立体几何的解题技巧.docx

1、立体几何大题的解题技巧综合提升【命题分析】 高考中立体几何命题特点：1.线面位置关系突出平行和垂直，将侧重于垂直关系2.空间“角”与“距离”的计算常在解答题中综合出现3.多面体及简单多面体的概念、性质多在选择题，填空题出现4.有关三棱柱、四棱柱、三棱锥的问题，特别是与球有关的问题将是高考命题的热点此类题目分值一般在 17-22 分之间，题型一般为 1 个选择题， 1 个填空题， 1 个解答题 . 【考点分析】 掌握两条直线所成的角和距离的概念， 对于异面直线的距离， 只要求会计算已给出公垂线时的距离 .掌握斜线在平面上的射影、直线和平面所成的角、直线和平面的距离的概念 .掌握二面角、二面角的平

2、面角、两个平行平面间的距离的概念.【高考考查的重难点 * 状元总结】空间距离和角：“六个距离”：1两点间距离 d( x1x2 )2( y1 y2 )2( z1 z2 ) 22点 P 到线 l 的距离 dPQ * u（ Q 是直线 l 上任意一点， u 为过点 P 的直线 l 法向量）u3 两异面直线的距离4 点 P 到平面的距离PQ* uduPQ* udu（ P、Q 分别是两直线上任意两点u 为两直线公共法向量）（ Q 是平面上任意一点，u 为平面法向量）5 直线与平面的距离【同上】6 平行平面间的距离【同上】“三个角度”：1 异面直线角【0，】 cos =v1v20，）【辨】直线倾斜角范围【

3、2v1 v22 线面角【 0，】 sin = cos v, nvn或者解三角形2v n3 二面角【 0，】 cosn1n2或者找垂直线，解三角形n1 n2不论是求空间距离还是空间角，都要按照“一作，二证，三算”的步骤来完成，即寓证明于运算之中，正是本专题的一大特色.求解空间距离和角的方法有两种：一是利用传统的几何方法，二是利用空间向量。其中，利用 空间向量 求空间距离和角的 套路与格式固定 ，是解决立体几何问题这套强有力的工具时，使得高考题具有很强的套路性。【例题解析】考点 1点到平面的距离求点到平面的距离就是求点到平面的垂线段的长度，其关键在于确定点在平面内的垂足，当然别忘了转化法与 等体积

4、法 的应用 .典型例题例 1（福建卷） 如图，正三棱柱ABCA1B1C1 的所有棱长都为2 ， D 为 CC1中点（）求证： AB1 平面 A1 BD ；AA1（）求二面角AA1DB 的大小；（）求点 C 到平面 A1 BD 的距离CDC1考查目的： 本小题主要考查直线与平面的位置关系，二面角的BB1大小，点到平面的距离等知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力解：解法一：（）取 BC 中点 O，连结 AO AA1Q ABC 为正三角形，AOBCQ 正三棱柱 ABCA1B1C1 中，平面 ABC 平面 BCC1B1 ，FCC1AO 平面 BCC1B1 ODBB1连结B1O，在正方形中，O

5、， D 分别为11BBCCBC，CC1 的中点，B1O BD ，AB1 BD 在正方形 ABB A 中， AB AB，AB 平面A1 BD1 1111（）设 AB1 与 A1 B 交于点 G ，在平面 A1 BD 中，作 GF A1D 于 F ，连结 AF ，由（）得 AB1 平面 ABD11，AFG为二面角AADB的平面角AFAD1在 AA1D 中，由等面积法可求得AF4 5 ，5又Q AG1 AB12 ，sinAFGAG2102AF4 545所以二面角 AAD B的大小为arcsin1014（） A1 BD 中， BDA1D5， A1B 22， S A1BD6 ， SBCD 1在正三棱柱中

6、，A1 到平面 BCC1B1 的距离为3 设点 C 到平面 A1BD 的距离为 d 由 VA1BCDV，得 1SBCDg 31 SA BDgd ，C A1BD331d3S BCD2 S A1BD2点 C 到平面 A1BD 的距离为2 2解法二：（）取 BC 中点 O ，连结 AO Q ABC 为正三角形，AO BC Q 在正三棱柱11 1 中，平面ABC 平面 BCC1B1 ，ABC AB CAD 平面 BCC1B1 uuuruuuuruuur取 B1C1 中点 O1 ，以 O为原点， OB， OO1 ， OA 的方向为 x， y， z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则B(10，0) ， D

7、(11，0) ， 1，A(0，0，3)， B1 (12，0) ，A (0，2，3)uuur， uuur， uuur，AB13)BDBA1(3)(12( 210)12uuuruuur220 0uuur uuur1430 ，Q AB1gBD， AB1 gBA1uuuruuuruuuruuurAB1 BD ， AB1 BA1 AB1平面 A1BD （）设平面 A1AD 的法向量为 n(x， y，z) uuur，uuuruuuruuur，AD，3)，Q n AD，nAA( 11AA1(0 20)1uuur，y，xy，0n gAD03z 0uuur2 y，xn gAA0，3z01zAA1FCC1ODyB

8、B1x令 z1 得 n(3，01)， 为平面 A1 AD 的一个法向量由（）知AB1 平面ABD ，1uuurAB1 为平面 A1 BD 的法向量cos n ， uuuruuurngAB1336 AB1uuur2g224n gAB1二面角 AA1 D B 的大小为 arccos6 4uuur（）由（） ， AB1 为平面 A1BD 法向量，uuuruuurQ BC ( 2，00)，AB1 (12， 3) uuur uuur2点 C 到平面 A1BD 的距离 dBCgAB12 uuurAB12 22小结 ：本例中（）采用了两种方法求点到平面的距离.解法二采用了平面向量的计算方法，把不易直接求的

9、B 点到平面 AMB1 的距离转化为容易求的点K 到平面 AMB1 的距离的计算方法， 这是数学解题中常用的方法；解法一采用了等体积法，这种方法可以避免复杂的几何作图，显得更简单些，因此可优先考虑使用这一种方法.考点 2异面直线的距离考查异目主面直线的距离的概念及其求法考纲只要求掌握已给出公垂线段的异面直线的距离.例 2 已知三棱锥 SABC ，底面是边长为 42 的正三角形，棱SC的长为 2，且垂直于底面. E、D 分别为 BC、AB 的中点，求 CD 与 SE 间的距离 .思路启迪 ：由于异面直线 CD 与 SE 的公垂线不易寻找， 所以设法将所求异面直线的距离，转化成求直线与平面的距离，

10、再进一步转化成求点到平面的距离 .解：如图所示，取 BD 的中点 F ，连结 EF， SF， CF，EF 为BCD 的中位线，EF CD,CD 面 SEF ,CD 到平面 SEF 的距离即为两异面直线间的距离 .又 线面之间的距离可转化为线CD 上一点 C 到平面 SEF的距离，设其为h，由题意知， BC 42 ,D、 E、F 分别是AB、 BC、 BD 的中点，CD2 6,EF1 CD6, DF2, SC22VS CEF11EF DFSC116 222 332323在 RtSCE 中， SE222 3SCCE在 RtSCF 中， SFSC2CF 24 24230又 EF6,S SEF3由于

11、VCSEFVS CEF1S SEF h ，即 1 3 h2 323，解得 h3333故 CD 与 SE 间的距离为 23.3小结 ：通过本例我们可以看到求空间距离的过程，就是一个不断转化的过程.考点 3 直线到平面的距离偶尔会再加上平行平面间的距离，主要考查点面、线面、面面距离间的转化.例 3 如图，在棱长为2 的正方体 AC1 中， G 是 AA1 的中点，求 BD 到平面 GB1 D1 的距离 .思路启迪 ：把线面距离转化为点面距离，再用点到平面距离D1的方法求解 .C1O1解：A1B1解法一BD 平面 GB1 D1 ，HBD 上任意一点到平面GB1D1的距离皆为所求，以下求GDC点 O

12、平面 GB1D1 的距离 ,OABB1 D1A1C1 ， B1D1A1A ，B1 D1平面 A1 ACC1 ,又 B1 D1 平面 GB1 D1平面 A1 ACC1GB1D1 ，两个平面的交线是 O1G ,作 OHO1G 于 H ，则有 OH平面 GB1 D1 ，即 OH 是 O 点到平面 GB1D1的距离 .在 O1OG 中， S O1OG1 O1O AO1 2 22 .22又 S O1OG1 OH O1G13 OH2, OH2 6 .223即 BD 到平面 GB1 D1 的距离等于26.3解法二BD 平面 GB1 D1 ，BD 上任意一点到平面GB1 D1 的距离皆为所求，以下求点B 平面

13、 GB1D1 的距离 .设点 B 到平面 GB1 D1 的距离为 h，将它视为三棱锥B GB1D1 的高，则VB GB1D1VD1GBB1 ,由于 S GB1D112236，2VDGBB11 2 224,h426 ,1132363即 BD 到平面 GB1 D1 的距离等于263.小结 ：当直线与平面平行时，直线上的每一点到平面的距离都相等，都是线面距离.所以求线面距离关键是选准恰当的点，转化为点面距离 .本例解析一是根据选出的点直接作出距离；解析二是等体积法求出点面距离 .考点 4异面直线所成的角【重难点】此类题目一般是按定义作出异面直线所成的角，然后通过解三角形来求角.典型例题例 4A如图，

14、在 RtAOB 中， OAB，斜边 AB4 Rt AOC 可以通过6Rt AOB 以直线 AO 为轴旋转得到，且二面角BAO C 的直二面D角 D 是 AB 的中点（ I ）求证：平面 COD 平面 AOB ；（ II ）求异面直线 AO 与 CD 所成角的大小思路启迪 ：（ II ）的关键是通过平移把异面直线转化到一个三角形内.OE解：解法 1：（ I ）由题意， COAO， BOAO ，BCBOC 是二面角 BAOC 是直二面角，COBO ，又 Q AOI BOO ，CO平面 AOB ，又 CO平面 COD 平面 COD平面 AOB （II ）作 DEOB ，垂足为 E ，连结 CE （如

15、图），则 DE AO ，zCDE 是异面直线 AO 与 CD 所成的角在 RtCOE 中， COBO 2， OE1BO 1，A2CECO2OE25 D又 DE1 AO3 2在 RtCDE 中， tanCDECE515 DE33OB y15 x异面直线 AO 与 CD 所成角的大小为arctanC3解法 2：（ I ）同解法 1（II ）建立空间直角坐标系Oxyz，如图，则 O(0，0，0) ， A(0，0，2 3) ， C(2，0，0) ， D(01，3) ，uuur， uuur，OACD3)(002 3)( 21uuur uuuruuuruuur66 OA gCDcos，OA CDuuuru

16、uur23 g2 24OA gCD异面直线 AO 与 CD 所成角的大小为arccos6 4小结 ： 求异面直线所成的角常常先作出所成角的平面图形，作法有：平移法：在异面直线中的一条直线上选择“特殊点”，作另一条直线的平行线，如解析一，或利用中位线，如解析二； 补形法： 把空间图形补成熟悉的几何体，其目的在于容易发现两条异面直线间的关系，如解析三 .一般来说，平移法是最常用的，应作为求异面直线所成的角的首选方法.同时要特别注意异面直线所成的角的范围：0,.2考点 5直线和平面所成的角此类题主要考查直线与平面所成的角的作法、证明以及计算.线面角在空间角中占有重要地位，是高考的常考内容.典型例题S

17、例 5（全国卷理）四棱锥 S ABCD 中，底面 ABCD为平行四边形，侧面SBC底面 ABCD已知 ABC45o ，AB2， BCCB2 2，SASB3 DA（）证明 SABC ；（）求直线SD 与平面 SAB 所成角的大小考查目的： 本小题主要考查直线与直线,直线与平面的位置关系，二面角的大小，点到平面的距离等知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力解：解法一：（）作 SO BC ，垂足为 O ，连结 AO ，由侧面 SBC 底面 ABCD ，得 SO 底面 ABCD 因为SASBAO BO，所以又 ABC45o ，故 AOB 为等腰直角三角形， AO BO ，由三垂线定理，得SA

18、BC （）由（）知SA BC ，依题设 AD BC ，故 SA AD ，由 ADBC 2 2，SA3， AO2 ，得SO 1， SD11 C SAB的面积 S11 ABg SA221 AB2 DA22连结 DB ，得 DAB 的面积 S21 ABgAD sin135 o2SOB2设 D 到平面 SAB的距离为 h ，由于 VDSABVS ABD ，得1 hgS1 1 SOgS2，解得 h233设 SD与平面 SAB所成角为，则 sinh222 SD1111所以，直线 SD 与平面 SBC所成的我为 arcsin22 11解法二：（）作 SO BC ，垂足为 O ，连结 AO ，由侧面 SBC

19、底面 ABCD ，得 SO 平面ABCD AOBO因为SA SB，所以又 ABC45o ， AOB 为等腰直角三角形，AO OB z如图，以 O 为坐标原点， OA 为 x 轴正向，建立直角坐标系Oxyz ，SuurGA(2，0，0)，B(0， 2，0)，C (0，2，0)， S(0，0，1) ，SA(，20 1)Cyuuuruur uuurDO EBCB， SACB0，所以A(0 22 0)gSA BCx（）取 AB 中点 E ，E2，2，220连结 SE，取 SE中点 G ，连结 OG ， G2， 2，1 442OG2，21，22，AB (2，2，0) ，SE，442221SEgOG0 ，

20、 ABgOG 0 ， OG 与平面 SAB内两条相交直线SE ， AB 垂直所以OG平面SAB，OG 与 DS 的夹角记为，SD与平面SAB，则与所成的角记为互余D (2，22，0) ， DS( 2，221)， cosOG gDS22 ， sin22 ，OG gDS1111所以，直线 SD 与平面 SAB所成的角为 arcsin22 11小结 ：求直线与平面所成的角时，应注意的问题是（1）先判断直线和平面的位置关系；（ 2）当直线和平面斜交时，常用以下步骤： 构造作出斜线与射影所成的角，证明论证作出的角为所求的角， 计算常用解三角形的方法求角， 结论点明直线和平面所成的角的值 .考点 6二面角

21、【重点】此类题主要是如何确定二面角的平面角，并将二面角的平面角转化为线线角 放到一个合适的三角形中进行求解.二面角是高考的热点典型例题例 6（湖南卷）如图，已知直角，APQ ， B， C， CACB ，BAP45o ，直线 CA 和平面所成二面的角为30o CAPQB（I）证明 BC PQ ；（II ）求二面角BACP 的大小命题目的 ：本题主要考查直线与平面垂直、二面角等基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力 .过程指引 ：（ I）在平面内过点 C 作CO PQ于点 O，连结 OB因为， IPQ ，所以 CO ，又因为 CACB ，所以 OA OB CHBAOoABO 45o90

22、oA而45 ，所以， AOB，PQBO从而 BOPQ，又 COPQ，所以 PQ 平面 OBC 因为 BC平面 OBC，故 PQ BC （II ）解法一：由（ I ）知， BO PQ ，又， IPQ ，BO，所以 BO 过点O 作 OH AC 于点 H ，连结 BH ，由三垂线定理知，BH AC故 BHO 是二面角 B AC P 的平面角由（ I）知， CO ，所以CAO是 CA 和平面所成的角，则CAO 30o ，不妨设 AC 2 ，则 AO3， OHAO sin 30o3 2在 RtOAB 中， ABOBAO 45o ，所以 BOAO3，于是在 Rt BOH 中， tanBO3BHO2OH3

23、2故二面角 BACP 的大小为 arctan2 解法二：由（ I）知， OC OA ， OC OB ， OA OB ，故可以 O 为原点，分别以直线OB，OA，OC 为 x 轴， y 轴， z 轴建立空间直角坐标系（如图） 因为 CO a ，所以CAO 是 CA 和平面所成的角，则CAO30o 不妨设 AC2，则 AO3， CO1在 RtOAB 中，ABOBAO45o ，Cz所以 BOAO3 PABOQ则相关各点的坐标分别是yxO(0，0，0)， B(3，0，0)， A(0，3，0) ， C(0，0，1)uuur(3，uuur(0，31)， 所以 AB3，0) ， ACurur uuurn1

24、gAB，3x3 y0，设 n1 x， y， z 是平面 ABC 的一个法向量，由0ur uuur得3 yz0n1 gAC0取x1，得ur，n1(113)易知uur，是平面的一个法向量n2(10 0)设二面角 BACP 的平面角为uruur，由图可知，n1n2，ur uur所以 cosn1 n215uruur| n1 |g| n2 |5 15故二面角 BACP 的大小为 arccos 5 5小结 ：本题是一个无棱二面角的求解问题 .解法一是确定二面角的棱，进而找出二面角的平面角 .无棱二面角棱的确定有以下三种途径：由二面角两个面内的两条相交直线确定棱，由二面角两个平面内的两条平行直线找出棱，补形

25、构造几何体发现棱；解法二则是利用平面向量计算的方法，这也是解决无棱二面角的一种常用方法，即当二面角的平面角不易作出时，可由平面向量计算的方法求出二面角的大小.【课后练习】如图，在四棱锥P ABCD 中， PA底面 ABCD,DAB 为直角， AB CD ，AD =CD =2AB, E、F 分别为 PC、CD 的中点 .（）试证： CD平面 BEF ；（）设 PA kAB ,且二面角 E-BD-C 的平面角大于30 ,求 k 的取值范围 .过程指引 ：方法一关键是用恰当的方法找到所求的空间距离和角；方法二关键是掌握利用空间向量求空间距离和角的一般方法.【高考热点】空间几何体的表面积与体积（一 ）

26、空间几何体的 表面积1 棱柱、棱锥的表面积：各个面面积之和2 圆柱的表面积S2 rl2 r23 圆锥的表面积：4 圆台的表面积Srlr 2Srlr 2RlR25 球的表面积S4 R26 扇形的面积 S扇形n R21 lr （其中 l 表示弧长， r 表示半径）3602注：圆锥的侧面展开图的弧长等于地面圆的周长（二）空间几何体的体积1 柱体的体积VS底 h2 锥体的体积 V1 S底 h33 台体的体积V1S上 S下S下 )43（ S上h4 球体的体积 VR33【例题解析】考点8 简单多面体的有关概念及应用，主要考查多面体的概念、性质，主要以填空、选择题为主，通常结合多面体的定义、性质进行判断.典

27、型例题例 12 . 如图（ 1），将边长为1 的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起， 做成一个无盖的正六棱柱容器，当这个正六棱柱容器的底面边长为时容积最大 . 思路启迪 设四边形一边AD ，然后写出六棱柱体积，利用均值不等式，求出体积取最值时AD 长度即可 .解答过程：如图（2）设 AD a，易知 ABC 60，且 ABD 30AB3 a .BD 2a正六棱柱体积为V .1292V 6（12a） sin603a （1 2a）a2292a)(1 2a)4a 9（23(183） .8当且仅当1 2a 4aa 1时，体积最大，6此时底面边长为12a 1 2 1 2.63答案为1

28、.6考点 9.简单多面体的侧面积及体积和球的计算棱柱侧面积转化成求矩形或平行四边形面积，棱柱侧面积转化成求三角形的面积.直棱柱体积V 等于底面积与高的乘积.棱锥体积 V 等于 1 Sh 其中 S 是底面积， h 是棱锥的高 .3例 15. 如图，在三棱柱 ABC A1B1C1 中， AB 2 a， BC CA AA1 a，A 在底面 ABC 上的射影 O 在 AC 上1A1C1 求 AB 与侧面 AC1 所成角； 若 O 恰好是 AC 的中点，求此三棱柱的侧面积 . 思路启迪 找出 AB 与侧面 AC1 所成角即是 CAB；B1三棱锥侧面积转化成三个侧面面积之和，侧面 BCC1B1 是正方形，侧面 ACC 1A1 和侧面 ABB1A1 是平行四边形，分别求其面积即可 .AOC解答过程：点A1 在底面 ABC 的射影在 AC 上， 平面 ACC1A1D平面 ABC.B在 ABC 中，由 BC AC a，AB2 a. ACB90，BC AC. BC平面 ACC1A1.即 CAB 为 AB 与侧面 AC1 所成的角在Rt ABC