (1,3)B. ( 1,3)C. (1,3)和(1,3)D . (1 , 3)角度三：求参数的值(范围)3.若直线y= ax是曲线y= 2ln x+ 1的一条切线，则实数 a =()1A . e 21B . 2e 21C . e21D . 2e通法在握与切线有关问题的处理策略(1) 已知切点(2) 已知斜率(3) 求过某点A(xo, yo)求斜率k,即求该点处的导数值，k= f (xo).k,求切点 A(x1, f(x1)，即解方程 f (x

7、1) = k.M(X1, y1)的切线方程时，需设出切点A(X0, f(X0)，则切线方程为y f(x) = f (x)(x x),再把点M(X1, y1)代入切线方程，求 xo.演练冲关1. (2017郑州质量预测)函数f(x) = excos x的图象在点(0, f(0)处的切线方程是()B. x+ y 1 = 0D . xy1=0A . x+y+1 = 0C. x y+ 1 = 02. 曲线y= aln x(a 0)在x= 1处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为4,贝U a=磴彳肛总站阿负人轉啊巒E隱理理I：驱|能阴取!矚塚邸g錄I一抓基础，多练小题做到眼疾手快1 .函数 f(x) =

8、 (x+ 2a)(x a)2 的导数为()A . 2(x2 a2)B . 2(/+ a2)C . 3(x2 a2)D . 3(/ + a2)2.曲线f(x) = 2x ex与y轴的交点为P,则曲线在点P处的切线方程为(A . x y+ 1 = 0B . x+y+1= 0C . x y 1 = 0D . x+ y 1 = 03 . f(x) = x(2 016 + ln x),若 f(x0) = 2 017，则 x0 等于()A . e2B . 1C .In 2D . e5. (2016湖南衡阳八中一模)已知函数f(x) = axln x, x (0,+)，其中a 0且1,f (x)为f(x)的

9、导函数, 若f=3,贝U a的值为.二保咼考，全练题型做到咼考达标1 .曲线y= ex In x在点(1, e)处的切线方程为()A . (1 e)x y+ 1 = 0B. (1 e)x y 1= 0C. (e 1)x y+ 1 = 0D. (e 1)x y 1= 03. 已知 f(x)= ax4 + bcos x+ 7x 2若 f (2 017) = 6,贝V f ( 2 017)为()A . 6B. 8C. 6D. 824. (2017衡水调研)曲线y= 1二在点(1, 1)处的切线方程为()x I 2A . y= 2x+ 1B. y= 2x 1C. y = 2x 3D . y= 2x 2

10、5 .已知f(x)= ln x, g(x)=护+ mx+ |(m 0，则点a叫做函数y= f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y= f(x)的极小值.(2) 函数的极大值：函数y= f(x)在点x= b的函数值f(b)比它在点x = b附近的其他点的函数值都大，f (b)= 0;而且在点x= b附近的左侧f (x) 0，右侧f (x)v 0，则点b叫做函数y = f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y= f(x)的极大值.极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值.3. 函数的最值(1)在闭区间a, b上连续的函数f(x)在a, b上必有最大值与最小值.若函数f(x)在a, b上

11、单调递增，则 血为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在a, b上单调递减，则f(a)为函数的最大值，阻为函数的最小值.小题体验1. (教材习题改编)函数f(x) = ex-x的减区间为 .12 .(教材习题改编)函数f(x) = 3X3 4x + 4的极大值为 3 .已知f(x)= x3 ax在1,+s )上是增函数，则a的最大值是 磐过|易错美1 求函数单调区间与函数极值时没有列表的习惯，会造成问题不能直观且有条理的解决.2 求函数最值时，易误认为极值点就是最值点，不通过比较就下结论.3注意两种表述“函数 f(x)在(a, b)上为减函数”与“函数 f(x)的减区间为(a,

12、 b)”的区另U.小题纠偏1 .函数f(x)= COS x x在(0, n上的单调性是()A .先增后减B.先减后增C .增函数D.减函数2. 函数y = 2x3 2x2在区间1,2上的最大值是 第一课时导数与函数的单调性考点一判断或证明函数的单调性重点保分型考点一一师生共研典例引领2x 1(2016山东高考节选)已知f(x) = a(x In x) + 旷(a 0)，讨论f(x)的单调性.由题悟法导数法判断或证明函数f(x)在(a, b)内的单调性的3步骤(1)一求.求 f (x);(2)二定确认f (x)在(a, b)内的符号；三结论.f (x) 0时为增函数；f (x) v 0时为减函数

13、.提醒研究含参数函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论.即时应用已知函数f(x) = In xx1+ 2x(1)求证：f(x)在区间(0,+ )上单调递增；1若fx(3x- 2)v 3,求实数x的取值范围.3考点二求函数的单调区间重点保分型考点一一师生共研典例引领(2016天津高考节选)设函数f(x)= x3 ax b, x R，其中a, b R,求f(x)的单调区间.由题悟法求函数的单调区间的2方法法一：确定函数y= f(x)的定义域；求导数f (x)；(3) 解不等式f (x)0,解集在定义域内的部分为单调递增区间；(4) 解不等式f (x)v 0,解集在定义域内

14、的部分为单调递减区间.法二：(1)确定函数y= f(x)的定义域；(2)求导数f (x),令f (x)= 0,解此方程，求出在定义区间内的一切实根；把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用 这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间；(4)确定f (x)在各个区间内的符号，根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性.即时应用已知函数f(x) = In x bx+ c, f(x)在点(1, f(1)处的切线方程为 x+ y+ 4 = 0.(1) 求f(x)的解析式；(2) 求f(x)的单调区间.考点三已知函数的单调性求参数的取值范围

15、重点保分型考点一一师生共研典例引领设函数f(x) = x3 ax2 + bx+ c,曲线y = f(x)在点(0, f(0)处的切线方程为y= 1.(1)求b, c的值；若a0,求函数f(x)的单调区间；设函数g(x)= f(x) + 2x,且g(x)在区间(2, 1)内存在单调递减区间，求实数a的取值范围.由题悟法根据函数单调性求参数的一般思路(1)利用集合间的包含关系处理：y= f(x)在(a, b)上单调，则区间(a, b)是相应单调区间的子集.转化为不等式的恒成立问题，即“若函数单调递增，贝Uf (x) 0;若函数单调递减，则f (x)0,且在(a, b)内的任一非空子区间上fz (x

16、)不恒为0应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解.即时应用在本例中，若g(x)在(2, 1)内为减函数，如何求解？若g(x)的单调减区间为(一2, 1)，求a的值.(3) 若g(x)在(2, 1)上不单调，求a的取值范围.LrKIHDL S3因簡。廖闵品鱼静匍麗飼一抓基础，多练小题做到眼疾手快( )B. (0,+ )D .(汽 0) U (1 ,+ )1函数f(x) = x In x的单调递减区间为A (0,1)C. (1 ,+s )2. 函数f(x)的导函数f (x)有下列信息: f (x)0 时，1x2; f (x)0 时，x2; f (x)= 0 时，x= 1 或 x= 2.则函数f(

17、x)的大致图象是()a的取值范围为(3. f(x) = x2 aln x在(1, + )上单调递增，则实数A . ( s, 1)C. ( , 2)B. ( s, 1D. ( s, 24. 函数f(x) = x315/ 33x+ 6的单调减区间为 5. 函数f(x) = 1 + x sin x在(0,2 nt)勺单调情况是 保咼考，全练题型做到咼考达标1 .已知函数f(x) = x2+ 2cos x,若f (x)是f(x)的导函数，则函数f (x)的图象大致是()让青春之光闪耀在为梦想奋斗的道路上。2若幕函数f(x)的图象过点 卡,1，则函数g(x)= ef(x)的单调递减区间为()A ( g,

18、 0)B. ( g, 2)C ( 2, 1)D. ( 2,0)3 函数f(x)= x3 ax为R上增函数的一个充分不必要条件是()A. aw 0B. a0D. a04 .(2017湖北襄阳模拟)函数f(x)的定义域为R.f( 1) = 2,对任意x R ,f (x)2，则f(x)2x+ 4的解集为()A . ( 1,1)B. ( 1 ,+g )C. (g, 1)D. ( g,+g )5. 设函数 f(x)= ex+ x 2, g(x) = In x+x2 3若实数 a, b 满足 f(a)= 0, g(b)= 0，则()B. f(b)0g(a)D. f(b)g(a)0A . g(a)0f(b)

19、C. 0g(a)f(b)6. 函数f(x)= (x 3)ex的单调递增区间为 7. 函数f(x)= x2 ax 3在(1 ,+g )上是增函数，则实数 a的取值范围是 .1x21、8. 已知函数f(x)(x R)满足f(1) = 1，且f(x)的导数f (x)?,则不等式f(x2)0).若函数f(x)在 1,2上为单调函数，贝Ua的取值范围是a2.已知函数 f(x) = aln x ax 3(a R).(1) 求函数f(x)的单调区间；(2) 若函数y= f(x)的图象在点(2 , f(2)处的切线的倾斜角为45 对于任意的t 1,2，函数g(x)= x3 +x2 f x + mm在区间(t,

20、3)上总不是单调函数，求m的取值范围.第二课时导数与函数的极值、最值MSEf.鋼鶴餌回回p1i考点一运用导数解决函数的极值问题题点多变型考点多角探明函数的极值是每年高考的必考内容，题型既有选择题、填空题，也有解答题，难度适中，为中高档题.常见的命题角度有：(1)知图判断函数极值;已知函数求极值；(3)已知函数极值情况求参数值(范围).锁定考向题点全练角度一：知图判断函数极值1设函数f(x)在R上可导，其导函数为f则下列结论中一定成立的是A .函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)(x)，且函数 y= (1 x)f (x)的图象如图所示,B .函数f(x)有极大值f( 2)和极小值f(1)

21、C 函数f(x)有极大值f(2)和极小值f( 2)f(x)有极大值角度二：已知函数求极值D .函数f( 2)和极小值f(2)2. (2016石家庄一模)已知函数f(x) = ex 3x+ 3a(e为自然对数的底数，a R),求f(x)的单调区间与极值.角度三：已知函数极值情况求参数值(范围)ex3 .已知函数f(x)= 一x(1)求函数f(x)的单调区间；设g(x) = xf(x) ax+ 1，若g(x)在(0,+ )上存在极值点，求实数a的取值范围.通法在握1. 利用导数研究函数极值问题的一般流程求科值t解方程“冋知力稈厂覘的俏况醴根丘右的符号I 横價 I辱敢値范国)2. 已知函数极值点或极

22、值求参数的2个要领(1) 列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解.(2) 验证：因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理 性.演练冲关a1.已知函数f(x) = x3 + ax2 + bx a2 7a在x= 1处取得极大值10,则的值为()2A . 3B. 22 2C. 2 或3D . 2 或3x22 .设函数f(x)= kin x, k0,求f(x)的单调区间和极值.考点二运用导数解决函数的最值问题重点保分型考点一一师生共研典例引领(2017云南统测)已知常数0, f(x)= aln x + 2x.(1)当a = 4

23、时，求f(x)的极值；当f(x)的最小值不小于一a时，求实数a的取值范围.由题悟法求函数f(x)在a, b上的最大值和最小值的3步骤(1)求函数在(a, b)内的极值；求函数在区间端点的函数值f(a), f(b);将函数f(x)的极值与f(a), f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.13即时应用*aln x(2017湖北七市(州)协作体联考)设n N , a, b R，函数f(x)= + b,已知曲线y = f(x)在点(1,0)处的切 X线方程为y= x- 1.(1)求 a, b;求f(x)的最大值.考点三用导数解决实际生活中的优化问题重点保分型考点一一师生共研典例引领

24、某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池 (不计厚度).设该蓄水池的底面半径为 r米，高为h米，体积为V立 方米.假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为 160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为 12 000 n元(n为圆周率).(1) 将V表示成r的函数V(r),并求该函数的定义域；(2) 讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大.由题悟法利用导数解决生活中的优化问题的4步骤(1) 分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y=f(x)；(2) 求函数的导数f (x)，解方程f (x)=

25、0;(3) 比较函数在区间端点和f (x)= 0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值；(4) 回归实际问题作答.即时应用时下网校教学越来越受到广大学生的喜爱，它已经成为学生们课外学习的一种趋势，假设某网校的套题每日的销售量y(单位：千套)与销售价格x(单位：元/套)满足的关系式为y=m + 4(x- 6)2,其中2x 1，都有f(x)w ax，求a的取值范围.由题悟法利用导数解决不等式的恒成立问题的策略首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的 取值范围也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.即时应用已知 f(x) = (1 x)ex 1.(1) 求函数f(x)的最大值；f x(2) 设 g(x)=,x 1，且 xm 0，证明：g(x)0),则获得最大利润时的年产量为()A.1百万件B. 2百万件C. 3百万件D . 4百万件3.设直线x=t与函数h(x)= x2, g(x) = In x的图象分别交于点M , N，则当|MN|最小时t的值为()1B.1ex k + x在R上恒成立，则实数 k的取值范围为()A . ( s, 1B . 1 ,+s )保咼考，全练题型做到咼