培优专题1三角形和有关概念含答案

1、1三角形及其有关概念【知识精读】1. 三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。2. 三角形中的几条重要线段：（1）三角形的角平分线（三条角平分线的交点叫做内心）（2）三角形的屮线（三条中线的交点叫重心）（3）三角形的高（三条高线的交点叫垂心）3. 三角形的主要性质（1）三角形的任何两边之和大于第三边，任何两边之差小于第三边；（2 ）三角形的内角之和等于180 0（3）三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角，等于和它不相邻的两个内角的和;（4 ）三角形中，等角对等边，等边对等角，大角对大边，大边对大角；（5）三角形具有稳定性。4. 补充性质：在ABC中，D

2、是BC边上任意一点，E是AD任意一点，贝yS ABE S CDEsBDEsCAEo三角形是最常见的几何图形之一，在工农业生产和日常生活中都有广泛的应用。三角形又是多边形的一种，而且是最简单的多边形，在几何里，常常把多边形分割成若干个三角形，利用三 角形的性质去研究多边形。实际上对于一些曲线，也可以利用一系列的三角形去逼近 它，从而利用三角形的性质去研究它们。因此，学好本章知识，能为以后的学习打下坚实的基础。5.三角形边角关系、性质的应用【分类解析】例1.锐角三角形ABC中，ZC 二2ZB,则ZB的范围是（A.10ZB20B.20 ZB30C.30ZB45D.45 ZB60分析:因为ABC为锐角

3、三角形,所以0ZB90又/C 二 2ZB, 02ZB900ZB45又/A为锐角，ZA180ZBZC为锐角例2.选择题：已知三角形的一个外角等于 形的形状是（A.锐角三角形B.直角三角形160 ,另两个外角的比为2:3 ,则这个三角C.钝角三角形D.无法确定分析：由于三角形的外角和等于360,其中一个角已知，另两个角的比也知道，因ZBZC903ZB90,即 ZB3030ZB45 ,故选择C此三个外角的度数就可以求出，进而可求出三个内角的度数，从而可判断三角形的形状。解：三角形的一个外角等于160 另两个外角的和等于200 0设这两个外角的度数为2x , 3x2x 3x 200解得：x402x 8

4、0, 3x 120与80 0相邻的内角为100 0 这个三角形为钝角三角形应选C11例3.如图，已知：在ABC屮，AB AC,求证：/ C - Z B22FB1分析：欲证ZCZ B,可作ZABC的平分线BE交AC于E,只要证Z C Z EBC21即可。为与题设AB AC联系，又作AF/BE交CB的延长线于F。2显然ZEBC二ZF,只要证ZCZ F即可。由AF 2AB AC可得证。证明：作ZABC的角平分线BE交AC于E,过点A作AF/BE交CB的延长线于FAF / /BE , Z F Z EBC ,Z FAB Z ABE又BE 平分 Z ABC ,/EBC =Z ABE Z F = Z FAB

5、 , AB = BF 又 AB+ FB AF,即 2AB AF 1又AB AC, AC AF2Z F Z C,又Z F Z ABC211、例4.已知：二角形的一边是另一边的两倍。求证：它的最小边在它的周长的与一之间。64分析：首先应根据已知条件，运用边的不等关系，找出最小边，然后由周长与边的关系加以证 明。AbcBaCA. 50B. 100C. 180D. 200证明：如图，设ABC的三边为a、b、C,其中a 2c,b a c, a2cb c因此，c是最小边，b 3c因此，a b c2c 3c c,即C1(a b c)1(a b c)61 c (a b4C)r故最小边在周长的1 1、与一之间。

6、64中考点拨：例1.选择题：如图是:一个任意的五角星，它的五个顶角的和是()A分析：由于我们学习了三角形的内角、角的问题。外角的知识，所以需要我们把问题转化为三角形解：ZCZEZAGF, / B Z D Z AFGZAZBZCZEZD所以选择C例2选择题：已知三角形的两边分别为A.大于2B.小于12分析：根据三角形三边关系应有7Z A Z AGF Z AFG 1805和7,则第三边x的范围是（）C.大于2小于12D.不能确定5x75,即 12x2所以应选C例3.已知：P为边长为1的等边ABC内任一点。求证：3PA PB PC 29证明：过P点作EF/BC ,BC分别交AB于E,交AC于F,则/

7、 AEP 二 Z ABC 二 60 0/ EAP / EAF 60/ APE 60在AEP中，/APE/AEP, AE AP/ AFE/ACB 60, /AEF60AEF是等边三角形AFEFAEAPBEEPBPPFFCPCAEEBEPPEFCAPBPPCABEFFCAPBPPCABAFACAPBPPCPBPAPCABAC2PAPBABPBPCBCPCPAAC2 PAPBPC AB BC AC 332 PA PB PC 2题型展示：例1.已知：如图，在ABC中，D是BC上任意一点，E是AD任意一点。求证:（1 ）/ BEC / BAC ；（2） AB+ AC BE+ ECoA分析：在（1 ）中，

8、利用三角形内角和定理的推论即可证出在（线，2）中，添加一条辅助 转化到另一个三角形中，禾U用边的关系定理即可证出。证明：（1 ） / BED是ABE的一个外角，Z BEDZ BAE同理，Z DEC Z CAEZ BED Z DEC Z BAE Z CAE即 Z BEC Z BAC(2)延长BE交AC于F点ABAFBEEF又EFFCECABAFEFFC BE EF EC即ABACBEEC例2.求证：直角三角形的两个锐角的相邻外角的平分线所夹的角等于45 o已知：如图，在ABC中，C 90, EAB、ABD是ABC的外角，AF、BF分别平分ZEAB及ZABD。求证：Z AFB 二 45 分析：欲证

9、 Z AFB 45,须证 Z FABZ FBA 135/AF、BF分别平分ZEAB及ZABD 要转证 Z EAB +Z ABD = 270 又/ C二90。，三角形一个外角等于和它不相邻的两个内角之和问题得证证明：TZ EAB 二Z ABC+Z CZ ABD 二Z CAB +Z CABC +Z C + ZCAB 二 180o , / C 二 90ZEAB Z ABD Z ABC Z C ZCAB ZC 180 90270/AF、BF分别平分ZEAB 及 Z ABDZ FAB Z FBA1 127013522在 ABF 屮，Z AFB180 Z FABZFBA45【实战模拟】1.已知：三角形的三

10、边长为3 , 8 , 1 2X,求x的取值范围。2.已知:ABC 中，AB BC,D点在BC的延长线上，使AD BC , BCACAD ,求a和B间的关系为?&CD3如图，ABC屮，ABC、ACB的平分线交于P点，BPC 134,则BACA. 68B. 80C. 88D. 464.已知:如图，AD是ABC的BC边上高，AE平分BAC求 证：5.求证:三角形的两个外角平分线所成的角等于第三个外角的一半。【试题答案】1.分析：本题是三边关系的应用问题，只需用三边关系确定第三边的取值范围即可。 解：三 长分别为3, 8, 12X,由三边关系定理得51 2x 114 2x 102x5解：AB BC,B

11、CA BAC又 AD BC, AD ABDB,根据D三角2 18031803.解：BPC 134PBCBP、CiBPCB 46为Z zc的平分线又 BCADBB形内角和Z PBCZPBCZ ABCZBACiZABC ,Z PCB - Z ACB2 2Z PCB -Z ABC Z ACB2Z ACB 2 4692180Z ABC Z ACB 88证明：1 Z EAD Z EAC Z CAD1/ AE 平分 / BAC,/ EAC / BAC又AD 丄 BC, Z ADC 90Z CAD 90 ZC又 Z BAC 180Z BZC1Z EAD Z BAC Z CAD2-180ZBZC90ZC211丄ZC丄ZB221Z EAD ZCZB2证明：如图，设ABC的ZBAC和ZABC的外角平分线交于点DZ FAB Z ABC Z ACBZ EBA Z