定积分的近似计算以及类误差估计

1、定积分的近似计算方法与误差估计作者：操乐青 指导老师：邢抱花摘要本文主要讨论了一元函数常见的数值积分方法，例如插值型求积公式，高斯求积公式等近似计算方法，在用这些方法计算定积分时，会产生一些误差，为了减少误差，可以利用复化求积公式、复化高斯公式等.本文围绕这些方法，系统介绍它们的计算公式以及截断误差，并用例题分析它 们产生误差的大小、计算量等.关键词 插值型积分 高斯积分 误差分析 近似计算1引言b在计算定积分的值I = .a f(X)dX时，常常根据微积分学基本定理求出f(X)的一个原函数bF (x)，再用牛顿-莱布尼茨公式求得积分， = f (x)dx二F(b) - F (a).但这种方法

2、只限于解a决一小部分定积分的求值问题.当函数没有具体表达式，只是一些实验测得数据形成的表格或b 2b2图形或者是F (x)无法用初等函数表示，例如J ex dxj sin x dx等等，这就需要我们用一些近Laa似方法来求积分值.与数值积分一样，把积分区间细分，在每个小区间上，找到简单函数(x)来近似代替f (x)，bbb且J (x)dx的值容易求的.这样就把计算复杂的J f (x)dx转化为求简单的积分值J (x)dx.aa a因此,定积分的近似计算实质上就是被积函数的近似计算问题2定积分的近似计算一一常见数值方法2.1矩形公式根据定积分的定义，每一个积分和都可以看作是定积分的一个近似值，即

3、bna f (x)dx 八 f( J *i=1在几何意义上，这是用一系列小矩形面积近似小曲边梯形的结果，所以把这个近似计算方法称为矩形法不过，只有当积分区间被分割得很细时，矩形法才有一定的精确度.针对不同i的取法，计算结果会有不同，常见的取法有：(1 )左端点法，即if (Xi/) Xi(2 )右端点法，即f(Xi) Xi(3)中点法，即 匚二生X2ab f(x)dxxi 1 xi hXi例1用矩形公式近似计算积分1 dx21 X(取 n =100).-04解对0,1 作 n等分x0 = a :x1:b - a.I :n:Xn = b，由定义知:(1)左点法：在区间dx八 f ( J厶Xi J

4、，f( i)i 4n 1Xi，Xi上取左端点，即取i =Xi，i =1,2n1 dx1 x2n=、 f ( i ) ：Xj ： 0.78789399673078，i 4ji此时计算的相对误差1 dx理论值_dX_ 1+x240.7878939967307町 4t0.003178(2)右点法：在区间1 dx1 x2xi j , xi 上取右端点，即取i = xi，i = 1,2 nn-7 f ( i/ ：xi 0.78289399673078，i =1JI4此时计算的相对误差1 dx理论值-dX-1+x20.7828939967307兀/4: 4:0.003188(3)中点法：取x + X在区间

5、XiJ,Xi上取中点，即取i二亠 x!，I =1,2n1 dx nf ( J Xj ： 0.78540024673078，i m1 dx理论值-dX- 1+x2此时计算的相对误差0.78540024673078-二 4: 4:2.653 10*如果在分割的每个小区间上采用一次或二次多项式来近似代替被积函数，那么可以期望得到 比矩形法效果好得多的近似计算公式下面介绍的梯形法和抛物线法就是这一指导思想的产 物.2.2梯形公式等分区间b ab aXo = a : Xi ：: Xi = a i ：: Xn = b , x =nn相应函数值为y,yi, yn ( y、二 f (xj, i =o,i, ,

6、n).曲线目二f (x)上相应的点为P0 , Pi, Pn ( R =(X、，),、= 0,i, ,n )将曲线的每一段弧 RR用过点R,R的弦RiJRi （线性函数）来代替，这使得每个x、，X、 上的曲边梯形成为真正的梯形，其面积为肛X , i =1,2, ,n .2于是各个小梯形面积之和就是曲边梯形面积的近似值,b f (x)dx 八 yiy x =2、(y. yJb即f(x)dxa宁燈川儿号）称此式为梯形公式.例2用梯形公式近似计算定积分i dx1 x2(取 n -100).理论值1 dx1 X2b -a丸% 川 yz 号)=0.78539399673078,1 dx1 x2n:，此时计

7、算的相对误差0.78539399673078-二 45.305 10怡很显然，这个误差要比简单的矩形左点法和右点法的计算误差小得多2.3抛物线公式由梯形法求近似值，当y = f(x)为凹曲线时，它就偏小；当 y= f(x)为凸曲线时，它就偏大若每段改用与它凸性相接近的抛物线来近似时，就可减少上述缺点，这就是抛物线法.将积分区间a, b作2n等分，分点依次为ba.,. b aX。 = a ： Xi ：:：Xi = ai ：X2n = b , . x =2n2n对应函数值为y0, yi, , y2n ( % = f (xj,i =o,i, ,2n),曲线上相应点为P0, R, , p2n ( P

8、=(N ,yj,i 二 0,1, ,2n ).现把区间xo,X2上的曲线段y = f(x)用通过三点Po(Xo,yo) , Pi(Xi,yi) , P2(x2,y2)的抛物线y - x2x = pi (x)来近似代替，然后求函数pi(x)从xo到X2的定积分：x2x22 一?33：22Pi(x)dx 二 i (： x2X )dx (X2 -xo ) (x?-x )(x? - x)冷Xo32-X2 Cx； %) (：X；%) ： (Xo X2)2 2 ：(Xo X2)4 6由于x X2，代入上式整理后得2处 Pdx)dx 二 X2Xo Xo：Xo)(： x；：X2)4(： Xi2：Xi)x 6亠

9、 (yo 4yi y2)a(yo 4yiy?)66n同样也有为b 一 aP2(x)dx = - 一(y2 4y3 y4)X26n勺 nb - aPn(X)dX = (y2n, +4y2n4 +2n )X2n6n将这n个积分相加即得原来所要计算的定积分的近似值：nnbx2ib aJaf(x)dx 拓瓦Pi(x)dx=+4y2i+ y2i)，a匸x2ii 4 6n一一即bb - aa f(x)dxyo y2n - 4(力 y3 丨1( y2n)2( y2 y4 川 y22)a6n这就是抛物线公式，也称为辛卜生(Simpson)公式.i dx例3用抛物线公式近似计算积分2 (取n =100).01

10、+ x21 dx b a解 02yy2n 4(% y3 川 y2n) 25 y4 (1( y?1+x 6n=0.78539816339745，理论值1_%，此时计算的相对误差 1+x240.78539816339745-二 4:2.827 102.4几种近似计算定积分方法的比较分析及误差估计2 1例4计算积分一dx =1 n 2，精确到0.001.1 x解方法(一12)利用矩形公式计算，因为对于f(x)，有0： f (x)二3 : 2(如果1x2),xx所以按照公式 a b1(x)dx = 0.0 Rn 2 .b2 n 12n21 ：如果取n=10,则我们公式的余项的余数得R100.84 10

11、 ，我们还必须加进由于1200在计算函数值实行四舍五入所产生的误差的界限相差于0.16 10,为了这个目的只要计算 -x的值到四位小数精确到0.00005就够了 我们有x12-1.05y12 = 0.9524X3 2r= 1.15y3 2 =0.8696x5 2= 1.25y5 2 二 0.8x7 2= 1.35y7 2 二 0.7407x9 2= 1.55y9 2 二 0.6897x13 2= 1.65ya 二 0.6061x15 2-1.75yz =0.5714X17 2= 1.85y仃 2 二 0.5405x19 2= 1.95ya 二 0.5128Y的和计算6.9284故计算结果为69

12、284 =0.69284。10方法（二）按照梯形公式作同样的计算，在这种情况下，作公式Rn ：O,|Rn|：167在这儿也试一试取 n =10,虽然此时仅可以证|Rn|-1.7 10,纵坐标是600X1=1.1yi = 0.9091X2-1.2y2 = 0.8333X3= 1.3y = 0.7692X4= 1.4y4 =0.7143X5= 1.5y5 =0.6667X6= 1.6y6 =0.6250X7= 1.7y7 = 0.5882X8= 1.8y8 二 0.5556X9= 1.9y9 =0.5263y和计算为6.187711500故计算结果为 一（6.1877）0.6937710 2作公式

13、Rn 爲 f(4)()(ab)方法（三）用抛物线公式做同样的计算Rn = 0.并且n =5时有| R5卜：1.4 10 * 实行计算到五位数字，精确到0.000005x1 =1.2 x2 =1.4X3 =1.6x4 = 1.8y1 = 0.83333 y2 =0.71429 y3 二 0.62500 y4 二 0.55556 和 5.45636x12 1.1X3 2 =1.3X5 2 =1.5X7 2 = 1.7X9 2 =1.9% 2 = 0.90909 y3 2 = 0.76923 y5 2 = 0.66667 y7 2 二 0.58824 y? 2 = 0.52632 禾和13.8 3

14、82 0x 1.0X5 =2.0y =1.60000y =0.50000和1.50000130(1.5 0 0005.4 56 363.8 38 2)0=0.693152 5由此可见，用抛物线公式计算得到的值误差最小，计算量相对一般；而用矩形公式计算 得到的值误差较大，计算量也比较大；用梯形公式计算的值误差比用矩形公式得到的值要误差小，计算量也是如此所以我们计算定积分时用抛物线公式往往得到的值误差小，而对没有 要求误差大小的，则可以选择抛物线公式或者是梯形公式，因为这两种方法计算量相对较小3复化求积公式与高斯公式3.1复化梯形求积公式b a将区间a,b等分,节点为Xj二a，ih （步长h）,i

15、 =0,1,2，n）在每个小区间n人，人上采用梯形公式得(f(x-j) - f (x-)an xn X- - X- if (x)dxf (x)dx ： 1b-4 x-丄-42n h尹x-1) f(x-)hn A称式nf (x)dx 二=尹(时2：严)f(b)=Tn-f (x - d) f (x-)为复化梯形公式2例5利用复化梯形求积公式计算积分I 2 Ndx0 1 x21解 设f(x)2 ,分点个数为n =1,2,4,5时,求出相应积分Tn,1 +x- 1 2Tn =；(f (a) + f(b)+2： f-h,2-m丄n 2nf (x-) = f -,x- =a + i h = i h.列表如

16、下：nhX。Xff1T110.50.00.51.00.80.45nhX0X1X2f。flf220.250.000.250.501.000.9417650.800.460294nhX0X1X2X3X440.1250.000.1250.250.3750.50f0f1f2f3f4T41.000.98461540.94117650.8767120.800.462813nhX0X1X2X3X4X550.10.00.10.20.30.40.5f。f1f2f3f4f5T51.00.9900990.96153850.917430.8620690.80.4631143.2复化抛物线求积公式b a在每个小区间x，

17、Xj上，h，由抛物线公式得nbnha f(x)dxf(Xi) 4f(xf(Xi 1)ai=0 6i 2ndn柑仙4Lf(x2伽上式中,xi1为Xi ,Xi 1的中点，即x 1 i - 2A公式.f (x)dxhn 4=-f (a)f(x. .1) -f(xi)f(b)称为复化抛物线公式.6i =0i 2i z1例6利用复化抛物线求积公式计算I二2.X21厂 h-3b an =2mfa = f (a ) fb = f (b), f2i = f (X2i), f2iJL = f (X2ijL), x2i = a + 2ih,X2i L 二 a (2i L)h.L解设f (x)=飞,取m =L,2,

18、 3时，公式x2 +Lhm_1m_1S2m fa * fb * 2 f2i 二.4 f2i 1,3-i1-0当m=L,2,3时结果如下表所示mhf(0.0)f (0.25)f (0.5)S2L0.25L.00.94LL7650.800.463725mhf(0.0)f (0.L25)f (0.025)f (0.35)f (0.5)S420.L25L.00.9846L540.94LL7650.8767L230.800.463653mhf (0.0)f (0.08333)f (0.L6667)f (0.35)f (0.33333)f (0.L4L66667)f (0.5)S430.833L.00.9

19、93L030.9729730.94LL70.90.852070.80.46346363.3咼斯求积公式b由定理 f(X)二F (b) - F (a)知，插值型求积公式的代数精度与求积节点的个数有关，具a有n L个节点的插值型求积公式至少具有n次代数精度.不仅如此，代数精度与节点的选取有关，在构造牛顿-科茨求积公式时，为了简化处理过程，限定用等分节点作为求积节点，这样做,虽然公式确实得到简化，但同时也限制了公式的代数精度.设积分上限a二L积分下限b = L，本段讨论如下求积公式Lnf (x ) A f Xi )=0l ；.-? (x)baa 亠 bAi, i =L,2,，n.任意积分区间a, b

20、,通过变xt 4(x-Xk) ，(Xk)22可以转换到区间-1,1上，这时bf(x)dx3a21 b a a 亠 b-T)dtbb a na +b b a此时，求积公式写为.af(x)d:/ f(丁 tj若一组节点X。，人Xn -1,1使插值型求积公式bba n a b b -aafWAf(ti)具有2n 1次代数精度，则称此组节点为高斯点，并2称此公式为咼斯求积公式bRf二 a f(x)dx- AJ(xQ 二k z0(n 2)()b 2(2n2)! a (x)dx为高斯求积公式的余项，其中 (x) = (x-x0)(x-xi).(x-xj,a,b,且不依赖于x.例7利用高斯求积公式计算解令X

21、 =丄(1 t)则21 dx0 Vx .1 dx1 dt，用高斯求积公式计算，取n=5,则01 xd3 t1 西：、A f (tj) f (tjA5f(t5) ： 0.69314719 .3 t 1幺士 W 】五结束语本文只讨论了一些一维数值积分方法及其它们的应用，误差分析等有关内容.其中最常用的方法是插值型积分以及复化方法、高斯积分方法，并讨论了相关求积方法的代数精度和误差分析，并给出了一些例题，分析各种方法的近似值，得出误差分析最小的近似方法.由于篇幅有限，对 于高维数值积分方法本文便不再讨论.参考文献1 华东师范大学数学系，数学分析(第一版)M，北京：高等教育出版社,2001.2 李庆阳，关治，白峰杉，数值计算原理(第二版)M，北京：清华大学出版社,2008.3 肖筱南，现代数值计算方法（第一版） M ，北京 : 北京大学出版社 , 1999.4 菲赫金格尔茨，微积分学教程（第三版） M ，北京 : 高等教育出版社 , 2005.5 裴礼文，数学分析中的典型问题与方法（第一版） M ，北京 : 北京大学出版社 ,2004. 刘证，关于定积分的几种近似计算的误差估计J,鞍山科技大学学报，26: 4 （2003）, 314-316.7 候为波，关于定积分的近似计算及误差估计的一种新方法J淮北煤师院学报，17: 2（ 1996），73-75.8 林成森